數(shù)和形是初中數(shù)學(xué)研究規(guī)律的主要對(duì)象，數(shù)形結(jié)合思想是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的數(shù)學(xué)思想之一. 初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式問題可以通過圖形來揭示，圖形問題又可以借助數(shù)字規(guī)律解決. 數(shù)形結(jié)合在具體問題中的應(yīng)用主要針對(duì)數(shù)與形在問題中的重要性分為以形助數(shù)、以數(shù)助形和數(shù)形互助三類.

一、 以形助數(shù)

顧名思義，以形助數(shù)即是以形象的圖形來幫助抽象的“數(shù)”的問題的解決，通過形象的圖形可以使抽象問題具體化，幫助同學(xué)們解決問題.

例1 （2012·十堰）閱讀材料：

例：說明代數(shù)式+的幾何意義，并求它的最小值.

解：+=+.

如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，則可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A（0，1）的距離，可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)度. 為此，構(gòu)造直角三角形A′CB，因?yàn)锳′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值為3.

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：

（1） 代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B______的距離之和. （填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)）

（2） 代數(shù)式+的最小值為______.

【分析】（1） 先把原式化為+的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；

（2） 先把原式化為+的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，再根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描出的各點(diǎn)，利用勾股定理得出結(jié)論即可.

解：（1） 過程略，答案為（2，3）；

（2） ∵原式化為+的形式，

∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，則PA=PA′.

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)度，

∵A（0，7），B（6，1），

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=10，故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】此閱讀材料給同學(xué)們提供了構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題的方法，試題考查了數(shù)形結(jié)合思想、建模思想，解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給材料畫出圖形，再利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

二、 以數(shù)助形

以數(shù)助形是借助代數(shù)知識(shí)，對(duì)圖形中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究的做法. 數(shù)量問題中，涉及關(guān)于圖形大小比較、圖像相交、雙曲線的性質(zhì)等問題，以數(shù)助形是很好的解決手段.

例2 （2012·蘇州）如圖3，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1 cm/s速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD. 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長(zhǎng)分別為4 cm，3 cm，設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長(zhǎng)為y（cm），其中0≤x≤2.5.

（1） 試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值.

（2） 記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2，試說明S1-S2是常數(shù).

（3） 當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng).

解：（1） 根據(jù)題意表示出AG、GD的長(zhǎng)度，再由△GCD∽△APG，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可解出x的值. 故答案為：y=，x=2.5.

（2） 利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可. S1-S2=，即為常數(shù).

（3） 如圖4，延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q.

∵正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，

∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°，∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，∴3-x=，化簡(jiǎn)得：x2-5x+5=0. 解得：x=.

∵0≤x≤2.5，∴x=，

在Rt△DGP中，PD==（3-x）=.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合代數(shù)中的函數(shù)知識(shí)和方程內(nèi)容，這樣可以有效解決問題.

數(shù)形結(jié)合思想是基本的數(shù)學(xué)思想之一，對(duì)這方面進(jìn)行思考、鉆研，有助于提高我們的解題水平，促使我們將數(shù)學(xué)中抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）