摘 要：與兩曲線同時相切的直線即為兩曲線的公切線，公切線可分切點(diǎn)相同和切點(diǎn)不同這兩種情況. 比較兩曲線大小，可通過數(shù)形結(jié)合思想，用公切線加以解決.

關(guān)鍵詞：比較兩曲線大小；公切線；數(shù)形結(jié)合思想

在平時的解題中，筆者發(fā)現(xiàn)：公切線在比較兩曲線大小時發(fā)揮著非常好的中介作用，大大優(yōu)化了此類試題的解題過程，給我們?nèi)碌慕忸}視角，現(xiàn)分兩類舉例說明.

[?] 切點(diǎn)相同型

當(dāng)切點(diǎn)相同時，公切線可很好地處理“f（x）≥g（x）”這種情況.

例1 （2011年遼寧卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在點(diǎn)P處的切線斜率為2.

（1）求a，b的值；

（2）證明：f（x）≤2x-2.

分析：在證明f（x）≤2x-2時，我們常直接構(gòu)造函數(shù)：h（x）=f（x）-2x+2，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=h（x）的單調(diào)性，再證明：函數(shù)y=h（x）≤0恒成立就行了，所以高考給出如下參考答案.

證明：（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f（x）=x-x2+3lnx.

設(shè)h（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，則

h′（x）=-1-2x+=-.

當(dāng)00；當(dāng)x>1時，h′（x）<0.

所以h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減.

而h（1）=0，故當(dāng)x>0時，h（x）≤0，即f（x）≤2x-2.

上述解題方法很常規(guī)，沒什么新意，筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：借助公切線能很好地處理此題，另證明如下：

（1）（略）a=-1，b=3.

（2）要證：f（x）≤2x-2，即要證：x2+x-2≥3lnx.

設(shè)函數(shù)g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx，

易得：當(dāng)x=1時，g（x）=h（x）.

而函數(shù)g（x）=x2+x-2與函數(shù)h（x）=3lnx在（1，0）點(diǎn)處的切線均為：y=3x-3，即直線y=3x-3為兩函數(shù)g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx的公切線.

結(jié)合圖象（如圖1）易得：g（x）≥3x-3≥h（x），且g（x）=3x-3與h（x）=3x-3同時在x=1時成立.

所以：g（x）≥h（x），即f（x）≤2x-2成立.

[y][O][x][-2][1]

圖1

[?] 切點(diǎn)不同型

當(dāng)切點(diǎn)不同時，公切線可很好地處理“f（x）>g（x）”這種情況.

例2 已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R），g（x）=，

（1）若a=1，求f（x）的極小值；

（2）在（1）的條件下證明：f（x）-1>g（x）-.

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解；

（2）在證明f（x）-1>g（x）-時，我們常直接構(gòu)造函數(shù)：h（x）=f（x）-g（x）+-1，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=h（x）的單調(diào)性，再證明：函數(shù)y=h（x）>0恒成立就行了. 于是就有如下解題過程：

設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）+-1=x-lnx-+-1.

令h′（x）=1--==0，即得：x2-x+lnx-1=0.

評析：此方程是個超越方程，一般情況下，超越方程的根是目測出來的，而不是求出來的. 而恰恰此超越方程的根就無法目測，而通過兩函數(shù)y=x2-x-1和y=-lnx的圖象，我們又知道方程：x2-x+lnx-1=0必定有根，但就是求不到，所以到這里，此題做不下去了. 我們發(fā)現(xiàn)常用方法對此題不適用.

當(dāng)然，公切線也能很好地處理此題，證明如下：

證明：（1）略.

（2）函數(shù)y=f（x）-1在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在點(diǎn)（1，0）處的切線為x軸，函數(shù)y=g（x）-在（0，e）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在（e，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在點(diǎn)（e，0）處的切線也為x軸.

即x軸為兩函數(shù)y=f（x）-1，y=g（x）-的公切線.

結(jié)合圖象（如圖2）易得：f（x）-1≥0≥g（x）-，而f（x）-1=0與g（x）-=0不能同時成立，所以只能得：f（x）-1>g（x）-.

眾所周知，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，沒有創(chuàng)新就沒有進(jìn)步，沒有創(chuàng)新就沒有數(shù)學(xué)能力的發(fā)展與提高，通過上述兩例，我們發(fā)現(xiàn)了一個新事物——公切線，這就是創(chuàng)新，通過這個小小的創(chuàng)新，讓我們的解題思路更寬、更廣了，希望讀者在平時的數(shù)學(xué)解題中，多多進(jìn)行這樣的創(chuàng)新思考和探索.