王惠平，韓 華，李 艷

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢430070)

證券投資組合，是由投資者對各種證券資產(chǎn)的選擇而形成的，它的意義在于以多種證券作為投資對象，采取適當(dāng)?shù)姆椒?，在達(dá)到預(yù)期收益的前提下使投資的風(fēng)險最小，或者在控制風(fēng)險的前提下使收益最大。MARKOWITZ［1］的均值-方差模型對于投資組合領(lǐng)域的研究具有開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，但由于其在實際應(yīng)用中的計算量大并且非常復(fù)雜，至今在解決大規(guī)模證券投資組合問題中尚未得到廣泛應(yīng)用。近年來有一些學(xué)者探討了投資組合樣本的選擇問題，一般選取市場代表性好，流動性高，具有代表性的行業(yè)的證券作為投資組合的樣本。劉紅明［2］認(rèn)為滬深300 指數(shù)覆蓋了大部分流通市值，能夠反映市場主流投資的收益情況，因此選取滬深300 指數(shù)中數(shù)據(jù)相對比較完整的200只股票的日收益率作為投資組合的樣本。蔡冰晶［3］認(rèn)為股票在選擇的時間段內(nèi)(1995—2010年)的交易數(shù)據(jù)相對比較完整，更符合均值-方差模型的市場假設(shè)，因此在A 股市場中隨機(jī)選取10 只屬于不同行業(yè)的股票作為投資組合的樣本。王貞［4］認(rèn)為滬深300 指數(shù)可以近似反映中國股市的漲跌情況，因此選擇滬深300 指數(shù)下的300 只股票的周收益率作為投資組合的研究對象。徐緒松等［5］選取在各行業(yè)中具有代表性的15 只股票作為投資組合的樣本。郭海峰等［6］為了使投資者具有更多的投資選擇，選取不同行業(yè)的20 只股票的100 個周收盤價數(shù)據(jù)作為樣本。TOLA［7］運用紐約交易所的大多數(shù)被資本化的150 只股票數(shù)據(jù)構(gòu)建投資組合。RUPAK 等［8］選取孟買證券交易所能代表12 個主要行業(yè)的30 只股票作為投資組合的樣本。

金融市場是一個具有相互作用單元的復(fù)雜系統(tǒng)，在金融研究中，相關(guān)系數(shù)矩陣在構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)中起著很關(guān)鍵的作用，在研究投資組合優(yōu)化中也是非常重要的。但在實證的相關(guān)系數(shù)矩陣中會包含大量的噪聲信息，這將對研究網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和投資組合優(yōu)化造成一定的影響。因此基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撊コW(wǎng)絡(luò)中的“噪聲”信息是必要的。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)可以看作大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的一種降維方式，社團(tuán)對應(yīng)著金融系統(tǒng)中擁有共同角色或者特征的團(tuán)體。通過尋找和研究網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)結(jié)構(gòu)，可以幫助人們更容易地對網(wǎng)絡(luò)的整體與各個區(qū)塊間的聯(lián)系進(jìn)行理解，進(jìn)而對網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行研究。筆者首先基于隨機(jī)矩陣?yán)碚搶ο嚓P(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)，再利用GN 算法劃出網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)，尋找出網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵社團(tuán)，最后以關(guān)鍵社團(tuán)為研究對象，運用原始矩陣和隨機(jī)矩陣“去噪”后的相關(guān)系數(shù)矩陣分別構(gòu)建投資組合的均值-方差模型，對“去噪”前后投資組合的風(fēng)險進(jìn)行比較。

1 金融網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

1.1 相關(guān)系數(shù)

網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點代表股票，邊代表股票之間的相關(guān)性。Pi(t)為第i只股票在時間t時的收盤價格，股票i的對數(shù)收益率的定義如下：

任意兩只股票i和j的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為：

其中：＜… ＞為統(tǒng)計平均;ρij的取值范圍為［-1，1］。若兩只股票完全負(fù)相關(guān)，則ρij= -1;若兩只股票完全正相關(guān)，則ρij=1;若兩只股票不相關(guān)，則ρij=0。利用式(1)和式(2)可以得到股票市場的股票相關(guān)系數(shù)矩陣C，其大小為N×N，其中的元素是由ρij組成的。

1.2 基于隨機(jī)矩陣對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)

運用隨機(jī)矩陣?yán)碚?，計算得到隨機(jī)矩陣的預(yù)測最大特征值和最小特征值為：

由上述分析可知，金融相關(guān)系數(shù)矩陣全部特征值中屬于［λ-，λ+］的部分代表噪聲。

對相關(guān)系數(shù)矩陣C進(jìn)行譜分解有：C=PΛPT，其中P為正交矩陣滿足條件(PPT=1 )，而Λ 為對角矩陣，PT為矩陣的轉(zhuǎn)置，特征值矩陣Λ=diag{λ1，…，λK}，對特征值λ 可以按照從小到大的順序進(jìn)行重新排列，即λ1，…，λt，λt+1，…，λk，λk+1，…，λK，令λk+1＞λmax，且λt＜λ-，令：

RMT 過濾相關(guān)矩陣的基本方法是將相關(guān)系數(shù)矩陣在隨機(jī)矩陣?yán)碚擃A(yù)測范圍內(nèi)的特征值替換為0。同樣特征值矩陣也只留下了相應(yīng)的特征向量，則新的相關(guān)系數(shù)矩陣為：

其中PNew為新的特征向量矩陣，此外令對角元素

1.3 社團(tuán)劃分

社團(tuán)結(jié)構(gòu)定義為內(nèi)部節(jié)點之間的連邊數(shù)目比節(jié)點與外部連邊數(shù)目大的網(wǎng)絡(luò)子圖，它是網(wǎng)絡(luò)的中觀結(jié)構(gòu)，也是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)組成研究的重要特征［9-10］。

NEWMAN 等首先提出模塊度評價函數(shù)的概念［11］，它是用來衡量社團(tuán)結(jié)構(gòu)劃分好壞的重要測度。模塊度的定義如下：

筆者選擇道瓊斯中國88 指數(shù)2011 年11 月1日到2013 年5 月31 日的日收盤價格數(shù)據(jù)，基于“去噪”方法對相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行改進(jìn)，采用邊相關(guān)系數(shù)閾值法［13］，構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)模型。

根據(jù)GN 算法對構(gòu)建的道瓊斯中國88 指數(shù)股票網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行社團(tuán)劃分，劃分的Q值如表1 所示，當(dāng)社團(tuán)個數(shù)為11 時，Q=0.004，Q值最大，因此將道瓊斯中國88 指數(shù)股票網(wǎng)絡(luò)劃分為11 個社團(tuán)，可以得到如圖1 所示的社團(tuán)結(jié)構(gòu)。在圖1 中可以看到該網(wǎng)絡(luò)有一個關(guān)鍵的社團(tuán)，它的節(jié)點數(shù)在整個網(wǎng)絡(luò)中的比例為85%，在道瓊斯中國88指數(shù)股票網(wǎng)絡(luò)中具有影響力的行業(yè)都在該關(guān)鍵社團(tuán)內(nèi)，因此，對該關(guān)鍵社團(tuán)進(jìn)行研究是有意義的。

表1 道瓊斯股票網(wǎng)絡(luò)的Q 值

圖1 道瓊斯88 中國指數(shù)股票的社團(tuán)結(jié)構(gòu)

筆者以這個關(guān)鍵社團(tuán)為研究對象，用關(guān)鍵社團(tuán)的75 只股票作為構(gòu)建投資組合的樣本。

2 馬科維茨均值-方差模型構(gòu)建

2.1 馬科維茨均值-方差模型

假設(shè)投資者可選擇的投資資產(chǎn)有n種，第i種風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益率為Ri，期望收益率用R =(R1，R2，…，Rn)T表示;n種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣為S =(δij)n×n;w =(w1，w2，…，wn)T表示一個投資組合，其中wi表示資產(chǎn)在第i種證券上的分配比例，且∑wi =1;n維列向量In =(1，1，…，1)T；為投資組合收益率的方差，用于衡量投資組合的風(fēng)險;Rp為投資者的目標(biāo)收益水平。因此Markowitz 模型可表示為：

2.2 模型構(gòu)建

用關(guān)鍵社團(tuán)的75 只股票作為投資組合的研究對象。將道瓊斯中國88 指數(shù)2011 年11 月1日到2013 年5 月31 日的數(shù)據(jù)等分為前后兩個時期，首先利用前期數(shù)據(jù)對后期的風(fēng)險和收益進(jìn)行預(yù)測，然后將預(yù)測結(jié)果與后期計算出的實際風(fēng)險和收益進(jìn)行比較，在這個過程中，假設(shè)投資者可以對未來的平均收益進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測。具體步驟為：①將投資組合的樣本數(shù)據(jù)分為兩個等長記錄計算相關(guān)矩陣。②應(yīng)用隨機(jī)矩陣?yán)碚搶υ际找鏀?shù)據(jù)進(jìn)行“去噪”。③分別使用“去噪”前后的樣本收益數(shù)據(jù)構(gòu)建投資組合，并求出最優(yōu)投資組合。④對“去噪”前后風(fēng)險分散能力進(jìn)行比較。

3 投資效果分析

3.1 風(fēng)險的比較

在比較投資組合優(yōu)劣時，需要注意風(fēng)險和收益兩個方面。在投資組合收益相同的情況下，最優(yōu)投資組合決策對應(yīng)的方差(風(fēng)險)越小，說明這種方法對風(fēng)險的分散效果越好，這種方法也就越優(yōu)。相反，這種方法對風(fēng)險的分散效果越差，該方法也就越劣。

將風(fēng)險作為收益Rp的函數(shù)，風(fēng)險大小會隨著收益的大小發(fā)生變化。收益風(fēng)險函數(shù)可表示為：

實際風(fēng)險收益曲線和預(yù)測風(fēng)險收益曲線如圖2 和圖3 所示。從圖2 和圖3 中可以看出，與“去噪”前相比，“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的投資組合在預(yù)測風(fēng)險和實際風(fēng)險方面都有明顯降低。在相同的收益下，“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險要小于“去噪”前構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險。而在相同的風(fēng)險下，“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的收益要大于“去噪”前構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的收益。與“去噪”前所作的投資決策方案相比，“去噪”后的投資組合最優(yōu)決策風(fēng)險(方差)有了顯著降低，由此可見，對價格收益數(shù)據(jù)進(jìn)行“去噪”處理更有利于在投資決策中分散風(fēng)險。

圖2 實際風(fēng)險收益曲線

圖3 預(yù)測的風(fēng)險收益曲線

3.2 可靠性比較

從表2 中明顯可以看出，用隨機(jī)矩陣“去噪”后的差異系數(shù)的均值是0.059 6，而用原始矩陣得到的差異系數(shù)的均值是0. 084 8。用隨機(jī)矩陣“去噪”后的投資組合的差異系數(shù)要比原始矩陣的投資組合的差異系數(shù)小，說明用隨機(jī)矩陣“去噪”后構(gòu)建的投資組合模型的風(fēng)險小，更有利于在投資決策中分散風(fēng)險。

4 結(jié)論

筆者將股票視為節(jié)點，股票間的相關(guān)性視為連邊，基于“去噪”方法對相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)模型，尋找到關(guān)鍵社團(tuán)，然后以關(guān)鍵社團(tuán)為研究對象構(gòu)建投資組合，通過對“去噪”前后構(gòu)建的投資組合模型對比分析發(fā)現(xiàn)，基于“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的投資組合模型比原始相關(guān)矩陣構(gòu)建的投資組合模型更能有效地分散風(fēng)險，分散效果比較好，從而能對我國股票投資組合風(fēng)險進(jìn)行有效地控制。

表2 實際風(fēng)險與預(yù)測風(fēng)險的差異系數(shù)

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