近年來(lái)，以幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為載體，求幾何圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖形上某一動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度的題目在中考試卷常有出現(xiàn).

解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要弄清點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其路徑的形狀是什么圖形，計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，再根據(jù)相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算出路徑的長(zhǎng).

例1 一根長(zhǎng)為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時(shí)BC為1米，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A′處并且A′C=1米時(shí)，木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____米.

【切入點(diǎn)】先判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，然后求出路徑長(zhǎng).

【思路分析】在木棒下滑過(guò)程中，△ABC始終是直角三角形，點(diǎn)P也始終是斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CP的長(zhǎng)始終保持不變，因此點(diǎn)P應(yīng)該是繞著點(diǎn)C在做圓周運(yùn)動(dòng)，我們只要找到圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)，就可以計(jì)算出P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【解答過(guò)程】木棒沒(méi)有下滑時(shí)，cos∠ABC==，所以∠ABC=60°，可得此時(shí)∠PCB=60°.

木棒下滑后，由于A′C=1米，sin∠A′B′C==，所以∠A′B′C=30°，可得此時(shí)∠P′CB′=30°.

所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)以點(diǎn)C為圓心，半徑為1，圓心角為30°的圓弧，所以木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【技巧說(shuō)明】在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的位置在不斷變化，由此引發(fā)的是許多線段的長(zhǎng)度和位置也隨之改變，而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題則需要在這個(gè)變化過(guò)程中，尋找其變化規(guī)律以及不隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變的性質(zhì).

例2 （2012·福州）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ. 點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）.

（1） 直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=______，PD=______；

（2） 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；

【思路點(diǎn)撥】

1. 易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長(zhǎng)，由BQ∥DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí)DP與BD的長(zhǎng)，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.

2. 設(shè)E是AC的中點(diǎn)，當(dāng)t=0時(shí)M與E重合.當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)此時(shí)PQ的中點(diǎn)為F.連接EF，證明M的運(yùn)動(dòng)路程就是線段EF，即可求得答案.

【方法總結(jié)】中考中關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀，通常有兩種可能，一是軌跡為線段，此時(shí)只要求出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)就可求得路徑長(zhǎng)；二是軌跡為圓弧，此時(shí)先確定圓弧所在圓的圓心、半徑，再確定圓心角就可求得路徑長(zhǎng).

（作者單位：江蘇省海安縣大公中學(xué)）