張小芝，朱傳喜，朱 麗

（南昌大學理學院管理科學與工程系，江西南昌330031）

按照“厚今薄古”的思想，我們要在事先給定的時間度的情況下，盡可能地尋找一組時間權重系數(shù)使其貼近度最大，即轉化為如下的優(yōu)化模型：

時序多屬性決策的廣義等級偏好優(yōu)序法

張小芝，朱傳喜，朱 麗

（南昌大學理學院管理科學與工程系，江西南昌330031）

實際中很多復雜的多屬性決策問題往往需要考慮多個時間序列的決策信息，針對這類時序多屬性決策問題，本文在優(yōu)序法的基礎上，定義了廣義優(yōu)序數(shù)的概念。同時提出基于理想時間權向量的方法來解決時序多屬性決策中時間權重的確定問題，進而在此基礎上提出時序多屬性決策的廣義等級偏好優(yōu)序法。最后，利用文獻中的數(shù)據(jù)，用本文的方法對某集團的四個銅礦企業(yè)的綜合效益進行了評價，其結果表明了本文方法的可行性和有效性。本文為解決時序多屬性決策問題提供了一種新的方法和思路。

時序多屬性決策；廣義等級偏好優(yōu)序法；廣義優(yōu)序數(shù)；理想時間權重

1 引言

多屬性決策是對可行性方案集綜合考察方案的各屬性，并對方案做出綜合排序的一類問題，近年來成為決策分析研究的熱點問題，其研究已滲透到經(jīng)濟、軍事、管理等各領域。其研究方法主要表現(xiàn)為基于OWA決策算子的方法［1-4］、TOPSIS方法［5-6］、基于理想點的灰色關聯(lián)度方法［7-8］、基于支持向量機的方法［9-10］，優(yōu)序法［11-13］等等以及各種決策方法的綜合應用［14］。

另一方面，傳統(tǒng)的多屬性決策問題往往只關注于單個時期的決策信息，并對其進行分析和評價。事實上，隨著社會的進步和科技的發(fā)展，諸如對企業(yè)效益的綜合評價、對高校教師的績效考核等很多復雜的決策問題需要同時考慮過去和現(xiàn)在幾個時期的決策信息，并用適當?shù)臎Q策方法對其進行排序和擇優(yōu)，使得到的評價結果更全面、更客觀、更科學。這類決策問題稱為時序多屬性決策問題，它的基本特征是在決策空間和目標空間的基礎上增加了時間空間，需要考慮時間對決策結果的影響，是具有時間、屬性、方案的三維決策排序問題。時序多屬性決策較傳統(tǒng)的多屬性決策顯得更困難、更復雜，已成為現(xiàn)代決策領域中備受關注的課題之一［3-4，7-8，10，16-18］。

本文則在陳春芳等［13］的基礎上，將優(yōu)序法進一步拓展至方案間的優(yōu)劣等級為分數(shù)的情形，提出廣義優(yōu)序數(shù)的新概念，并將其應用于時序多屬性決策中，提煉出時序多屬性決策的廣義優(yōu)序法。相對于整數(shù)型優(yōu)劣等級情形［13］，本文的適用范圍更廣，排序結果更客觀。同時，時間權重的選擇是解決時序多屬性決策問題的關鍵，本文提出了理想時間權向量的新概念，并在此基礎上建立優(yōu)化模型來確定時間權重，為時序多屬性決策問題提供了一種新的思路和方法。最后，用本文所提出的方法對幾個企業(yè)的效益進行綜合評價，充分說明了本文方法的有效性和簡潔性。

2 決策問題的數(shù)學描述及時間權重的確定

設A=｛A1，A2，…，As｝是多屬性決策問題中由s個方案組成的方案集，G=｛g1，g2，…，gm｝是由m個屬性組成的屬性集。T=｛t1，t2，…，tp｝是對可行方案所考察的p個時間段。記S=｛1，2，…，s｝，M=｛1，2，…，m｝，P=｛1，2，…，p｝。gl（Ai）（tk）表示第k個時間段中第i個方案在第l個屬性下的屬性值，若完全無法得到信息，則記gl（Ai）（tk）=？，若只能獲取對方案間優(yōu)劣的序關系，則以偏序偏好結構［15］的形式給出，即gl（Ai）（tk）Rgl（Aj）（tk）；R∈｛?，?，≈，？｝，i，l∈S，k∈P。

在時序多屬性決策問題中，時間權向量V=｛v1，v2，…，vp｝的確定是一個至關重要的環(huán)節(jié)［4，16-17］。郭亞軍等［4］引入時間度的概念，以時間權向量的信息熵為優(yōu)化目標來確定時間權向量，本文提出一種截然不同的方法—基于理想時間權向量的新方法。

定義1［1］記，則稱λ為V=｛v1，v2，…，vp｝的時間度。

特別地，當V=｛0，0，…，1｝時λ=0，表明決策者只重視當前時刻的信息，此時記V+=｛0，0，…，1｝為正理想時間權向量；當V=｛1，0，…，0｝時λ=1，表明決策者只重視最陳舊的信息，此時記V-=｛1，0，…，0｝為負理想時間權向量。當V=時λ=0.5，表明決策者對所有時間段的信息同等重視。

記兩個時間權向量V1=｛v1，v2，…，vp｝；V′=｛v′1，v′2，…，v′p｝之間的距離為：

則任一時間權向量V=｛v1，v2，…，vp｝與正、負理想時間權向量的距離分別為：

將時間權向量對理想時間權向量的貼近度表示為：

按照“厚今薄古”的思想，我們要在事先給定的時間度的情況下，盡可能地尋找一組時間權重系數(shù)使其貼近度最大，即轉化為如下的優(yōu)化模型：

求解此模型即可得到時序多屬性決策問題的時

間權向量V1=｛v1，v2，…，vp｝。

3 廣義等級偏好優(yōu)序法

假設決策者根據(jù)需要將屬性值劃分為n個等級，在tk時間段屬性gl下所劃分等級的步長為：

我們按如下方式來比較在在tk時間段屬屬性gl下方案Ai優(yōu)于方案Aj的等級數(shù)：

其中，G1，G2分別表示效益型屬性和成本型屬性，對于固定型、區(qū)間型等其它形式的屬性，均可轉化為效益型或成本型屬性。因此不妨假設G=G1∪G2。若屬性值不能用實數(shù)來表示，只能獲取方案間的偏序偏好關系而無法比較優(yōu)劣程度，不妨假定其優(yōu)劣等級數(shù)為最大。

其中，當rijl（tk）＞0時理解為在tk時段屬性gl下方案Ai優(yōu)于方案Ajrijl（tk）個等級，記為Aj，當rijl（tk）＜0時理解為在tk時段屬性gl下方案Ai劣于方案Aj|rijl（tk）|個等級，記為當rijl（tk）=0時稱在屬性gl下方案Ai與方案Aj同樣好，記為Ai≈Aj。并且，這里無需對決策矩陣進行規(guī)范化處理。

令：

其中，i，j∈S，i≠j，l∈M，k∈P。規(guī)定i=j時aijl（tk）=0。則稱aijl（tk）為在tk時間段屬性l下方案Ai相對于方案Aj的廣義優(yōu)序數(shù)。

定義2 令aij（tk）=，則稱aij（tk）為tk時間段方案Ai相對于方案Aj的廣義優(yōu)序數(shù)，Ki（tk）為方案Ai在tk時間段的廣義優(yōu)序數(shù)。

由（3）-（5）式可以看出，這里的廣義等級數(shù)是分數(shù)情形，與整數(shù)型等級數(shù)［13］相比而言，廣義優(yōu)序數(shù)的計算結果實際上與最初設定的等級數(shù)n無關，這就有效地避免了因不同決策者制定不同的等級數(shù)而導致決策結果的非一致性，使得決策結果更具有客觀性和科學性。

為了充分說明基于廣義優(yōu)序數(shù)的等級偏好優(yōu)序法在理論上是可行的，下面對時序多屬性決策問題在tk（k=1，2，…，p）時間段的情形予以證明。

證明 用反證法。設存在At∈X，使得g（At），且至少有一個l∈M，使得gl（At）

不妨設A中有a個元素，B中有b個元素，a≥1，b≥0，a+b=m。此時：。記：

所以：

對于任意的Aj，j∈S.｛e，t｝，記：

顯然M=C∪D∪E∪F。記C，D，E，F(xiàn)中分別有元素c，d，e，f個，c≥0，d≥0，e≥0，f≥0，c+d+e +f=m。下面分四種情況來討論：

（1）當l∈C時：

因此，我們得到：

l∈D1時，由假設知，從而，且故atjl（tk）≥0.5。于是有：

（3）當l∈E時，記：

顯然有：

不妨設E1，E2，E3中分別有元素mE1，mE2，mE3個，mE1+mE2+mE3=e，則：

（4）當l∈F時：而aee（tk）=att（tk）=0，結合（6）～（10）式知：

即Kt（tk）＞Ke（tk），這與矛盾。因此，不存在At∈X，滿足（Ae）（tk）且至少有一個l∈M，使得（Ae）（tk），r＞0，因而Ae為多屬性決策問題在tk時間段的非劣解。

類似于陳春芳等［13］文中定理4的證明思路，易得

定理2 設Ae為對應于的解。Ae′為對應于的解.若 Ae′不是原問題的非劣解，則它必是（A）（tk）的非劣解。

由定理1和定理2可知，對X中的所有方案Ai可按廣義優(yōu)序數(shù)Ki由大到小進行排序，依次選出較優(yōu)解的做法是可行的。當然，在實際的時序多屬性決策問題中，我們還應當考慮各屬性的權重w1，w2，…，wm及時間權重v1，v2，…，vp，利用加權廣義優(yōu)序數(shù)進行排序。下面給出具體的決策步驟：

步驟1 解（2）式中的優(yōu)化模型得到時間權向量V=（v1，v2，…，vp）；

步驟2 根據(jù)已知信息和決策者的偏好選擇劃分各屬性下屬性值的等級數(shù)n；

步驟3 根據(jù)（4）式得到同一屬性下各方案在各時間段tk兩兩相互比較所得等級數(shù)rijl（tk）；

步驟4 由（5）式計算各屬性下各方案在各時間段tk兩兩相互比較所得廣義優(yōu)序數(shù)aijl（tk），進而得到各方案在各時間段tk的廣義優(yōu)序數(shù)Ki（tk）=，最后將各時間段的優(yōu)序數(shù)進行加權得各方案總的廣義優(yōu)序數(shù)Ki=

步驟5 按Ki的值由大到小對所有方案進行排序，得到各方案間的優(yōu)劣關系及優(yōu)劣程度。

將各方案總的廣義優(yōu)序數(shù)作為評價值來進行優(yōu)劣排序，其總的評價值可能為正、負或零。若評價值為正，則說明該方案的優(yōu)勢總體上強于劣勢；若評價值為負，則說明該方案劣勢總體上多于優(yōu)勢；若評價值為零，則說明該方案處于中立地位。相對于加權平均、TOPSIS等其他決策方法而言，本文方法不僅可以得出排序關系，而且能對每個方案在總體中的地位進行深入分析，為決策提供更多支持。因此，本文提出以廣義優(yōu)序數(shù)作為評價值是具有重要意義的。

4 應用案例

用王香柯等［10］的數(shù)據(jù)綜合評價某集團四個銅礦企業(yè)的經(jīng)濟效益，以便全面掌握它們的實際運作情況，為今后有關決策提供支持.設A1，A2，A3，A4分別記四個銅礦企業(yè)，7個經(jīng)濟效益綜合評價指標為P1：總資產(chǎn)貢獻率，P2：資本保值增值率，P3：資產(chǎn)負債率；P4：流動資產(chǎn)周轉率，P5：成本費用利潤率，P6：全員勞動生產(chǎn)率，P7：產(chǎn)品銷售率.根據(jù)國家統(tǒng)計局、國家計劃委員會、國家經(jīng)貿(mào)委公布的工業(yè)經(jīng)濟效益評價考核指標體系，各評價指標的權重向量為w=（0：2，0：1，0：1，0：2，0：15，0：1，0：15）。選取時間樣本點分別記為T1，T2，T3，T4。各時間樣本點下的決策矩陣分別為：

T1P1P2P3P4P5P6P 7 A1-3.01 92.59 65.10 1.42 -11.00 10119 99.64 A24.63 109.41 66.54 1.84 0.02 16252 103.80 A33.40 118.68 47.74 1.25 0.08 33921 96.67 A4-4.30 79.75 74.85 1.54 -14.27 10207 99.03 T2P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.39 82.72 73.58 1.12 -15.11 8790 99.03 A21.49 101.89 73.95 1.58 -3.68 14971 103.82 A32.18 99.18 48.90 1.11 -3.82 32308 91.01 A4-2.38 84.32 77.05 0.79 -14.47 11571 93.85 T3P1P2P3P4P5P6P 7 A1-10.63 40.83 88.89 0.82 -31.66 6361 100.77 A2-2.81 84.37 79.12 1.52 -21.08 12233 104.38 A3-5.14 83.23 62.59 1.10 -16.93 11234 99.5 A4-5.15 71.77 82.17 0.69 -22.6 8399 99.76 T4P1P2P3P4P5P6P 7 A1-5.75 56.82 94.25 1.19 -20.78 14272 101.93 A21.97 54.60 88.78 1.64 -27.85 11271 98.83 A3-1.19 183.6 50.62 0.97 -11.25 19186 100.5 A40.26 61.86 90.48 0.70 -19.34 4693 100.12

將各屬性下的屬性值劃分為10個等級，將根據(jù)（3）-（5）式，計算每個時間段下各方案在不同屬性下的廣義優(yōu)序數(shù)如下：

T1P1P2P3P4P5P6P 7 A1-1.1148 -0.7910 0.4440 -0.7488 0.1112 -2.0749 1.1539 A22.4108 0.8779 -0.6236 2.4468 0.1335 0.3515 2.4573 A31.1219 2.3196 2.4295 -2.2471 2.3155 2.7914 0 A4-2.4179 -2.4064 -2.2499 0.5491 -2.5601 -1.0681 0.5992 T2P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.3694 -2.3979 0.1459 0.4298 -0.1682 -2.1071 1.3546 A21.1952 2.4610 -0.8750 2.4171 0.1167 0.3227 2.4335 A32.5386 1.1546 2.7911 -0.5879 2.4210 2.6861 0 A4-1.3644 -1.2176 -2.0620 -2.2590 -2.3695 -0.9018 0.5623 T3P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.5401 -2.7500 -2.1873 -0.9235 -2.5022 -2.4596 1.1325 A22.1755 2.0912 0.4157 2.5339 0.7254 2.2888 2.7429 A30.6832 1.0436 2.5256 0.5961 2.2012 0.9672 0 A4-0.3186 -0.3848 -0.7540 -2.2065 -0.4243 -0.7965 0.5137 T4P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.5282 -0.9887 -2.0560 0.5852 -1.6362 0.7025 2.3560 A22.1909 -2.0188 0.1548 2.4342 -0.1898 -0.5988 0 A3-0.4709 2.9298 2.8091 -0.7593 2.3624 2.2899 1.2170 A40.8082 0.0777 -0.9078 -2.2601 -0.5364 -2.3936 0.6314

另外，根據(jù)經(jīng)驗分析及有關專家的意見，認為時間度取0.3比較合適，求解（2）中的優(yōu)化模型，確定時間權向量為V=（0.2282，0.1077，0，0.6641）。

將各時間段的不同屬性下的廣義優(yōu)序數(shù)進行加權綜合，得到各方案的總優(yōu)序數(shù)：

K1=-0.5085，K2=0.8956，K3=1.0789，K4=-0.8328.

于是四個銅礦企業(yè)的經(jīng)濟效益綜合排序結果為：A3?A2?A1?A4。此結果與王香柯等［10］，周曉山等［18］中的結果完全一致。本文所給出的方法為決策者提供了一種新的決策思路。

5 結語

本文基于序方法的思想，將等級偏好優(yōu)序法進行改進與擴展，提出廣義優(yōu)序數(shù)的新概念，并將其應用于時序多屬性決策模型中。同時，提出了時序多屬性決策模型中理想時間權向量的新概念，并在此基礎上建立優(yōu)化模型來確定時間權重。最后提出時序多屬性決策的廣義等級偏好優(yōu)序法。該方法的適用條件比較寬松，只需知道方案間的序關系即可，既可以為具體實數(shù)，也可以為優(yōu)劣關系?、?或≈，用該方法就能夠有效地比較出各方案間的優(yōu)劣關系及優(yōu)劣程度，且易于計算機操作。同時，本文提出的方法廣泛適用于對各類企業(yè)的效益綜合評價，對不同股票的投資分析，對醫(yī)院治療方案的選擇，對高校教師的績效考核等眾多需要考慮多個決策時期的實際問題，為實際中各類經(jīng)濟與管理問題提供強有力的決策依據(jù)。

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Generalized Precedence Ordering Method with Ranking Preference for Time Series-based Multi-attribute Decision Making

ZHANG Xiao-zhi，ZHU Chuan-xi，ZHU Li
（Department of Management Science and Engineering，Shool of Science，Nanchang University，Nanchang 330031，China）

It is necessary to consider the decision information in more time series for many complex multiple attribute decision making problems in practice.According to this time series-based multi-attribute decision making problem，generalized precedence ordering number is defined on the basis of precedence ordering method.Meanwhile，a new method based on ideal time weight is given to determine the time weight in thetime series-based multi-attribute decision making.Then the generalized precedence ordering method with ranking preference of time series-based multi-attribute decision making is proposed.Finally，by using the data in the literature，an example is given to assess the comprehensive benefits of four copper company in one group，and the result shows the feasibility and effectiveness of the proposed method.This paper provides a new way to solve the time series-based multi-attribute decision making problem.

times eries-based multi-attribute decision making；generalized precedence ordering method with ranking preference；generalized precedence ordering number；ideal time weight

C934

：A

1003-207（2014）04-0105-07

2012-03-25；

2013-02-27

國家自然科學基金資助項目（11361042，11071108，71201050）；江西省自然科學基金（20132BAB201001，2010GZS0147，20114BAB201007）

張小芝（1981-），女（漢族），湖北潛江人，南昌大學理學院，講師，博士，研究方向：決策分析與管理科學.