李 悅

（安徽城市管理職業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)系，安徽 合肥230011）

股指期貨套利主要有兩種方法：期現(xiàn)套利和跨期套利。期現(xiàn)套利不需要數(shù)據(jù)儲(chǔ)備，股指推出后即可進(jìn)入套利操作階段；對(duì)于跨期套利，可以用協(xié)整的方法來尋找兩個(gè)合約的均衡價(jià)差。從以前的研究結(jié)果來看，雖然這種方法的成功率很高，但需要一定的股指期貨數(shù)據(jù)儲(chǔ)備。也就是說，在股指剛推出的一段時(shí)間內(nèi)，不能進(jìn)行套利操作，這也是這種方法的不足之處［1］。

一、研究方法

(一)基本理論

期現(xiàn)套利是利用股指期貨合約與標(biāo)的指數(shù)之間的價(jià)格偏差進(jìn)行套利交易，即對(duì)期貨和現(xiàn)貨進(jìn)行反向操作，買入（賣出）現(xiàn)貨的同時(shí)賣出（買入）相同市值的期貨。由于現(xiàn)貨是指數(shù)，不能買入（指數(shù)），因此需要利用指數(shù)的成分股來復(fù)制指數(shù)或構(gòu)建ETF組合來復(fù)制指數(shù)，以此來實(shí)現(xiàn)對(duì)指數(shù)的操作。

從上面可以看到，期現(xiàn)套利有兩種策略：正向套利和反向套利，考慮到目前操作性，我們只做正向套利研究，即買入現(xiàn)貨，賣出期貨。

股指期貨的理論定價(jià)模型如下［2］：

其中：

t：時(shí)間變量；

T：股指期貨近d月合約的到期交割日；

F(t,T)：到期日為T的股指期貨合約在t時(shí)刻的理論價(jià)格T；

S(t)：t時(shí)刻的股指現(xiàn)貨價(jià)格；

r：無風(fēng)險(xiǎn)利率；

d：指數(shù)的年股息率。

(二)研究步驟

1.期現(xiàn)套利

以滬深300為例，滬深300的成分股比較多，無論是完全復(fù)制或者抽樣復(fù)制，目前從操作上來說，在同一時(shí)間完成大量股票的買賣比較困難，由于目前國內(nèi)尚沒有基金公司推出標(biāo)的滬深300的ETF，所以，本文舉例構(gòu)建幾種ETF的組合來復(fù)制指數(shù)［3］。

ETF與普通的指數(shù)基金相比具有以下優(yōu)點(diǎn)：首先，ETF基金相對(duì)于LOF具有交易成本低、交易方便、交易效率高等特點(diǎn)；其次，ETF采用完全被動(dòng)的指數(shù)化投資策略，管理費(fèi)用較低，操作透明度較高，可以讓投資者以較低的成本投資于一籃子標(biāo)的指數(shù)成分股。

例如，市場上的上證50ETF、上證180ETF、深證100ETF三只ETF產(chǎn)品（概況見表1）。

表1 市場上ETF情況

首先來看這三只ETF與滬深300指數(shù)相關(guān)性，本文取近兩年左右的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析（見表2）。

下面我們來看看幾種不同ETF的組合對(duì)滬深300指數(shù)的回歸結(jié)果（見表3），由此來選擇最優(yōu)的ETF組合。

表2 ETF與滬深300的相關(guān)性

表3 不同ETF的組合對(duì)滬深300指數(shù)的回歸結(jié)果

從表3可看出，用ETF組合來復(fù)制滬深300指數(shù)時(shí)，最佳選擇為上證180ETF+上證50ETF+深證100ETF，其次為上證50ETF+深證 100ETF。由此，本文決定使用最佳組合來復(fù)制滬深300指數(shù)，以實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差最小化。

2.ETF組合構(gòu)建

確定最優(yōu)ETF組合的配置，就是解決下面的二次規(guī)劃問題［4］。

上面的rij代表第j個(gè)ETF產(chǎn)品在第i日的日連續(xù)復(fù)利收益率；ki代表第i日滬深300指數(shù)的日連續(xù)復(fù)利收益率；βj代表第j個(gè)ETF產(chǎn)品在ETF組合中的市值權(quán)重。

如果考慮的是跟蹤目標(biāo)ETF的頭寸收益超越指數(shù)，則需要控制ETF收益下方的風(fēng)險(xiǎn)。實(shí)際上對(duì)于正向套利而言，ETF的頭寸收益超越指數(shù)對(duì)套利是有利的，由此可以設(shè)計(jì)出跟蹤偏差的半差公式，從而得到如下的二次規(guī)劃問題。

3.套利策略

股指期貨和現(xiàn)貨交易時(shí)存在著交易成本(CR)以及復(fù)制指數(shù)時(shí)存在著跟蹤誤差(TE實(shí)踐中需要將其轉(zhuǎn)化為T-t期內(nèi)的區(qū)間值)，只有股指期貨的實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格的偏差大于上述成本之和時(shí)，才能進(jìn)行套利，因此也就存在一個(gè)無套利區(qū)間。下面就來導(dǎo)出這個(gè)無套利區(qū)間［5］。

整個(gè)期現(xiàn)套利活動(dòng)的交易成本和跟蹤誤差損益為：

進(jìn)行正向套利的條件是：當(dāng)股指期貨的實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格的偏離大于上述交易成本與跟蹤誤差損益之和。

進(jìn)行反向套利的條件是：當(dāng)股指期貨的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的偏離大于上述交易成本與跟蹤誤差損益之和。

由此可得期現(xiàn)套利的無套利區(qū)間為：

4.年股息率的確定

可從歷史數(shù)據(jù)中進(jìn)行估算。

5.交易成本分析

表4 交易成本

二、數(shù)據(jù)及配置ETF權(quán)重方法的說明

本文前面提到了兩種確定ETF權(quán)重的方法，為了比較這兩種方法的效果，分別使用這兩種方法確定 ETF 的權(quán)重［6］。

(一)跟蹤目標(biāo)盡可能擬合標(biāo)的指數(shù)

在這種情況下，我們只考慮ETF盡可能擬合指數(shù)，而不考慮上下偏差對(duì)套利收益的影響，確定ETF權(quán)重的二次規(guī)劃問題如下［7］：

約束條件：

其中 m=3。

所以上面的最優(yōu)化問題可以寫成如下形式：

(二)控制ETF收益率的下偏差

因?yàn)镋TF超越指數(shù)的部分可以增加套利的收益，所以我們這里對(duì)下偏差進(jìn)行限制［9］，使用如下的二次規(guī)劃來確定三個(gè)ETF的權(quán)重。

其中 m=3。

目標(biāo)函數(shù)：

三、套利分析

可使用最近一年的數(shù)據(jù)來進(jìn)行套利研究。

對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)利率r，年股息率d，交易成本CR進(jìn)行樣本估算，得到樣本期年跟蹤誤差，確定參數(shù)。本文測(cè)算的年跟蹤誤差在0.2%左右，相關(guān)資料研究表明指數(shù)的年跟蹤誤差一般在0.3%-0.5%，為了保險(xiǎn)起見，本文年跟蹤誤差選為TE=0.3%。

確定上述參數(shù)后，可得出無套利區(qū)間的數(shù)值序列。

可使用控制上下偏差得到的ETF的配置比例來套利。

四、結(jié)語

本文介紹了兩種方法得到ETF的配置比重來進(jìn)行套利。如果數(shù)據(jù)顯示期貨處于嚴(yán)重的高估狀態(tài)，可以適當(dāng)增加期貨的風(fēng)險(xiǎn)敞口，以獲得更好的收益。

［1］王東,王其文,張世英.期貨交叉套期保值行為研究［C］//Systems Engineering,Systems Science and Complexity Research-Proceeding of 11th Annual Conference of Systems Engineering Society of China,2000:112-116.

［2］王寶森,溫興宇.股票指數(shù)期貨指數(shù)套利模型及應(yīng)用［J］.經(jīng)濟(jì)論壇,2007(7):23-25.

［3］張敏,徐堅(jiān).ETF在股指期貨期現(xiàn)套利的現(xiàn)貨組合中的應(yīng)用［J］.技術(shù)經(jīng)濟(jì)與管理研究,2007(3):31-32.

［4］Andersen T G,Bollerslev T.Intraday periodicity and volatility persistence in financial market［J］.Journal of Empirical Finance,1997(4):115-158.

［5］于易.滬深300股指期現(xiàn)套利GARCH模型應(yīng)用研究［D］.大連:大連海事大學(xué),2012.

［6］Meddahi N.A,theoretical comparison between integrated and realized volatility［M］.Journal of Applied Econometrics,2002:479-508.

［7］李勝歌,張世英.已實(shí)現(xiàn)雙冪次變差與多冪次變差的有效性分析［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2007(4):280-286.

［8］Comte F,Tenault E.Long Memory in continuous-time stochastic Volatility models［M］.Mathematical Finance,1998:291-323.