江海峰，陶長琪，陳啟明

（1．安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002；2．江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理學(xué)院，江西 南昌 330013）

ADF模式中漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)量分布與Bootstrap檢驗(yàn)研究

江海峰1，陶長琪2，陳啟明1

（1．安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002；2．江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理學(xué)院，江西 南昌 330013）

在推導(dǎo)ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较纶厔蓓?xiàng)和漂移項(xiàng)偽t檢驗(yàn)量極限分布基礎(chǔ)上，提出修正的系數(shù)檢驗(yàn)量。研究表明，它們與DF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较聶z驗(yàn)量具有相同的極限分布；構(gòu)造漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)的Bootstrap實(shí)現(xiàn)方法并證明了有效性。將蒙特卡洛模擬技術(shù)與臨界值檢驗(yàn)方法進(jìn)行對比，結(jié)果表明Bootstrap方法能夠明顯降低檢驗(yàn)的水平扭曲，在檢驗(yàn)功效方面也有一定優(yōu)勢。模擬也顯示臨界值檢驗(yàn)的局限性和Bootstrap方法的穩(wěn)健性。

單位根檢驗(yàn)；漂移項(xiàng)；趨勢項(xiàng)；Bootstrap檢驗(yàn)；蒙特卡洛模擬

一、引 言

單位根檢驗(yàn)是現(xiàn)代非經(jīng)典時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)，自Dickey 1976年提出DF檢驗(yàn)以來，單位根檢驗(yàn)理論不斷得到完善和發(fā)展，先后提出了30余種檢驗(yàn)，其中有6種檢驗(yàn)被Eviews軟件所采納［1］。這6種檢驗(yàn)的共同特點(diǎn)是在檢驗(yàn)前首先要確定數(shù)據(jù)生成過程（Data Generating Process，DGP），且檢驗(yàn)量分布與臨界值和DGP一一對應(yīng)，白仲林等研究表明，確定DGP中是否包括漂移項(xiàng)或者趨勢項(xiàng)至關(guān)重要［2－3］。為此Compbell等都提出了單位根檢驗(yàn)一般過程［4－5］：先從包括漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)的一般模型出發(fā)檢驗(yàn)單位根，同時(shí)對漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)，實(shí)際上也可以對漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)直接進(jìn)行檢驗(yàn)。鑒于軟件對這兩個(gè)單參數(shù)檢驗(yàn)只給出了基于傳統(tǒng)t分布①在單位根過程中，除第三種檢驗(yàn)，漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)偽t檢驗(yàn)量不具有t分布形式，因此檢驗(yàn)概率不可用。臨界值對應(yīng)的檢驗(yàn)概率，張曉峒等以DF檢驗(yàn)為對象按有無漂移項(xiàng)的DGP分別推導(dǎo)了漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)的極限分布，并給出了響應(yīng)面函數(shù)［6］；肖燕婷等則以無漂移項(xiàng)DGP估計(jì)有漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)模型，并給出了相應(yīng)的分布②這種DGP情況下檢驗(yàn)量的分布與有漂移項(xiàng)DGP情況下在消除共線性后檢驗(yàn)量的分布相同。，這無疑豐富了單位根檢驗(yàn)理論［7］。然而與單位根檢驗(yàn)相關(guān)的檢驗(yàn)量只在大樣本下才有極限分布，Leybourne等對單位根項(xiàng)檢驗(yàn)的模擬研究表明，使用有限樣本下臨界值方法對單位根項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，會(huì)產(chǎn)生較大的水平扭曲，并引發(fā)功效損失［8］。為了解決這個(gè)問題，Basawa等將Bootstrap方法應(yīng)用到單位根項(xiàng)檢驗(yàn)中，取得了較好的檢驗(yàn)效果［9－14］。但就漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)的檢驗(yàn)而言，仍有以下問題值得進(jìn)一步思考：

第一：不像單位根項(xiàng)檢驗(yàn)?zāi)菢?，既可以使用偽t檢驗(yàn)量，也可以采用系數(shù)或修正系數(shù)檢驗(yàn)量③在ADF和PP檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较?，單位根?xiàng)系數(shù)檢驗(yàn)量需分別采用參數(shù)和非參數(shù)方式進(jìn)行調(diào)整。，張曉峒和攸頻的研究以及下文研究都表明，漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)系數(shù)檢驗(yàn)量不能用于檢驗(yàn)，只能采用偽t檢驗(yàn)量［6］。那么，是否存在類似可行的修正系數(shù)檢驗(yàn)量呢？

第二：由于ADF檢驗(yàn)允許在數(shù)據(jù)生成過程中添加差分因變量的滯后期，以降低擾動(dòng)項(xiàng)可能存在的自相關(guān)性，從而更符合實(shí)際要求并被廣泛使用，但目前尚沒有文獻(xiàn)研究ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ街衅祈?xiàng)、趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)量的分布。另外，聶巧平等的研究表明，DF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ脚cADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较碌穆?lián)合F檢驗(yàn)量有相同的分布［15］。那么，這種等價(jià)關(guān)系對漂移項(xiàng)與趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)量是否存在呢？

第三：由于模擬次數(shù)不同，不同文獻(xiàn)給出的相同樣本容量和顯著性水平下的臨界值有明顯差異，這表明蒙特卡洛模擬得到的臨界值缺乏穩(wěn)健性。那么，是否存在一種不依賴臨界值的檢驗(yàn)方法呢？

第四：張曉峒等的研究以及下文都表明，檢驗(yàn)水平扭曲和功效損失問題也存在于漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)中［6］。那么，能否也使用合適的Bootstrap方法來適當(dāng)降低檢驗(yàn)水平扭曲程度呢？

第五：在蒙特卡洛模擬獲取臨界值的時(shí)候，都毫無例外地假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。那么，由此得到的臨界值對擾動(dòng)項(xiàng)服從其它分布是否具有穩(wěn)健性呢？

因此，本文將對以上5個(gè)問題進(jìn)行研究。本文創(chuàng)新在于：推導(dǎo)了ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较缕祈?xiàng)和趨勢項(xiàng)在3種估計(jì)情況下偽t檢驗(yàn)量的分布，提出了基于Bootstrap方法下修正的系數(shù)檢驗(yàn)量，拓展了Ferretti等的Bootstrap方法，模擬證實(shí)了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布擾動(dòng)項(xiàng)對其它分布類型缺乏穩(wěn)健性，從而為單位根檢驗(yàn)理論和Bootstrap方法做了有益的補(bǔ)充。

二、ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较聜蝨檢驗(yàn)量與修正系數(shù)檢驗(yàn)量

提取所要研究的兩個(gè)估計(jì)量可得到式（4）成立。

類似可以提取兩個(gè)估計(jì)量方差的極限分布，進(jìn)而計(jì)算偽t檢驗(yàn)量得到式（5）和式（6）。

在式（4）中，由于兩個(gè)系數(shù)檢驗(yàn)量都含有未知參數(shù)σ，不能直接用于檢驗(yàn)，因此本文采用參數(shù)σ的一致估計(jì)量s1T進(jìn)行修正。顯然，修正后檢驗(yàn)量為漸進(jìn)Pivotal①Pivotal通常被譯為軸樞，筆者認(rèn)為這種譯法沒有體現(xiàn)出真正含義，因此保留其英文表示，漸進(jìn)Pivotal檢驗(yàn)量表示該檢驗(yàn)量的分布在大樣本下不含有任何未知的參數(shù)。檢驗(yàn)量，可用Bootstrap方法進(jìn)行檢驗(yàn)，本文稱之為修正系數(shù)檢驗(yàn)量。

類似地，可以假設(shè)無漂移項(xiàng)數(shù)據(jù)生成過程為：

定理2證明過程與定理1類似，限于篇幅略去。

上述式（11）和式（13）就是修正的系數(shù)檢驗(yàn)量，而式（12）、式（14）和式（15）分別與張曉峒等研究中DF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ綄?yīng)檢驗(yàn)量的極限分布相同，因此定理1和定理2不但回答了本文提出的第一個(gè)和第二個(gè)問題，也為下文的Bootstrap檢驗(yàn)提供了方便。

三、Bootstrap檢驗(yàn)研究

定理1和定理2表明，兩種檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较缕祈?xiàng)和趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)量的極限分布完全相同，不失一般性，下面僅以DF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ綖檠芯繉ο?，使用Bootstrap方法對漂移項(xiàng)和趨勢項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，對于ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ?，只要相?yīng)修改本文的Bootstrap方法即可完成檢驗(yàn)。根據(jù)數(shù)據(jù)生成過程是否含漂移項(xiàng)分兩種情況進(jìn)行研究。

（一）數(shù)據(jù)生成無漂移項(xiàng)的Bootstrap檢驗(yàn)

設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為：

為了說明Bootstrap方法的有效性，就必須從理論上證明基于Bootstrap樣本下的檢驗(yàn)量與原始樣本對應(yīng)的檢驗(yàn)量具有相同的極限分布，證明過程中將使用大數(shù)定律、中心極限定理、連續(xù)映射定理、Bootstrap不變原理以及Slutsky定理。首先構(gòu)造如下部分和序列：

① 的表達(dá)式參見文獻(xiàn)［11］，引理2的證明也參考該文獻(xiàn)。② 為方便起見，Bootstrap樣本下各個(gè)檢驗(yàn)量都省略了下標(biāo)b，例如簡記為，其它也是如此。

（二）數(shù)據(jù)生成有漂移項(xiàng)的Bootstrap檢驗(yàn)

設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為：

① 實(shí)際進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，為了消除共線性需要對模型作處理，可參考文獻(xiàn)［6］中的做法，在Bootstrap樣本下消除共線性需要使用估計(jì)量＾α來進(jìn)行。

再根據(jù)引理1、引理2、連續(xù)映射定理、大數(shù)定律和Slutsky定理有：

利用OLS估計(jì)式（25）并結(jié)合上述分布有①在DF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较?，式?6）、（27）中的λ＝σ。：

因此，定理3和定理4從理論上證實(shí)了可以使用Bootstrap方法根據(jù)自身樣本來提取臨界值進(jìn)行檢驗(yàn)，而不必使用擾動(dòng)項(xiàng)基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布強(qiáng)假定下得到的臨界值，這就回答了本文的第三個(gè)問題，也部分回答了第四個(gè)問題。

四、蒙特卡洛模擬研究

為了進(jìn)一步回答本文的第四個(gè)問題并考察第五個(gè)問題，現(xiàn)進(jìn)行蒙特卡洛模擬分析。為了考察誤差項(xiàng)分布的不同對臨界值檢驗(yàn)是否有影響，選取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、均勻分布U（0，1）和自由度為5的卡方分布，分別記為類型1、類型2、類型3，對于后兩種分布的期望需要進(jìn)行中心化處理；為了考察樣本因素，選取了4種樣本，分別為15、25、40和60，臨界值分別來自張曉峒和肖燕婷等的研究，取顯著性水平為0．05；在式（23）中取α＝1，設(shè)定Bootstrap樣本構(gòu)造次數(shù)和蒙特卡洛模擬次數(shù)均為15 000。首先分析在數(shù)據(jù)生成過程為單位根下的結(jié)果，檢驗(yàn)結(jié)果如表1和表2所示。

表1 無漂移項(xiàng)數(shù)據(jù)生成模型下的檢驗(yàn)水平結(jié)果 單位：%

表2 有漂移項(xiàng)數(shù)據(jù)生成模型下的檢驗(yàn)水平結(jié)果 單位：%

可以從兩個(gè)角度來評(píng)價(jià)兩種檢驗(yàn)方法的優(yōu)劣：首先，比較兩種檢驗(yàn)方法與顯著性水平的吻合程度，即可靠性。根據(jù)Godfrey和Orme提供的實(shí)際顯著性水平區(qū)間估計(jì)公式，取概率度為1．96得到實(shí)際顯著性水平的區(qū)間估計(jì)為（4．65%，5．35%）［17］。按此標(biāo)準(zhǔn)，在表1中使用臨界值進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有11個(gè)檢驗(yàn)落在區(qū)間之外（表1中用加粗表示，表2也相同），實(shí)際覆蓋率為69．44%；而使用Bootstrap方法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，所有檢驗(yàn)都落在區(qū)間內(nèi)，具有100%的覆蓋率，顯示出該方法較臨界值方法的優(yōu)越性。以上11種情況的樣本分布為3：2：1：5，這表明即使增大樣本，水平扭曲程度并沒有呈現(xiàn)降低趨勢；在三種誤差類型中的分布為4：5：2，分布的不均勻性表明了基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得到的臨界值對其它分布誤差類型缺乏穩(wěn)健性，或者說其代表性較差，這就回答了第五個(gè)問題。其次，可以考察實(shí)際檢驗(yàn)水平與名義顯著性水平的接近程度，即精確性。表1中顯示臨界值檢驗(yàn)下有21個(gè)較Bootstrap方法占優(yōu)（表1中用下劃線表示，表2也相同），剩下的51個(gè)檢驗(yàn)是Bootstrap方法占優(yōu)。因此從精確性角度來說，Bootstrap方法總體上也顯示出較強(qiáng)的優(yōu)勢。更為重要的是：表1顯示在Bootstrap方法下，本文提出的修正系數(shù)檢驗(yàn)量取得了和偽t檢驗(yàn)量相近結(jié)果，表明了該檢驗(yàn)量的可行性。同樣，表2也有上述類似結(jié)論，這里不再詳細(xì)說明。

接下來比較兩種方法的檢驗(yàn)功效，為此取ρ＝0．95來考察兩種方法的效果，仍然使用基于單位根下的臨界值，且Bootstrap樣本的構(gòu)造也保持不變，此時(shí)原假設(shè)不成立，因此理想的結(jié)果是較高的拒絕率。表3給出了無漂移項(xiàng)數(shù)據(jù)生成過程下的模擬結(jié)果。

表3 無漂移項(xiàng)數(shù)據(jù)生成模型下的實(shí)際拒絕率 單位：%

表4 有漂移項(xiàng)數(shù)據(jù)生成模型下的實(shí)際拒絕率單位：%

五、結(jié) 論

綜上研究，本文得到了以下四點(diǎn)結(jié)論：

第一，就修正的系數(shù)檢驗(yàn)量而言，當(dāng)數(shù)據(jù)生成為單位根過程時(shí)，修正系數(shù)檢驗(yàn)量的實(shí)際檢驗(yàn)水平與名義顯著性水平相吻合，具有滿意的檢驗(yàn)效果；在近單位根過程的檢驗(yàn)中，雖然趨勢項(xiàng)的修正系數(shù)檢驗(yàn)量在絕大多數(shù)場合下有較低的拒絕率，但漂移項(xiàng)的修正系數(shù)檢驗(yàn)量具有較高的拒絕率，因此修正系數(shù)檢驗(yàn)量也可以用于檢驗(yàn)。

第二，就檢驗(yàn)量分布而言，基于ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较缕祈?xiàng)和趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)量的極限分布與DF檢驗(yàn)?zāi)Ｊ较聦?yīng)檢驗(yàn)量的極限分布相同，因此實(shí)證分析中可以使用已有文獻(xiàn)給出的臨界值。

第三，就檢驗(yàn)的可靠性和精確性而言，蒙特卡洛模擬研究表明，兩個(gè)指標(biāo)都顯示出Bootstrap方法較臨界值方法有優(yōu)越性，具有更低的水平扭曲；在檢驗(yàn)功效方面，臨界值方法與Bootstrap方法各有優(yōu)勢，因此Bootstrap方法可代替臨界值方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

第四，就誤差類型對檢驗(yàn)的影響而言，模擬研究表明，基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布擾動(dòng)項(xiàng)假設(shè)下得到的臨界值缺乏穩(wěn)健性，因此當(dāng)實(shí)證分析中的數(shù)據(jù)不滿足假設(shè)條件時(shí)，臨界值檢驗(yàn)得到的結(jié)論需謹(jǐn)慎對待，此時(shí)需要借助Bootstrap方法進(jìn)一步檢驗(yàn)。

最后需要指出的是，不像平穩(wěn)時(shí)間序列那樣，可以借助Edgeworth展開式從理論上證明有限樣本下Bootstrap方法優(yōu)于漸進(jìn)分布的臨界值方法。由于單位根檢驗(yàn)所涉及的檢驗(yàn)量是維納過程的泛函，很難獲得Edgeworth展開式所需要高階矩結(jié)果，因此目前還不能從理論上給出明確的證明，但已有文獻(xiàn)和本文的模擬結(jié)果都表明了Bootstrap方法較臨界值方法有優(yōu)越性。

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［16］陸懋祖．高等時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)［M］．上海：上海人民出版社，1999．

［17］Godfrey L G，Orme C D．Controlling the Significance Levels of Prediction Error Tests for Linear Regression Models［J］．Econometrics Journal，2000，3（1）．

Distribution of Statistics of Drift and Time Trend under ADF Mode and Bootstrap Test

JIANG Hai-feng1，TAO Chang－qi2，CHEN Qi-ming1
（1．School of Business，Anhui University of Technology，Ma＇anshan 243002，China；2．School of Information and Management，Jiangxi University of Finance and Economics，Nanchang 330013，China）

The paper first derives the limit distribution of pseudo t test for drift and trend based on ADF test mode，and brings forward the modified coefficient test．Results show these tests share the same limit distribution with the DF test mode．Then the Bootstrap test and its validity for drift and trend is given and testified．Results from Monte Carlo Simulation indicate that the Bootstrap method can significantly reduce the size distortion and also has certain advantages in test power over critic value method．Simulation also shows the limitation of the critic value method and the robustness of the Bootstrap method．

unit root test；drift；trend；Bootstrap test；Monte Carlo simulation

O221．6∶F224．0

A

1007－3116（2014）06－0003－08

2013－11－18

國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目《基于Bootstrap方法下單位根檢驗(yàn)研究》（13BJY011）

江海峰，男，安徽巢湖人，博士生，副教授，研究方向：數(shù)量理論及應(yīng)用；

陶長琪，男，江西臨川人，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；

陳啟明，男，安徽宿松人，管理學(xué)碩士，講師，研究方向：預(yù)測與決策，運(yùn)籌與管理。

（責(zé)任編輯：崔國平）