羅 強(qiáng)，李文書(shū)

（浙江理工大學(xué)信息學(xué)院，杭州310018）

基于改進(jìn)小波閾值的去噪方法

羅 強(qiáng)，李文書(shū)

（浙江理工大學(xué)信息學(xué)院，杭州310018）

針對(duì)以往小波閾值圖像去噪法出現(xiàn)的去噪不徹底、噪聲殘留、和噪聲誤判等問(wèn)題，對(duì)閾值函數(shù)和閾值進(jìn)行了改進(jìn)，保留了傳統(tǒng)的軟閾值和硬閾值的優(yōu)點(diǎn)，改進(jìn)它們各自的缺點(diǎn)，提出一種新的閾值函數(shù)和閾值選取方式，使它在處理小波系數(shù)時(shí)更加靈活，以達(dá)到更好地去除噪聲的目的。通過(guò) MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)和對(duì)算法的精度分析表明，用改進(jìn)后的閾值去噪法可以很好地去除圖像噪聲，使圖像的對(duì)比度和峰值信噪比均得到很大的提高。

圖像去噪；小波變換；閾值函數(shù)；峰值信噪比

0 引 言

近年來(lái)，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時(shí)頻特性，因而實(shí)際應(yīng)用也非常廣泛。在去噪領(lǐng)域中，小波理論也同樣受到了許多學(xué)者的重視，應(yīng)用小波進(jìn)行去噪并獲得了非常好的效果。

Donoho在小波變換基礎(chǔ)上提出了小波閾值去噪的概念［1-2］。其中，軟硬閾值去噪方法在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用，取得了較好的效果，但是硬閾值法去噪后圖像容易出現(xiàn)振鈴、Pseudo-Gibbs現(xiàn)象等視覺(jué)失真；而軟閾值方法可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象［3-4］。為此，本文構(gòu)造了一個(gè)新的閾值函數(shù)。期望所構(gòu)造的函數(shù)去噪效果較好。

1 小波閾值去噪

一般含噪聲的二維圖像可以表示為e（x，y）= f（x，y）+n（x，y），其中f（x，y）為理想無(wú)噪聲圖像，n（x，y）為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲，均值為零，方差為σ［5］。

對(duì)e（x，y）=f（x，y）+n（x，y）作離散小波變換后得到的小波系數(shù)由兩部分組成，一部分是原始圖像對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，另一部分是噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)。經(jīng)過(guò)小波分解后，信號(hào)的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，于是可以找到一個(gè)合適的數(shù)λ作為閾值。當(dāng)分解系數(shù)小于這個(gè)臨界閾值時(shí)，認(rèn)為這時(shí)的分解系數(shù)主要是由噪聲引起的，予以舍棄；反之，就把這一部分的系數(shù)直接保留下來(lái)（硬閾值方法）或者按照某一固定量向零收縮（軟閾值方法），然后用得到的小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，即為去噪后的信號(hào)。

基本流程如圖1所示。

圖1 小波去噪基本流程圖

硬閾值函數(shù)：其中，sgn（x）為符號(hào)函數(shù)。在閾值的確定上，Donoho軟閾值函數(shù)：開(kāi)創(chuàng)了先例，給出了通用的閾值為，其中σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差，M和N為圖像像素的行和列，這表明閾值的選取需依賴于噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差和信號(hào)的長(zhǎng)度。

2 改進(jìn)的小波閾值去噪法

決定小波閾值去噪方法優(yōu)劣的因素有很多，例如小波基的選取，分解層次的選取，閾值函數(shù)的選取，閾值的選取等等［6-7］。這些因素都將對(duì)小波去噪的效果產(chǎn)生影響，而在這些因素中，最為關(guān)鍵的就是所選用的閾值函數(shù)和閾值的選取方法。下面將介紹一種改進(jìn)的通用閾值和一種根據(jù)軟、硬閾值函數(shù)而改進(jìn)的新閾值函數(shù)。

2.1 改進(jìn)的通用閾值

通用閾值對(duì)全局都是固定不變的，它不會(huì)隨著分解尺度的變化而有所改進(jìn)。即在各個(gè)不同尺度上采用完全相同的閾值來(lái)進(jìn)行消噪，這種做法肯定是不夠合理的。由于通用閾值存在這種固定不變的缺點(diǎn)，采用改進(jìn)的通用閾值選取方法。具體表述如下：

設(shè)圖像f（x，y）的大小為M×N，σ為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)方差，j為分解尺度，則改進(jìn)的通用閾值定義如下：

由式（3）可以看出，該閾值是隨著尺度j的變化而不斷改變，這有利于對(duì)不同尺度噪聲的去除。該閾值克服了通用閾值的全局不變的弱點(diǎn)，這種改進(jìn)的閾值取得了良好的去噪效果，被人們所認(rèn)可而廣泛應(yīng)用于小波閾值去噪的閾值獲取之中。

但是在現(xiàn)實(shí)生活中，噪聲信號(hào)的方差是未知的，所以需要首先對(duì)噪聲進(jìn)行方差估計(jì)，一般采用Donoho的中值估計(jì)法，表示如下：

其中，HH1為小波分解第一層的對(duì)角線高頻系數(shù)，median（）求中值的函數(shù)。

2.2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

經(jīng)典的軟、硬閾值函數(shù)雖然有比較好的去噪效果，但還是有著各自的不足之處。硬閾值函數(shù)本身不連續(xù)，而軟閾值函數(shù)雖然連續(xù)，但是當(dāng)系數(shù)大于某個(gè)閾值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)恒定的誤差，從而導(dǎo)致了軟閾值函數(shù)會(huì)使圖像變得光滑，而失去很多細(xì)節(jié)，這些都不利于圖像的去噪。因此，需要構(gòu)造新的閾值函數(shù)，希望它能夠保留軟閾值函數(shù)的連續(xù)性的同時(shí)，又希望去噪后能夠不出現(xiàn)多余的變化。所以，結(jié)合軟、硬閾值的特點(diǎn)，構(gòu)造新的閾值函數(shù)［8-9］如下：

在式（5）中，w為信號(hào)f經(jīng)過(guò)小波變換后所得到的小波系數(shù)，λ1和λ2為閾值。λ1j和λ2j表示尺度j下的閾值，則λ1j和λ2j滿足λ1j=0.618λ2j，而λ2j取公式（3）中計(jì)算得出的值。取軟、硬閾值函數(shù)中的閾值為5，新閾值函數(shù)中的λ2=5，則λ1=0.618×5= 3.09，我們可以看到3種閾值函數(shù)的簡(jiǎn)單表示，見(jiàn)圖2。

圖2 3種閾值函數(shù)的對(duì)比

由新閾值函數(shù)的定義和圖像對(duì)比可知，新的閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺點(diǎn)，沒(méi)有出現(xiàn)多余的震蕩，而且比軟閾值函數(shù)更加光滑。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)說(shuō)明

先將圖像加上噪聲，然后分別用軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和新閾值函數(shù)進(jìn)行小波閾值去噪，并顯示去噪結(jié)果。由于小波函數(shù)眾多，分解層次也是自由選取的，所以所期望的實(shí)驗(yàn)效果也會(huì)不盡相同。理論上講，小波分解層次越高，對(duì)去噪越有利，但是相對(duì)于重構(gòu)就會(huì)產(chǎn)生困難，從而造成誤差。所以在本文的試驗(yàn)中，如沒(méi)有特殊說(shuō)明，則取分解層次為3層，而小波則取sym6小波。下面將對(duì)該算法的主要過(guò)程步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單描述：

a）讀入圖像，對(duì)圖像加噪聲：使用sym6小波對(duì)含噪圖像進(jìn)行3階小波變換，得到各層小波系數(shù)；

b）更新小波系數(shù)：用本文方法計(jì)算各層的小波閾值，并依據(jù)新的閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，得到新的小波系數(shù)；

c）根據(jù)更新后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，得到去噪后的圖像。

上面是本文所要用到的小波閾值去噪方法的簡(jiǎn)單說(shuō)明，如無(wú)特殊說(shuō)明，該節(jié)中所加噪聲均為高斯白噪聲。實(shí)驗(yàn)中，軟、硬閾值的選取都遵循λ=，其中，噪聲方差σ的估計(jì)是按照式（4）計(jì)算而得出的。另外，還會(huì)對(duì)幾種去噪方法進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，除了對(duì)去噪圖像的比較，還會(huì)根據(jù)每種方法的去噪后的均方根誤差（RMSE）和峰值信噪比（PSNR）兩種標(biāo)準(zhǔn)對(duì)去噪方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由于篇幅有限，本文僅對(duì)經(jīng)典的攝像師圖像進(jìn)行說(shuō)明。其中，噪聲圖像為高斯噪聲（σ=0.025），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可以看出，軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)對(duì)高斯白噪聲的去噪能力都是比較強(qiáng)的，它們都使噪聲圖像得到了很大程度的還原。但是，由于軟閾值的平滑作用，它去噪后的圖像變得模糊。新的閾值函數(shù)也取得了比較好的去噪效果，從去噪后的圖像上看，它的去噪能力要比軟、硬閾值去噪更好一些。

圖3 對(duì)Camera圖像的去噪對(duì)比

為了能夠更好地比較這3種去噪方法的效果，比較客觀地認(rèn)識(shí)其優(yōu)劣，對(duì)去噪后的圖像進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，主要比較它們的均方根誤差（RMSE）和峰值信噪比（PSNR），見(jiàn)表1。緣信息的優(yōu)點(diǎn)，但也同樣存在著不足，它需要估算兩個(gè)閾值。雖然新閾值函數(shù)中的閾值估計(jì)方法取值非常簡(jiǎn)單，也適當(dāng)?shù)販p少了計(jì)算量。本文提出的去噪方法能夠更好地去除圖像噪聲，減少噪聲殘留和誤判，圖像的視覺(jué)效果和質(zhì)量也得到提高。

表1 幾種去噪方法的對(duì)比

由表1可以看出，改進(jìn)的方法可以在一定程度上起到較好的去噪效果，它的去噪效果比傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)要優(yōu)越。并且，由于新的閾值函數(shù)是連續(xù)的，并且在對(duì)較高的小波系數(shù)進(jìn)行處理時(shí)，沒(méi)有象軟閾值函數(shù)一樣始終與原始信號(hào)存在恒定的誤差，不會(huì)造成邊緣的模糊［10］。

4 結(jié) 論

小波閾值圖像去噪法是圖像增強(qiáng)處理中一種常見(jiàn)的應(yīng)用廣泛的圖像增強(qiáng)技術(shù)，可以有效地去除圖像噪聲。通過(guò)實(shí)驗(yàn)論證表明，新的閾值函數(shù)繼承了軟閾值函數(shù)連續(xù)的特點(diǎn)和硬閾值能夠較好地保留邊

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Denoising Method Based on lmproved Wavelet Threshold

LUOQiang，LI Wen-shu
（School of Information Science and Technology，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

With in respect to incomplete denoising，noise residue and noise misjudgment of previous wavelet threshold image denoising method，this paper improves threshold function and threshold，retains advantages of traditional soft and hard threshold，improves their respective shortcomings，and proposes a new threshold function and threshold selection method，to make it more flexible in processing wavelet coefficients and achieve better denoising effects.Through MATLAB simulation experiment and analysis of the precision of algorithm，the improved threshold denoising method can achieve good image denoising effects and greatly improve image contrast and PSNR.

Image denoising；wavelet transform；threshold function；PSNR

TP391.9

A

（責(zé)任編輯：陳和榜）

1673-3851（2014）03-0297-04

2014-01-25

國(guó)家自然科學(xué)基金（60702069，31271102），浙江省自然科學(xué)基金（Y1080851），浙江省錢(qián)江人才（B類）項(xiàng)目（2012R10054）

羅 強(qiáng)（1966-），男，浙江杭州人，實(shí)驗(yàn)師，大學(xué)本科，主要從事計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件。

李文書(shū)，電子郵箱：charlie@zstu.edu.cn