杜志偉

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春 130024)

1 問題的提出

1.1 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)及存在的問題

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)特性的一種反映，是人類形象思維和抽象思維共同作用的產(chǎn)物，它具有過程操作和對象結(jié)構(gòu)的二重特性.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一種復(fù)雜的心理活動，是學(xué)習(xí)者對一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性進行概括抽象的過程，其主要方式有概念的形成和概念的同化.在實際教學(xué)過程中，若數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方式使用不當(dāng)，往往會出現(xiàn)許多問題，如理解困難，概念記憶短暫以及應(yīng)用能力差等.波利亞(G.Polya)曾指出:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的途徑是去發(fā)現(xiàn).”所以，在實際教學(xué)中，教授數(shù)學(xué)概念最有效的方式就是開展各式各樣的探究活動，讓學(xué)生在經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的形成過程的過程中發(fā)現(xiàn)概念的內(nèi)涵與價值，這種經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)實質(zhì)上就是對數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過程［1］.

1.2 “再創(chuàng)造”

“再創(chuàng)造”是由著名的荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(Hares Freudenthal)于20世紀70年代提出的，弗賴登塔爾在蘇格拉底方法的基礎(chǔ)上提出要用“發(fā)生”的方法來教數(shù)學(xué)概念，他認為現(xiàn)在教科書的編排方式就像寫數(shù)學(xué)論文，省略了導(dǎo)致結(jié)果的思想過程，而學(xué)生又不是數(shù)學(xué)家，他們對教材究竟要做什么可能一無所知，這往往使他們處于困惑之中，所以教師的任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果.弗賴登塔爾認為學(xué)習(xí)必須含有直接創(chuàng)造的側(cè)面，通過再創(chuàng)造獲得的知識與能力要比被動方式獲得者理解得更好，也更容易保持.”［2］弗賴登塔爾提出的“再創(chuàng)造”教學(xué)理念有著豐富的內(nèi)涵，概括起來有三點——數(shù)學(xué)現(xiàn)實、數(shù)學(xué)化和做數(shù)學(xué).

瑞士心理學(xué)家皮亞杰(J.Piaget)認為，人的認知發(fā)展依靠內(nèi)因和外因的相互作用，新的認知結(jié)構(gòu)要以原有的認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，并與之建立聯(lián)系，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)同樣要考慮學(xué)生的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)現(xiàn)實是“再創(chuàng)造”的基礎(chǔ)，它不僅包含客觀世界的現(xiàn)實情況，也包含學(xué)生實際的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和解決問題的能力.弗賴登塔爾認為每個學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實.例如教師在進行函數(shù)概念教學(xué)時，不僅要考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，如初中課本對函數(shù)概念的界定，學(xué)生目前抽象思維和邏輯思維水平，還要考慮函數(shù)的現(xiàn)實情況，即在現(xiàn)實情況中尋找函數(shù)概念的雛形和例子.

數(shù)學(xué)化是“再創(chuàng)造”的手段.弗賴登塔爾認為，人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方法來研究客觀世界的各種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程，就叫數(shù)學(xué)化［3］.吳開朗認為整個數(shù)學(xué)體系的形成，就是數(shù)學(xué)化的結(jié)果，數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展，就是一個數(shù)學(xué)化過程［4］.例如，我們在學(xué)習(xí)偶函數(shù)的概念時，一般都是先觀察二次函數(shù)f(x)=x2的圖象，再歸納偶函數(shù)的特征，如果只是看到圖象關(guān)于y軸對稱這個層面，而沒有將“圖象關(guān)于軸y對稱”進一步數(shù)學(xué)化，就很難理解偶函數(shù)的定義域中關(guān)于原點對稱和等式f(x)=f(－x)中“x”的任意性.

“做數(shù)學(xué)”(doing mathematics)是“再創(chuàng)造”的核心，“再創(chuàng)造”實質(zhì)上就是“做數(shù)學(xué)”的過程，偉大的教育家夸美紐斯(Comeenius)曾提出:“教一個活動的最好方法是演示.”弗賴登塔爾在此基礎(chǔ)上進行了發(fā)展和創(chuàng)新，提出“學(xué)一個活動的最好方法是做”，就如我們學(xué)習(xí)騎自行車、游泳和駕駛，例子和理論都是本本上的東西，學(xué)生必須學(xué)做這些活動.建構(gòu)主義的觀點認為，知識不是通過教師的傳授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情景即社會文化背景下，通過意義的建構(gòu)得到的.無論是講授式教學(xué)法還是以學(xué)生為主的教學(xué)法，都十分注重學(xué)生去“做數(shù)學(xué)”，只是前者的“做”是“模仿”，教師告訴學(xué)生解題方法，學(xué)生只需要根據(jù)規(guī)則去模仿就行了;而后者的“做”是“探索”，學(xué)生不知道方法和結(jié)果，這樣更容易讓學(xué)生理解概念，也有利于學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)展.所以，在概念的教學(xué)過程中，一定要讓學(xué)生參與進去，學(xué)生在教師開展的一系列活動的幫助下，通過探索、聯(lián)系、歸納等方法主動建構(gòu)對新概念的認識，這樣才能很好地學(xué)習(xí)新概念.

數(shù)學(xué)現(xiàn)實、數(shù)學(xué)化和“做數(shù)學(xué)”是“再創(chuàng)造”不可或缺的三個過程，數(shù)學(xué)現(xiàn)實是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)化是方式，“做數(shù)學(xué)”是核心，三者相互聯(lián)系，下面用一個流程圖來表示“再創(chuàng)造”的過程:

2 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的“再創(chuàng)造”

數(shù)學(xué)概念的二重性決定了我們的認知順序，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，一般要從過程操作開始，之后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J知過程，最后形成固定的認知結(jié)構(gòu).實質(zhì)上，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程就是學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)的過程，美國的杜賓斯基將這個過程分成了四個階段:操作階段(Action)、過程階段(Process)、對象階段(Object)和概型階段(Scheme).從以上的分析我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個過程，在這個過程中需要學(xué)生在活動中經(jīng)歷、體驗和探索，最后形成自己對概念的認知結(jié)構(gòu)，可以說，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就是學(xué)生“再創(chuàng)造”的一個過程.所以，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中要發(fā)揮“再創(chuàng)造”的作用，下面介紹兩個主要的方式.

2.1 數(shù)學(xué)活動

新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂版)》把“基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”列入數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求之一，教師要向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗［5］，說明活動是學(xué)生很重要的一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方式.

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下開展的以實物、模型、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思想方法為操作工具，以完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)為目標(biāo)，以觀、聽、說、做、思等形式全面參與的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的行為活動、思維活動以及情感活動的活動集合體［6］.概括來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動就是學(xué)生參與的具有數(shù)學(xué)性、目的性和啟發(fā)性的行為活動.例如，我們通過切蛋糕活動讓學(xué)生理解分數(shù)和分數(shù)的大小，讓學(xué)生類比指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究方法，通過畫圖象、觀察圖象，小組合作探究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)該參與什么樣的數(shù)學(xué)活動，以及這些活動應(yīng)該如何開展呢?總的來說，有效的數(shù)學(xué)活動要能夠讓學(xué)生“再創(chuàng)造”地形成對新概念的認知結(jié)構(gòu);細分起來，可以概括為以下幾個原則:現(xiàn)實原則、數(shù)學(xué)化原則和目的性原則.

現(xiàn)實原則要求教師要根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實和學(xué)生數(shù)學(xué)能力的現(xiàn)實選擇合適的活動，例如，對于低年級的學(xué)生，選擇的活動應(yīng)該側(cè)重于觀察、操作和趣味性，像游戲、故事、動手活動等;而對于高年級的學(xué)生，應(yīng)側(cè)重于“問題解決”的活動，像“問題探究”、“探索歸納”、“合作解疑”等.數(shù)學(xué)化原則是數(shù)學(xué)活動和其他活動的本質(zhì)區(qū)別，它要求數(shù)學(xué)活動要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想和方法，建立現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，例如，在學(xué)習(xí)全等三角形的概念時，教師可以讓學(xué)生在一張折疊的紙上剪出任意一個三角形，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)得到的是兩個完全重合的三角形，之后就是教師數(shù)學(xué)化的過程了:一是這種“重合”在數(shù)學(xué)上叫做全等，二是通過重合去發(fā)現(xiàn)全等三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.目的性原則是指數(shù)學(xué)活動要完成一定的教學(xué)目標(biāo)，包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀，沒有目標(biāo)指導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動是低效的.例如，教師讓學(xué)生在課堂進行擲硬幣實驗來學(xué)習(xí)“概率”與“頻率”的關(guān)系，這樣既會浪費大量時間，又不一定能達到教學(xué)效果，相反，教師可以讓學(xué)生在課前完成這個實驗，或者教師在課堂用計算機程序來模擬實驗過程和結(jié)果.所以，教師在選擇數(shù)學(xué)活動時，一定要思考“在特定的環(huán)境下這樣的活動能體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)嗎，如何達到更好的效果”等問題.

2.2 HPM 的應(yīng)用

HPM是“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組”(International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics)的縮寫，但現(xiàn)實中又常常被理解為“數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透”［7］.目前該領(lǐng)域的研究者們達成了一定的共識:(l)數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的興趣，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀;(2)數(shù)學(xué)史使數(shù)學(xué)人性化;(3)數(shù)學(xué)家遇到的困難和挫折同樣會為課堂上的學(xué)生所經(jīng)歷;(4)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認知過程與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程相似;(5)數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生理解和欣賞數(shù)學(xué)等［8］.弗賴登塔爾也曾指出:兒童無需重蹈人類的歷史，但他們也不可能從前人止步的地方開始，從某種意義上說，兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史.根據(jù)“個體發(fā)展重復(fù)律”，即“個體的發(fā)展往往重復(fù)種族發(fā)展的歷史”，所以，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中要適當(dāng)運用數(shù)學(xué)史，而且要“再創(chuàng)造”地使用.

“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾重要的數(shù)學(xué)教育思想，在實際的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有著重要的理論價值和實踐價值，尤其是在數(shù)學(xué)概念和定理的教學(xué)和學(xué)習(xí)中.在實際的教學(xué)過程中適當(dāng)運用“再創(chuàng)造”思想，不僅能使學(xué)生很好的理解數(shù)學(xué)概念，讓“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)變?yōu)椤盎馃岬乃伎肌?，而且還能陶冶學(xué)生的情操，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣.

［1］羅潔.數(shù)學(xué)概念的原生態(tài)教學(xué)［J］.中國教育技術(shù)裝備，2011(8):70－71.

［2］弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海:上海教育出版社，1995.

［3］王錚.“再創(chuàng)造”教學(xué)法在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的研究［D］.蘇州:蘇州大學(xué)，2011.

［4］吳開朗，朱茱，許夢日.論漢斯·弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1995，4(3):18－21.

［5］連珂.數(shù)學(xué)教學(xué)活動·數(shù)學(xué)活動·數(shù)學(xué)活動課程——數(shù)學(xué)活動的再認識［J］.新鄉(xiāng)教育學(xué)院學(xué)報，2005，18(1):112－117.

［6］仲秀英.數(shù)學(xué)活動的內(nèi)涵與特征及其對教學(xué)的啟示［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18(4):23－26.

［7］鄭瑋，鄭毓信.HPM 與數(shù)學(xué)教學(xué)中的“再創(chuàng)造”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22(3):5 －7.

［8］楊渭清.HPM視野下的數(shù)學(xué)教育［J］.西安文理學(xué)院學(xué)報，2010，13(3):125－128.

［9］洪萬生.數(shù)學(xué)與敘事在教育上的應(yīng)用:以通識教育和HPM為例［J］.HPM通訊，2009，12(11):1－11.