分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué). 相對(duì)于傳統(tǒng)幾何學(xué)的研究對(duì)象為整數(shù)維數(shù)，如零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時(shí)空，分形幾何學(xué)的研究對(duì)象為分?jǐn)?shù)維數(shù)，如0.63、1.58、2.72. 因?yàn)樗难芯繉?duì)象普遍存在于自然界中，比如云彩、閃電、山脈、樹枝、蕨葉以及生物細(xì)胞等，因此分形幾何學(xué)又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.

康托爾三分集

1883年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造了一個(gè)奇異的集合：取一條長(zhǎng)度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，將剩下的兩段各再三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段各再三等分，這樣一直繼續(xù)操作下去，直至無(wú)窮，便可得到康托爾三分集.

皮亞諾曲線

取一個(gè)正方形并把它分成4個(gè)相等的小正方形，然后從左上角的正方形開始至左下角的正方形結(jié)束，依次將小正方形的中心連接起來(lái)；下一步把每個(gè)小正方形再分成4個(gè)相等的正方形，然后按上述方式把其中心連接起來(lái)……如此繼續(xù)不斷作下去，以至無(wú)窮，也便形成了一條皮亞諾曲線.一般來(lái)說(shuō)，一維的直線是不可能填滿二維的平面的，但是皮亞諾曲線恰恰給出了反例.

謝爾賓斯基三角形墊片

1915～1916年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基構(gòu)造了這樣一種圖形：將邊長(zhǎng)為1的等邊三角形均分成四個(gè)小等邊三角形，去掉中間的一個(gè)小等邊三角形，再對(duì)其余3個(gè)小等邊三角形進(jìn)行相同操作，這樣操作繼續(xù)下去直至無(wú)窮，所得圖形稱為謝爾賓斯基三角形墊片. 我們可以發(fā)現(xiàn)，剩下的三角形面積在不斷操作下趨近于零，但它的周長(zhǎng)卻趨近于無(wú)限大.

謝爾賓斯基地毯

謝爾賓斯基地毯的構(gòu)造與謝爾賓斯基三角形相似，區(qū)別僅在于謝爾賓斯基地毯是以正方形而非等邊三角形為基礎(chǔ)的. 將一個(gè)實(shí)心正方形劃分為3×3的9個(gè)小正方形，去掉中間的小正方形，再對(duì)余下的小正方形重復(fù)這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯.

門杰海綿與謝爾賓斯基金字塔

奧地利數(shù)學(xué)家門杰從三維的單位立方體出發(fā)，用與構(gòu)造謝爾賓斯基地毯類似的方法，構(gòu)造了門杰海綿（1999年以前，大部分分形著作中，均誤稱之為謝爾賓斯基海綿）；謝爾賓斯基用與構(gòu)造謝爾賓斯基三角形墊片類似的方法，構(gòu)造了謝爾賓斯基金字塔. 這是兩座宏偉的集合大廈，里面有無(wú)數(shù)的通道，連接著無(wú)數(shù)的門窗. 這種“百孔千窗”、“有皮沒(méi)有肉”的結(jié)構(gòu)的表面積是無(wú)窮大，它們是由反復(fù)挖去一撥比一撥小的立體所生成，是化學(xué)反應(yīng)中催化劑或阻化劑最理想的結(jié)構(gòu)模型.

海岸線有多長(zhǎng)

1967年，數(shù)學(xué)家曼德爾布羅在著名的《科學(xué)》雜志上發(fā)表了一篇奇怪的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)》，使人們大吃一驚. 原來(lái)海岸線長(zhǎng)度不是一個(gè)固定不變的數(shù)值. 海岸線的長(zhǎng)短取決于人們所用的尺. 如果用1千米的尺子測(cè)量，小于1千米的彎彎曲曲的海岸線便會(huì)被忽略；如果用1米的尺子測(cè)量，便會(huì)增加許多彎曲的部分，海岸線必然大大增大；如果讓蝸牛來(lái)測(cè)量，海岸線必然大得驚人.

曼德爾布羅

波蘭裔法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾布羅是分形幾何的創(chuàng)始人. 他的科學(xué)興趣極其廣泛，具有極強(qiáng)的創(chuàng)造能力和形象思維能力，利用計(jì)算機(jī)開創(chuàng)了一門嶄新的分形幾何學(xué).