黎書(shū)柏

三角函數(shù)是每年高考必考的內(nèi)容之一，考查形式基本上是一道或兩道小題、一道大題，考題多為容易題、基礎(chǔ)題，難度不大；考查內(nèi)容主要是考生對(duì)概念的理解、三角變換以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（包括對(duì)定義的理解和運(yùn)用、象限角及符號(hào)、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的化簡(jiǎn)與求值等）.靈活運(yùn)用上述概念和各種三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明以及解三角形或結(jié)合三角函數(shù)的圖像考查性質(zhì)等，是近些年高考考查的熱點(diǎn).下面僅就2013年高考湖南理科卷第17題化簡(jiǎn)函數(shù)解析式談三種解法，供同學(xué)們參考.

題目 已知函數(shù)f（x）=sin（x- ）+cos（x- ），g（x）=2sin2 .

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；

（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解 （解法1）根據(jù)題意有f（x）=sin xcos - cos x·sin +cos xcos +sin xsin = sin x- cos x+ cos x+ sin x= sin x.

（Ⅰ）由上可知f（α）= sin α= ，則有sin α= ，α∈（2kπ，2kπ+ ），k∈Z.于是有cos α= ，且g（α）=2sin2 =1-cos α= .

（Ⅱ）由f（x）≥g（x），有 sin x≥1-cos x，即 sin x+ cos x=sin（x+ ）≥ .于是可知x+ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，即x∈[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

小結(jié) 解法1的第一步主要是運(yùn)用兩角差公式sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β和cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β進(jìn)行化簡(jiǎn).第一步的化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

（解法2）令θ =x- ，則f（ +θ）=sin θ+cos（θ- ）=sin θ+ cos θ+ sin θ = sin θ + cos θ= （ sin θ+ cos θ）= sin（ +θ），即f（x）= sin x.

以下解法同解法1.

小結(jié) 解法2主要是運(yùn)用x- =（x- ）- ，然后運(yùn)用cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β以及sin α·cos β+cos αsin β=sin（α+β）進(jìn)行化簡(jiǎn).

（解法3）f（x）=sin[（x+ ）- ]+cos（x- ）= -cos（x+ ）+cos（x- ）=-cos xcos +sin xsin +cos xcos +sin xsin =2sin xsin = sin x.

以下解法同解法1.

小結(jié) 解法3主要找出了x- 與x+ 的內(nèi)在聯(lián)系，然后運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式促使其轉(zhuǎn)化.

總之，從不同的側(cè)面去觀察和思考問(wèn)題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的求異思維和發(fā)散思維，有利于開(kāi)闊視野，培養(yǎng)同學(xué)們觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

（作者單位：湖南瀏陽(yáng)市二中）

（責(zé)任編校 筑周峰）

三角函數(shù)是每年高考必考的內(nèi)容之一，考查形式基本上是一道或兩道小題、一道大題，考題多為容易題、基礎(chǔ)題，難度不大；考查內(nèi)容主要是考生對(duì)概念的理解、三角變換以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（包括對(duì)定義的理解和運(yùn)用、象限角及符號(hào)、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的化簡(jiǎn)與求值等）.靈活運(yùn)用上述概念和各種三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明以及解三角形或結(jié)合三角函數(shù)的圖像考查性質(zhì)等，是近些年高考考查的熱點(diǎn).下面僅就2013年高考湖南理科卷第17題化簡(jiǎn)函數(shù)解析式談三種解法，供同學(xué)們參考.

題目 已知函數(shù)f（x）=sin（x- ）+cos（x- ），g（x）=2sin2 .

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；

（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解 （解法1）根據(jù)題意有f（x）=sin xcos - cos x·sin +cos xcos +sin xsin = sin x- cos x+ cos x+ sin x= sin x.

（Ⅰ）由上可知f（α）= sin α= ，則有sin α= ，α∈（2kπ，2kπ+ ），k∈Z.于是有cos α= ，且g（α）=2sin2 =1-cos α= .

（Ⅱ）由f（x）≥g（x），有 sin x≥1-cos x，即 sin x+ cos x=sin（x+ ）≥ .于是可知x+ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，即x∈[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

小結(jié) 解法1的第一步主要是運(yùn)用兩角差公式sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β和cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β進(jìn)行化簡(jiǎn).第一步的化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

（解法2）令θ =x- ，則f（ +θ）=sin θ+cos（θ- ）=sin θ+ cos θ+ sin θ = sin θ + cos θ= （ sin θ+ cos θ）= sin（ +θ），即f（x）= sin x.

以下解法同解法1.

小結(jié) 解法2主要是運(yùn)用x- =（x- ）- ，然后運(yùn)用cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β以及sin α·cos β+cos αsin β=sin（α+β）進(jìn)行化簡(jiǎn).

（解法3）f（x）=sin[（x+ ）- ]+cos（x- ）= -cos（x+ ）+cos（x- ）=-cos xcos +sin xsin +cos xcos +sin xsin =2sin xsin = sin x.

以下解法同解法1.

小結(jié) 解法3主要找出了x- 與x+ 的內(nèi)在聯(lián)系，然后運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式促使其轉(zhuǎn)化.

總之，從不同的側(cè)面去觀察和思考問(wèn)題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的求異思維和發(fā)散思維，有利于開(kāi)闊視野，培養(yǎng)同學(xué)們觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

（作者單位：湖南瀏陽(yáng)市二中）

（責(zé)任編校 筑周峰）

三角函數(shù)是每年高考必考的內(nèi)容之一，考查形式基本上是一道或兩道小題、一道大題，考題多為容易題、基礎(chǔ)題，難度不大；考查內(nèi)容主要是考生對(duì)概念的理解、三角變換以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（包括對(duì)定義的理解和運(yùn)用、象限角及符號(hào)、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的化簡(jiǎn)與求值等）.靈活運(yùn)用上述概念和各種三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明以及解三角形或結(jié)合三角函數(shù)的圖像考查性質(zhì)等，是近些年高考考查的熱點(diǎn).下面僅就2013年高考湖南理科卷第17題化簡(jiǎn)函數(shù)解析式談三種解法，供同學(xué)們參考.

題目 已知函數(shù)f（x）=sin（x- ）+cos（x- ），g（x）=2sin2 .

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；

（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解 （解法1）根據(jù)題意有f（x）=sin xcos - cos x·sin +cos xcos +sin xsin = sin x- cos x+ cos x+ sin x= sin x.

（Ⅰ）由上可知f（α）= sin α= ，則有sin α= ，α∈（2kπ，2kπ+ ），k∈Z.于是有cos α= ，且g（α）=2sin2 =1-cos α= .

（Ⅱ）由f（x）≥g（x），有 sin x≥1-cos x，即 sin x+ cos x=sin（x+ ）≥ .于是可知x+ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，即x∈[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

小結(jié) 解法1的第一步主要是運(yùn)用兩角差公式sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β和cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β進(jìn)行化簡(jiǎn).第一步的化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

（解法2）令θ =x- ，則f（ +θ）=sin θ+cos（θ- ）=sin θ+ cos θ+ sin θ = sin θ + cos θ= （ sin θ+ cos θ）= sin（ +θ），即f（x）= sin x.

以下解法同解法1.

小結(jié) 解法2主要是運(yùn)用x- =（x- ）- ，然后運(yùn)用cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β以及sin α·cos β+cos αsin β=sin（α+β）進(jìn)行化簡(jiǎn).

（解法3）f（x）=sin[（x+ ）- ]+cos（x- ）= -cos（x+ ）+cos（x- ）=-cos xcos +sin xsin +cos xcos +sin xsin =2sin xsin = sin x.

以下解法同解法1.

小結(jié) 解法3主要找出了x- 與x+ 的內(nèi)在聯(lián)系，然后運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式促使其轉(zhuǎn)化.

總之，從不同的側(cè)面去觀察和思考問(wèn)題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的求異思維和發(fā)散思維，有利于開(kāi)闊視野，培養(yǎng)同學(xué)們觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

（作者單位：湖南瀏陽(yáng)市二中）

（責(zé)任編校 筑周峰）