合并同類 構(gòu)建體系

彭玉宏

德國數(shù)學(xué)家希伯特（David Hilbert）認(rèn)為：“一個數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)由更強或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著時，概念才是被徹底地理解了?！痹诮虒W(xué)中，我們可以把各類相似而又有著緊密聯(lián)系的問題“合并同類項”，尋找新舊知識點的聯(lián)系。我們可以縱向地“合并同類項”，把具有從屬關(guān)系的概念或命題體系歸結(jié)在一起，尋找它們之間的關(guān)聯(lián)；也可以橫向地“合并同類項”，尋找同一層面中的要素之間關(guān)聯(lián)。這樣，數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)就豐富而立體，知識與方法進(jìn)一步整合成一個完整的體系，有助于知識的貯存和提取。

一、數(shù)學(xué)現(xiàn)象的“合并同類項”，在課堂引入時有意想不到的效果

例如在《對數(shù)》新授課時這樣引入：解加法方程3+x=5，有了減法運算；解乘法方程3·x=5，有了除法運算；解指數(shù)方程3x=5，于是有了對數(shù)運算。這樣既回顧了數(shù)學(xué)運算的生成歷程，又明確了對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，課堂引入得自然有趣而又緊扣主題。

二、把形式相似的問題“合并同類項”，學(xué)生能更好地構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，便于找到知識點之間的聯(lián)系，促進(jìn)記憶。

例如：（1）向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），a⊥b，則x1x2+y1y2=0；（2）直線l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2，則A1A2+B1B2=0；（3）以兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）連線為直徑的圓的方程為：（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0。

這三個與垂直相關(guān)的命題的結(jié)論的形式上很相似，羅列在一起，能幫助學(xué)生構(gòu)建垂直關(guān)系的命題體系。

三、把同一解題方法的題目“合并同類項”，即多題一解，便于知識點的提煉升華

1。同一問題情境的題目“合并同類項”

例如（1）求函數(shù)y=8x+121x2+2x+3的值域。（2）已知函數(shù)y=ax+b1x2+2x+3的值域為[-2，4]，求a，b的值。

這兩道題都是用一元二次方程判別式得出關(guān)于y的不等式求出y的范圍，但是第二題中含有了兩個待定系數(shù)a、b，兩題放在一起進(jìn)行比較，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)題從具體直觀到復(fù)雜抽象的符號化過程，認(rèn)識到數(shù)字就是符號，符號也相當(dāng)于數(shù)字的辨證關(guān)系。

2。同一知識點不同的問題情境的題目“合并同類項”

例如（1）求動點P到兩點A（-1，0）、B（1，0）距離之比為2的點的軌跡方程。（2）△ABC中，AB=2，邊AC、BC長之比為2，求△ABC面積的最大值。（3）已知橢圓y2116+x2112=1的離心率為e，上焦點為F，若點F′與點F關(guān)于直線y=312對稱，動點M滿足MF=eMF′，是否存在一個定點A，使點M到點A的距離為定值？若存在，求出定點A的坐標(biāo)。

第一題是問題的原型，點P的軌跡是一個圓，后面兩題與第一題都是談的同一個問題，但問題情境已經(jīng)顯得非常陌生。通過這三題的比較分析，讓學(xué)生看到題目背景變化的痕跡，領(lǐng)會問題的實質(zhì)?，F(xiàn)在的高考題，有許多題目都偽裝得比較深，繞來繞去的，繞得學(xué)生眼花繚亂，因此要在這方面多做歸納，讓學(xué)生撥開云霧，透過現(xiàn)象看到問題實質(zhì)。

四、同一數(shù)學(xué)思想方法的“合并同類項”，跨度可能比較大，這樣能更好地培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系地、全面地、運動地看問題的習(xí)慣

例如復(fù)習(xí)基本量法：分式運算113+115=1115（5+3）=8115，1115是基本量；平面向量的基本定理中向量基底是基本量；等差數(shù)列{an}問題的運算過程中，以首項a1和公差d為基本量，通項an、前n項和Sn都可以表示成首項a1和公差d的函數(shù)關(guān)系式；橢圓x21a2+y21b2=1（a>b>0）問題運算中以a，b為基本量；三角函數(shù)題中角度的變換以題目條件中的角為基本量。

列舉以上這些運用基本量法的例子，幫助學(xué)生領(lǐng)會基本量法的實質(zhì)作用：指定基本量，其他的量都用基本量的關(guān)系式表示，這樣把問題簡化成多項式的化簡或者方程的運算，把問題都轉(zhuǎn)化成代數(shù)運算，以便于駕輕就熟。

通過對問題的分門別類，重新整合，變多、亂、雜為整齊有序，構(gòu)件比較完整的體系?？梢钥吹?，“合并同類項”方法的廣泛運用，不僅僅對思考數(shù)學(xué)問題有很大的幫助，還有利于使學(xué)生養(yǎng)成在社會生活中處理問題時有序思維的習(xí)慣，對學(xué)生情感、道德、價值觀的培養(yǎng)有著非常積極的意義。的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為23.（1） 求橢圓C的焦距；（2） 如果AF2=2F2B，求橢圓C的方程.

解（1）橢圓C的焦距為4。（過程略）

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1<0，y2>0，直線l的方程y=3（x-2），聯(lián)立x21a2+y21b2=1，

y=2（x-2），得（3a2+b2）y2+43b2y-3b4=0，y1+y2=-43b213a2+b2①，y1y2=-3b413a2+b2②。因為AF2=2F2B，所以-y1=2y2 ③。由①②得y=-83b213a2+b2，y2=43b213a2+b2，代入②得3a2+b2=32。又因為c2=a2-b2=4，所以a2=9，b2=5，所以橢圓C的方程的方程為x219+y215=1。

點評設(shè)而不求法在圓錐曲線中有著很多的應(yīng)用。向量的坐標(biāo)法正好符合這一思路，所以遇到圓錐曲線中的向量問題，可以將向量寫成坐標(biāo)形式，則問題變得易于求解。