立足例題拓展提升學習能力

劉傲艷

同學們在本章的學習中，運用概率知識去分析問題和解決問題時，一定會感到困難，這就需要同學們學會將例題進行變式和拓展，來提升自己解決問題的能力，這里給出幾個例子供同學們參考.

例1 在一個不透明的口袋中，裝著10個大小和外形完全相同的小球，其中有5個紅球，3個藍球，2個白球，把它們攪勻以后，請問：下列哪些事件是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？

（1） 從口袋中任意取出一個球，它剛好是白球. （ ）

（2） 從口袋中一次取出3個球，它們恰好全是藍球. （ ）

（3） 從口袋中一次取出9個球，恰好紅、藍、白三種顏色全齊. （ ）

（4） 從口袋中一次取出6個球，它們恰好是1個紅球，2個藍球，3個白球. （ ）

【解答】（1） 隨機事件；（2） 隨機事件；（3） 必然事件；（4） 不可能事件，因為白球一共只有2個.

變式拓展1：現(xiàn)有5個紅球，3個藍球，2個白球，這10個球除顏色外，其余特征完全相同，請你在盒子里放入若干個球，設(shè)計一個游戲方案，使得從盒子里一次摸出三個球，可能是兩個紅球，一個白球.

【解答】從盒子里一次摸出三個球，可能是兩個紅球，一個白球這個事件是隨機事件，因此在設(shè)計游戲方案時，只要保證盒子里至少有4個球，其中必須有兩個紅球，一個白球.

變式拓展2：現(xiàn)在有5個紅球，3個藍球，2個白球，這10個球除顏色不同外，其余完全相同，請你在盒子里放入若干個球，設(shè)計一個必然事件.

【解答】答案不唯一，比如：盒子里只放紅球，任意摸一個球，摸到的球是紅球；比如盒子里放10個球，一次性取出9個球，紅、藍、白三個顏色全齊等.

【說明】本例及變式拓展主要是對隨機事件、必然事件和不可能事件進行理解. 隨機事件即在一定條件下，我們事先無法確定它會不會發(fā)生的事情；必然事件即在一定條件下，事先能肯定它一定會發(fā)生的事情；不可能事件即在一定條件下，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事情. 理解這三個概念應(yīng)從兩個方面入手，即要注意：①在一定條件下；②事先能不能確定事件發(fā)生. 本例主要是已知在一定的條件下，并且給出某個事件，判斷其是什么事件；變式拓展1則是條件未知，要求同學們根據(jù)事件來設(shè)計條件；變式拓展2則更為開放，條件和事件都未知，要求同學們既要設(shè)計條件又要設(shè)計問題. 這樣設(shè)計的目的旨在引導同學們深入理解剖析必然事件、不可能事件和隨機事件的概念，并知道這三種事件是在一定的條件下才成立的，一旦條件發(fā)生變化，這三種事件也有可能互相轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維的靈活性和深刻性.

例2 一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，某同學說，摸出的球不是白球就是紅球，所以摸出白球和摸出紅球這兩個事件可能性大小相等，你認為他的說法正確嗎？如果不正確，哪一種可能性大？為什么？

【解答】一只不透明的盒子裝有2個紅球和1個白球，由于這3個球除顏色外都相同，所以攪勻后從中任意摸出1個球，摸到每一個球的可能性是相同的. 紅球有2個，把它們編號為紅球1、紅球2；那么，攪勻后從中任意摸出1個球有3種可能的結(jié)果：紅球1、紅球2、白球，因此任意摸出1個球，摸到紅球的可能性大.

【說明】本例首先要理解每次摸到的球的顏色是不確定的，摸到每一個球的可能性是相同的，因為紅球的數(shù)量與白球的數(shù)量不等，可以把兩個紅球編上號碼為紅球1、紅球2，因而摸到紅球與摸到白球機會不均等，即摸到紅球的可能性大于摸到白球的可能性. 通過本例同學們要理解：①事件發(fā)生的可能性大小是由發(fā)生事件的條件來決定的；②可能性的大小與數(shù)量的多少有關(guān)：數(shù)量多則可能性大，數(shù)量少則可能性小.

例3 在一個不透明的袋中有大小相同的4個小球，其中2個為白球，1個為紅球，1個為藍球，每次從袋中摸出一球，然后放回攪勻再摸，小剛在摸球?qū)嶒炛械玫较铝斜碇胁糠謹?shù)據(jù).

（1） 請將數(shù)據(jù)表補充完整；

（2） 畫出折線圖；

（3） 觀察上面的圖表可以發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增大，出現(xiàn)紅色小球的頻率______.

（4） 如果按此題中的方法再摸球300次，并將這300次實驗獲得的數(shù)據(jù)也繪成折線圖，那么這兩幅圖會一模一樣嗎？為什么？

（5） 請估計，當實驗次數(shù)很大時，出現(xiàn)紅色小球的頻率將會接近多少？

（6） 假如你去從袋中摸出一球，你摸得紅球的成功率約是多少？

【解答】（1） 上排（頻數(shù)）答案分別為：18，60，72，下列（頻率）答案分別為：20%，25.8%，23.9%，26.2%，24.1%.

（2） 折線圖如圖所示.

（3） 逐漸穩(wěn)定.

（4） 不太可能一模一樣，因為出現(xiàn)紅色小球的頻率是隨機的.

（5） 約25%.

（6） 約25%.

【說明】本例復(fù)習了頻率的定義、折線圖畫法；運用了在實驗中尋找規(guī)律的方法，只有正確理解“每次摸出的結(jié)果是隨機的、無法預(yù)測的，但隨著實驗次數(shù)的增加，隱含的規(guī)律逐漸顯現(xiàn)，事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定到某一數(shù)值”才能準確理解此題. 對于類似的題目要注意兩點：第一，對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）叫頻率；第二，在一定條件下，大量重復(fù)進行同一實驗時，隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動. 在實際生活中，人們常把實驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.

（作者單位：江蘇省常州市清潭中學）