孔朝莉

【摘要】從根式判別法出發(fā)，給出了判斷冪級(jí)數(shù)斂散性的阿貝爾定理的另一個(gè)證明方法.

【關(guān)鍵詞】?jī)缂?jí)數(shù)；阿貝爾定理；斂散性；根式判別法

【中圖分類號(hào)】O213

【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A

【基金項(xiàng)目】三亞學(xué)院教學(xué)改革立項(xiàng)課題 課題編號(hào)：Syxyjy120201

關(guān)于冪級(jí)數(shù)斂散性，阿貝爾定理給出了判別方法.一般的數(shù)學(xué)教材中，阿貝爾定理的證明采用的是比較判別法.本文從根式判別法出發(fā)，給出了阿貝爾定理的另一種證明方法，并由此更加自然地給出冪級(jí)數(shù)收斂半徑的定義和求法.

一、阿貝爾（Abel）定理

定理（阿貝爾（Abel）定理） 如果冪級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn當(dāng)x=x0x0≠0時(shí)收斂，則適合不等式xx0的一切x，此冪級(jí)數(shù)均發(fā)散.

該定理第一部分需要證明∑∞n=0anxn絕對(duì)收斂性，這涉及正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別，下面給出相關(guān)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法.

二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法

（一）比較判別法

第一比較準(zhǔn)則 設(shè)∑∞n=1un和∑∞n=1vn均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un≤vn（n=1，2，…），

若∑∞n=1vn收斂，則∑∞n=1un收斂；反之，若∑∞n=1un發(fā)散，則∑∞n=1vn發(fā)散.

第二比較準(zhǔn)則 設(shè)∑∞n=1un和∑∞n=1vn均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果limn→∞unvn=l，則

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)l=0時(shí)，若∑∞n=1vn收斂，則∑∞n=1un收斂；

（3）l=+∞，若∑∞n=1vn發(fā)散，則∑∞n=1un發(fā)散.

（二）比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）

設(shè)∑∞n=1un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果limn→∞un+1un=ρ（ρ為有限數(shù)或+∞），則ρ<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；

ρ>1或limn→∞un+1un=+∞時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.

（三）根式判別法（極限形式）

設(shè)∑∞n=1un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果limn→∞nun=ρ，則

三、阿貝爾（Abel）定理的證明

這里給出如下相關(guān)兩個(gè)引理.引理1的證明一般高等數(shù)學(xué)教材都有，引理2的結(jié)論顯然成立.

引理1 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂，則limn→∞un=0.

引理2對(duì)于數(shù)列xn，如果N>0，當(dāng)n>N時(shí)，0≤xn<1，則limn→∞nxn≤1.

Abel定理證明1（比較判別法） 設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，即級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn0收斂，由引理1，有l(wèi)imn→∞anxn0=0，則存在正數(shù)M，使anxn0

anxn=anxn0·xnxn0=anxn0·xx0n≤Mxx0n，因?yàn)楫?dāng)x

定理的第二部分用反證法來證明.設(shè)冪級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn在點(diǎn)x0發(fā)散，且有一點(diǎn)x1，適合x1>x0，使冪級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)本定理的第一部分，冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0應(yīng)收斂，這與所設(shè)矛盾，定理得證.

由于級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn中含xn項(xiàng)，因此本文考慮嘗試用根式判別法來證明阿貝爾定理.由于limn→∞nanxn0不一定存在，下面采用根式判別法（3′）來證明阿貝爾定理.

Abel定理證明2（根式判別法）設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，即級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn0收斂，由引理1，有l(wèi)imn→∞anxn0=0，因此對(duì)ε≤1，N0>0，當(dāng)n>N0時(shí)，anxn0<ε<1，由引理3，limn→∞nanxn0≤1，又因?yàn)楫?dāng)x

由根式判別法（3′），級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn收斂，也就是冪級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn絕對(duì)收斂.

定理的第二部分同樣可用反證法來證明.

通過本定理的證明，可以自然地給出冪級(jí)數(shù)收斂半徑的定義和求法.

若記ρ=limn→∞nan（ρ≥0），則由根式判別法（3），limn→∞nanxn=ρx，當(dāng)ρx<1時(shí)，級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn收斂.當(dāng)ρ=0，所有的x都是收斂點(diǎn)，0<ρ<+∞，只要x<1ρ，級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn均收斂，因此收斂半徑為R=1ρ或R=+∞；當(dāng)ρx>1時(shí)，級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn在除了x=0以外的點(diǎn)外都發(fā)散，收斂半徑為R=0.