陳奕梅，張 強

（天津工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，天津 300387）

并聯(lián)機器人在任務(wù)空間的非線性自適應(yīng)控制

陳奕梅，張 強

（天津工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，天津 300387）

針對并聯(lián)機器人系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特點，在任務(wù)空間提出了一種非線性自適應(yīng)控制方案.與已有的自適應(yīng)控制方案相比，由于充分考慮了慣性矩陣中參數(shù)的特點，在設(shè)計中不再采取模型的不確定參數(shù)線性化的變換，控制律及自適應(yīng)律的設(shè)計也因被估參數(shù)的減少變得較為簡單.運用Lyapunov方法分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件.該方法能夠保證系統(tǒng)的終端位置及速度的全局漸近穩(wěn)定.最后，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性.

自適應(yīng)控制；非線性控制；并聯(lián)機器人；任務(wù)空間；Lyapunov函數(shù)

并聯(lián)機器人是由多條獨立的運動鏈連接末端執(zhí)行器和固定系統(tǒng)而形成的多閉環(huán)機構(gòu).它具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負(fù)荷比小、動力性能好等一系列優(yōu)點，成為一個潛在的高速、高精度的運動平臺.但由于并聯(lián)機器人動力學(xué)模型復(fù)雜，且存在著強非線性耦合，因此并聯(lián)機器人動力學(xué)建模、控制策略研究及其系統(tǒng)仿真是并聯(lián)機器人研究的最具挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域之一，也是研究的難點之一.對于并聯(lián)機器人的控制可以分為運動學(xué)控制及動力學(xué)控制.運動學(xué)控制依靠機器的運動學(xué)關(guān)系，不考慮機器人的動力學(xué)特性，如PID控制、非線性PD控制[1]以及基于人工智能的控制方案[2]，該控制算法較簡單、魯棒性強，但由于并聯(lián)機器人是一個非線性、強耦合系統(tǒng)，運動學(xué)控制在高度軌跡跟蹤時效果較差.動力學(xué)模型考慮了機器人的動力學(xué)特性，所以非線性動態(tài)可以得到很好的補償，在高速跟蹤時控制效果較好.Liu[3]提出了一種基于幾何映射的控制方法，尚偉偉[4]提出了增廣非線性PD控制和計算力矩非線性PD控制.為了進一步提高控制精度，Kim等[5]針對Stewart平臺提出了一種魯棒控制方案，Vivas等[6]為H4并聯(lián)機器人設(shè)計了一種預(yù)測控制器，張耀欣等[7]針對二自由度并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計了最優(yōu)控制器.然而，在動態(tài)模型建立時，系統(tǒng)的動態(tài)參數(shù)很難準(zhǔn)確確定，因此，設(shè)計自適應(yīng)控制器對提高控制精度有著很大的意義.然而，由于并聯(lián)機器人本身模型的復(fù)雜性，自適應(yīng)控制器的設(shè)計也較為困難，文獻[8-9]在關(guān)節(jié)空間設(shè)計了自適應(yīng)控制器，但由于跟蹤軌跡都是在任務(wù)空間進行，需要求解運動學(xué)逆解，實現(xiàn)比較困難.文獻[10]針對二自由度冗余并聯(lián)機器人設(shè)計了任務(wù)空間的自適應(yīng)控制器，較好地實現(xiàn)了機器人的自適應(yīng)跟蹤.本文利用基于控制Lyapunov函數(shù)的自適應(yīng)控制器設(shè)計方法[11]，針對并聯(lián)機器人的任務(wù)空間設(shè)計了一種自適應(yīng)控制器，該控制器在設(shè)計過程中通過對模型結(jié)構(gòu)以及不確定參數(shù)特點進行分析，不再需要對模型進行參數(shù)線性化處理；同時，控制器以及自適應(yīng)律由于被估參數(shù)量的減少，其結(jié)構(gòu)也更加簡單.

1 機器人動力學(xué)模型

具有冗余驅(qū)動的并聯(lián)機器人在任務(wù)空間的結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 機器人任務(wù)空間結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of parallel robot in task space

圖1中：機器人由位于A1、A2、A3的3個伺服電機驅(qū)動；qa1、qa2、qa3分別為3個主動關(guān)節(jié)的主動角；qb1、qb2、qb3分別為3個從動關(guān)節(jié)的從動角.此裝置包含了3個獨立的二自由度裝置，每個裝置具有如下動態(tài)方程：

式中：qi=[qaiqbi]T；Mi與Ci分別為每個獨立支路的慣性矩陣和離心力矩陣，表示為：

式中：Mi為正定矩陣；αi，βi，γi，i=1，2，3 為動態(tài)參數(shù).這些參數(shù)由與系統(tǒng)的質(zhì)量、質(zhì)心、慣性等物理參數(shù)相關(guān)，并受測量精度的影響.τi= [τaiτbi]T為關(guān)節(jié)力矩向量，由于Bi為從動關(guān)節(jié)，因此τbi=0.fi=[faifbi]T為摩擦力矩向量，fai=sign（q˙ai）fci+fviq˙ai，與 fai相比，fbi非常小，可以被忽略.

并聯(lián)機器人的動態(tài)模型為3個獨立的串聯(lián)機構(gòu)在一定約束下的組合，建立如下形式[10]：

式中：qe=（x y）T為終端位置坐標(biāo)，記cabi=cos（qaiqbi），sabi=sin（qai-qbi）系統(tǒng)的慣性矩陣和離心力矩陣M與C分別表示為：

qe=（x y）T與節(jié)點關(guān)節(jié)角向量q=[qa1qa2qa3qb1qb2qb3]T之間滿足關(guān)系：

W為節(jié)點速度與終端速度之間的雅可比矩陣，雅可比矩陣W可表示為

由于τbi=0且fbi非常小可以被忽略，因此（2）可以進一步表示為：

S為終端速度與3個關(guān)節(jié)的雅各比矩陣，表示為：

設(shè) X1=qe，X2=，X=[X1TX2T]T，根據(jù)（5）式，建立并聯(lián)機器人的動力學(xué)模型如下：

2 自適應(yīng)控制器的設(shè)計

記

構(gòu)造f*=f+NX.其中，N為選定矩陣，滿足=-NX全局漸近穩(wěn)定.取 gn=（I4×4F1），KΘ=，h=（（f*）T）T，因此可以得到：

以及自適應(yīng)律

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

則U沿系統(tǒng)（6）的導(dǎo)數(shù)為：

（1）當(dāng)X≠0，XTPg=0時，由式（9）、式（10）可得 τa=0.由假設(shè)條件 XTPg=0 ? XTPgnKΘh＜ 0，由于 XTPg不含有不確定參數(shù)γi（i=1，2，3）的任何信息，因此，KΘ中的不確定參數(shù)γi可取任意值.當(dāng)取γi=?時，可得XTPg=0?XTPgnK（Θt）h＜0，由此得到，當(dāng)X≠0，XTPg=0 時，U˙＜ 0.

（2）當(dāng)X≠0，XTPg≠0時，由控制律（9）、（10）得：

3 控制器參數(shù)的選擇

可以得到：

此時，定理1中的條件成立，控制器中的正定對稱陣P選定.從推導(dǎo)過程可以看出，該矩陣的選擇不唯一.

在控制器中，沒有關(guān)于對矩陣中參數(shù)αi以及βi的要求，事實上，對于 αi，βi，γi，i=1，2，3 參數(shù)的選擇，只要滿足Mi為正定，都能使系統(tǒng)實現(xiàn)平衡點的全局漸近穩(wěn)定.

4 控制系統(tǒng)仿真

在仿真中，系統(tǒng)的參數(shù)選擇如下[10]：所有桿的長度都相等l=0.244m；3個固定端的位置分別為A1（0，0.25），A2（0.433，0），A3（0.433，0.5）；（α1，α2，α3）=（0.093 2，0.042 7，0.042 7）（kg·m2）；（β1，β2，β3）= （0.038 1，0.008 5，0.008 5）（kg·m2）；（γ1，γ2，γ3）= （0.042 6，0.011 1，0.011 1）（kg·m2）；（fv1，fv2，fv3）=（2.993 6，2.761 7，2.877 1）（NS）；（fc1，fc2，fc3）=（0.497 6，0.457 0，0.300 6）（NS）；初始角度為（qa1，qa2，qa3）=（54°，174°，-66°），（qb1，qb2，qb3）=（-18°，48°，-174°）；末端的初始坐標(biāo)為 （x，y）=（0.289，0.25），控制目標(biāo)末端狀態(tài)為 X=（（0.25，0.3，0，0）T；初始的參數(shù)估計為 （（0.005，0.005，0.005）（kg·m2）.一般情況參數(shù)估計值的初值應(yīng)選擇最小的估計值，這樣，可以確保 αi，βi，γi，i=1，2，3 使 Mi為正定成立.

圖2和圖3分別為目標(biāo)位置及被估參數(shù)的仿真結(jié)果.

可以看出，盡管存在著不確定的參數(shù)值，但系統(tǒng)的目標(biāo)位置仍然可以收斂到期望值，狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的.而參數(shù)估計值與實際值還略有不同程度的誤差，是Lyapunov意義下的穩(wěn)定.

將本文的控制器與文獻[10]相比，控制器與自適應(yīng)器的結(jié)構(gòu)較為簡單，省略了復(fù)雜的參數(shù)線性化的處理過程，但如果對于參數(shù)αi，βi測量不準(zhǔn)確時，缺乏一定的估計能力，因此，可在 αi，βi以及的初值的選擇上選擇一個保守的數(shù)值，即≤ αiβi，使 Mi為正定成立，以確?？刂破鞯淖赃m應(yīng)穩(wěn)定.

圖2 執(zhí)行器末端位置仿真結(jié)果Fig.2 Simulation of end-effector position

圖3 參數(shù)估計值仿真結(jié)果Fig.3 Simulation of estimated parameters

5 結(jié)論

利用基于控制Lyapunov函數(shù)的自適應(yīng)控制器設(shè)計方法，針對并聯(lián)機器人的任務(wù)空間設(shè)計了一種自適應(yīng)控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的全局漸近穩(wěn)定以及被估參數(shù)的Lyapunov穩(wěn)定.根據(jù)系統(tǒng)自身的特點，在未對不確定參數(shù) αi，βi進行估計的情況下，只要 αi，βi以及的初值的選擇上選擇一個保守的數(shù)值，便可確?？刂破鞯淖赃m應(yīng)穩(wěn)定.

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Nonlinear adaptive control scheme for parallel robot in task space

CHEN Yi-mei，ZHANG Qiang
（School of Electrical Engineering and Automation，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

A new nonlinear adaptive control approach is proposed for a kind of parallel robot.In comparison with the existing adaptive control schemes，the parameterization expression of the model parameters is not needed in the proposed approach according to the properties of the parameters in the inertia matrix，and the adaptive control is simpler because of the reduce of estimated parameters.The stabilized conditions and corresponding proof are also presented，and the globally asymptotical stability of the end-effector position is guaranteed.Simulation results are demonstrated in support of the proposed control scheme.

adaptive control；nonlinear control；parallel robot；task space；Lyapunov function

TP271.72

A

1671-024X（2014）03-0055-04

2014-01-09 基金項目：天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計劃（11JCYBJC07000）

陳奕梅（1972—），女，博士，副教授.E-mail：chenyimei@tjpu.edu.cn