楊艷青，張素英

（山西大學 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

近幾年，對光晶格勢阱中玻色－愛因斯坦凝聚體性質的研究引起了人們的廣泛關注，包括布洛赫振蕩［1］、朗道－齊納隧穿［2］、原子激光［3］、傾斜光晶格勢阱中單組分玻色－愛因斯坦凝聚體的動力學性質等［4－7］。隨著進一步研究，囚禁于光晶格勢阱中的多組分玻色－愛因斯坦凝聚體也逐漸引起人們的興趣，如Sadhan K.Adhikari和Boris A.Malomed等研究了在光晶格中的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體［8－11］及超流玻色－費米混合氣體的若干性質［12］。

本文主要研究在一維傾斜光晶格勢阱中的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體的矢量孤子解，分別用變分方法［8，12］和數值模擬方法得到了凝聚體中孤子的空間分布，并將兩種結果進行了比較，然后就不同應力對三種孤子的影響進行了分析，最后研究了孤子的穩(wěn)定性質。

1 物理模型

當粒子所處溫度T低于臨界溫度Tc時，在平均場近似下，兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體可以通過兩個滿足非線性薛定諤方程的宏觀波函數ψ1，ψ2來描述。我們考慮準一維的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體模型，其外部有一個傾斜的周期性光晶格勢阱，ψ1，ψ2滿足如下耦合 Gross-Pitaevskii方程［13－14］：其中m是原子質量，L是光晶格的周期，g和g12分別是組分內和組分間的相互作用強度，其大小和正負在實驗中可以通過Feshbach共振技術來調節(jié)，當g12＞0（g＞0）表示組分間（內部）的相互作用為排斥，g12＜0（g＜0）則表示組分間（內部）的相互作用為吸引。是一個傾斜的光晶格勢阱，V0表示勢阱的振幅，F(xiàn)是一個應力，當x→∞，滿足｜F｜→0。正是由于應力（比如重力、引力）的存在，會使勢阱出現(xiàn)傾斜，如圖1所示。

Fig.1 Tilted OL potential V（x）＝V 0 cos（2x）＋Fx，with V 0＝－5，F(xiàn)＝0.1圖1 傾斜的光晶格勢阱V（x）＝V 0 cos（2x）＋Fx，其中V 0＝－5，F(xiàn)＝0.1

2 變分近似

2.1 兩個孤子不分離的情形

本節(jié)我們考慮兩組分凝聚體中孤子不分離的情形，采用如下高斯擬設：

2.2 兩個孤子分離的情形

3 數值模擬

3.1 兩個孤子不分離的情形

我們用時間劈裂的方法對方程（2）進行數值求解，得到了典型的對稱不分離和不對稱不分離形式的矢量孤子，并將用數值模擬得到的孤子空間構形和變分方法得到的結果進行了比較，如圖2所示，（a）表示兩個孤子對稱的情形，即N1＝N2＝N；（b）表示了兩個孤子不對稱的情形，即N1≠N2.結果表明，變分方法和數值方法的結果吻合得很好。

Fig.2 Symmetric and asymmetric unsplit solitons（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5；（b）N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝1，g 12＝0.5.The black line is the potential well圖2 對稱不分離和不對稱不分離孤子的空間結構圖

在圖2中，所有的凝聚體組分的非線性相互作用系數都是正的（即相互作用為排斥），下面我們考慮g為負值，即組分內為吸引相互作用的情形。如圖3所示，當g取負值的時候，變分方法和數值方法得到的結果依然吻合得很好。

接下來考慮應力的大小對于對稱不分離孤子對的影響，我們將勢阱強度取為V0＝－5，應力從F＝0.1開始逐漸增大，發(fā)現(xiàn)應力大于F＝1.5時，孤子解開始出現(xiàn)較為明顯振蕩，不再穩(wěn)定，如圖4（a）所示。在圖4（b）中，我們將勢阱的強度增大到V0＝－10，應力從F＝0.5開始逐漸增大，F(xiàn)＝2時，孤子解開始有明顯振蕩。經多組研究，發(fā)現(xiàn)應力的大小應比勢阱的強度小，需在小于勢阱強度約1／5的情況下，孤子的數值解同變分近似的結果才有較好地吻合。當應力較大的時候，孤子的空間構形會出現(xiàn)振蕩，孤子不再穩(wěn)定。

3.2 兩個孤子分離的情形

本節(jié)我們考慮對稱的兩組份玻色－愛因斯坦凝聚體形成的兩個孤子間有劈裂的情形，兩個組分的粒子數N1＝N2。圖5分別給出了組分內相互作用為排斥和吸引情況下的結果，對比發(fā)現(xiàn)，通過變分方法得到的孤子的空間構形和數值結果同樣吻合得很好。

Fig.3 Symmetric and asymmetric unsplit solitons with attractive interspecies interaction（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝0.5；（b）N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g 12＝0.5圖3 組分內為吸引相互作用的對稱不分離和不對稱不分離孤子的空間結構圖

Fig.4 Spatial profile of the solitons with different trap strength，when the intertial force change from small to big.（a）V 0＝－5，N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5；（b）V 0＝－10，N 1＝1，N 2＝1，g＝6，g12＝8圖4 不同勢阱強度下，讓應力由小逐漸增大時所對應的孤子空間結構

Fig.5 Two symmetric split solitons（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝2.5，g 12＝6；（b）N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5圖5 兩種對稱分離孤子的空間結構圖

同樣考慮在不對稱不分離和對稱分離兩種情況下，應力的大小對孤子對的影響。對比發(fā)現(xiàn)，同圖4對稱不分離的孤子對有相似的結論，如圖6（a）、圖6（b）所示，應力需小于勢阱強度，當應力小于勢阱強度約1／5，才會有穩(wěn)定的孤子波形。

Fig.6 Spatial profile of the solitons with increasing intertial force（a）V 0＝－5，N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝1，g 12＝0.5；（b）V 0＝－5，N 1＝1，N 2＝1，g＝2.5，g 12＝6圖6 應力由小逐漸變大所對應的不對稱不分離和對稱分離孤子對的空間構形

需要說明的是圖2，3，4，5，6中所示的變分方法和數值模擬得到的孤子，都是指束縛在光晶格勢阱的一個單元中的圖形。

4 穩(wěn)定性分析

前兩節(jié)通過數值方法和變分方法我們分別得到了傾斜光晶格勢阱中兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體中的孤子解，本節(jié)引入強擾動來研究其穩(wěn)定性。以圖2a給出的對稱不分離的孤子作為研究對象，將前述所得到的孤子解實時演化，在t＝20 s時，瞬時乘以一個擾動因子，使ψi（x）→1.1ψi（x），讓其繼續(xù)隨時演化，結果如圖7所示，孤波仍然能繼續(xù)穩(wěn)定的傳播。

Fig.7 Evolution of the symmetric unsplit soltions，with N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable圖7 對稱不分離矢量孤子的實時演化 其中N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g 12＝5，在t＝20 s時，給波函數乘以一個擾動因子，ψi（x）→1.1ψi（x），孤子仍能穩(wěn)定的傳播

接下來分別以圖3b，圖5b所示的不對稱不分離及對稱分離的基態(tài)孤子作為研究對象，同樣在其傳播過程中，在t＝20 s時，將其乘以一個擾動因子，使ψi（x）→1.1ψi（x），讓其繼續(xù)隨時演化，結果觀察到新的孤波依然繼續(xù)穩(wěn)定地傳播，如圖8，圖9所示。

Fig.8 Evolution of the asymmetric unsplit soltions with N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g12＝0.5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable圖8 不對稱不分離矢量孤子的實時演化，N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g 12＝0.5，在t＝20 s時，給波函數乘以一個擾動因子，ψi（x）→1.1ψi（x），仍然穩(wěn)定演化

Fig.9 Evolution of the symmetric split soltions with N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable圖9 對稱分離矢量孤子的實時演化，其中N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5，在t＝20 s時，給波函數乘以一個擾動因子，ψi（x）→1.1ψi（x），繼續(xù)穩(wěn)定演化

5 結論

本文主要研究了在準一維傾斜的光晶格勢阱中的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體的孤子解，分別通過變分方法和數值方法得到了對稱不分離、對稱分離和不對稱不分離三種不同空間分布的矢量孤子，并將兩種方法得到的結果進行比較。然后分析了不同應力對孤子解的影響，發(fā)現(xiàn)只有當應力比勢阱的強度小，大約在勢阱強度的1／5以下，才會有穩(wěn)定的孤子解。進而分別以三種類型的矢量孤子為研究對象，通過在孤子實時演化中，瞬時乘以一個擾動因子的方法對孤子的穩(wěn)定性進行研究，研究表明，上述三種不同類型的矢量孤子都是穩(wěn)定的。

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