雷 晴，周步祥，林 楠，葉宗斌，孔祥聰

(1．四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，四川成都610065;2．四川電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川成都610071)

改進(jìn)EM算法在限流措施優(yōu)化配置中的應(yīng)用

雷 晴1，周步祥1，林 楠2，葉宗斌1，孔祥聰1

(1．四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，四川成都610065;2．四川電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川成都610071)

仿電磁學(xué)算法(Electromagnetism-like mechanism，EM)是一種隨機全局優(yōu)化算法，它通過模擬電磁場的吸引和排斥機制，將每個解比作一個帶電粒子，然后按一定準(zhǔn)則使得搜索粒子朝最優(yōu)解移動。本文對該算法進(jìn)行改進(jìn)，用均勻設(shè)計方法使初始種群更均勻，用混沌法優(yōu)化局部搜索使其收斂加速，改進(jìn)了力的計算和粒子的更新，最后將改進(jìn)的EM算法用于限流措施優(yōu)化配置中。此算法在求解含有離散變量和非線性約束條件的優(yōu)化問題時具有實現(xiàn)方便、效率高的優(yōu)點，使得限流措施優(yōu)化有很好的收斂性和全局尋優(yōu)能力。通過對新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行計算及結(jié)果分析，說明所提出算法的全局搜索能力強、效率高，能得到較好的結(jié)果。

仿電磁學(xué)算法;限流措施;電力系統(tǒng);搜索空間

1 引言

我國電網(wǎng)高速發(fā)展，隨之而來的是短路電流急劇上升，導(dǎo)致部分母線短路電流超過斷路器開斷能力。解決這個問題的措施包括系統(tǒng)分層分區(qū)運行、母線分段運行、加裝串聯(lián)電抗器以及使用變壓器中心點電抗等［1-4］。限流措施優(yōu)化配置是一個大規(guī)模的非連續(xù)、非凸、非線性的優(yōu)化問題，用傳統(tǒng)的計算方法過于繁鎖，計算效率低，獲得的限流措施也不盡理想。

近年來出現(xiàn)大量智能優(yōu)化算法，如模擬退火算法、遺傳算法、粒子群算法等，這些算法具有原理簡單、搜索能力強等優(yōu)點，比傳統(tǒng)方法能更好地解決限流措施優(yōu)化配置問題。但每種智能算法都有各自的不足之處，模擬退火法在實際應(yīng)用中收斂速度慢，計算時間長，且計算時間隨系統(tǒng)規(guī)模擴大和復(fù)雜性提高而增加;遺傳算法對大型電力系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化需要花費較長時間，容易出現(xiàn)早熟;粒子群算法在處理大規(guī)模電力系統(tǒng)優(yōu)化問題時存在容易陷入局部最優(yōu)、進(jìn)化后期收斂速度慢的缺陷［5，6］。

本文將EM算法用于限流措施的優(yōu)化配置中。EM在求解含有離散變量和非線性約束條件的優(yōu)化問題時具有實現(xiàn)方便、效率高的優(yōu)點。本文對EM算法進(jìn)行了一些改進(jìn)，通過均勻設(shè)計方法來構(gòu)造初始種群，使初始種群更均勻地分布于可行域中;用混沌搜索對局部搜索進(jìn)行改進(jìn)，加速了粒子的收斂速度;對粒子的作用力進(jìn)行改進(jìn)并加入擾動因子，有效地避免了粒子的早熟和局部最優(yōu)。最后，通過運用該算法對新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行仿真計算，驗證了此算法的可行性。

2 仿電磁學(xué)算法

2.1 仿電磁學(xué)法基本原理

仿電磁學(xué)算法是Birbli博士2003年提出的一種全局隨機優(yōu)化算法［7，8］。它通過模擬帶電點電荷間的吸引和排斥機制保證種群的多樣性和空間的完整性，它的記憶和反饋機制使它避免搜索迂回，以便迅速發(fā)現(xiàn)問題最優(yōu)解。這種人工智能算法中，每個帶電粒子代表一個潛在解。計算時將初始種群代入滿足優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，得出相應(yīng)的電荷量，通過電荷量來衡量帶電粒子的優(yōu)劣度。其具體算法如下:

(1)初始化。從可行域中選取m個點作為初始粒子(x1，x2，…，xm)，粒子維數(shù)為n，即xi=(，…)，i=1，2，…m。記當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值f(xi)最優(yōu)的粒子為xbest。

(2)局部搜索。在一定范圍內(nèi)使用最簡單的隨機線性搜索來獲取更優(yōu)粒子，以達(dá)到局部更新的效果。將局部搜索結(jié)束后的最優(yōu)粒子仍然記為xbest。

(3)電荷量及力的計算。

其中，i=1，2，…，m。

式中，qi為第i個粒子所帶的電量，它的大小表明了第i個粒子與最優(yōu)粒子的接近程度，值越大表示越接近最優(yōu)粒子;f(·)為目標(biāo)函數(shù)，本文在應(yīng)用中以最小投資成本作為目標(biāo)函數(shù)。

Fi為粒子i受到除自身外其他粒子作用力的合力，它用于描述粒子受力的大小和方向。當(dāng)f(xj)＜f(xi)時，粒子i和j之間為吸引力，反之為排斥力。即

(4)移動粒子。粒子i沿著Fi的方向移動后的新位置為

2.2 算法改進(jìn)

2.2.1 基于均勻設(shè)計方法的初始種群構(gòu)造

EM算法中，初始種群的好壞對種群的搜索性能有非常重要的影響。為提高全局搜索能力，本文采用均勻設(shè)計方法，使得初始粒子在搜索空間分布更加均勻。實現(xiàn)此設(shè)計有多種方法，本文采用最常用的好格子點法生成均勻的設(shè)計表(均勻設(shè)計法)。表格的具體構(gòu)造步驟為:

(1)對于給定的試驗數(shù)m(m為偶數(shù))，尋找比m+1(m+1為奇數(shù))小的正整數(shù)hi，且使m+1和hi的最大公約數(shù)為1。所有符合條件的正整數(shù)組成一個向量h=(h1，h2，…，hs)，該向量稱為表的生成向量。

(2)均勻設(shè)計表Um+1((m+1)s)的第j列由下式生成

(3)去掉最后一行得到Um((m)s)，然后令aij=(2uij－1)/(2m+2)，j=1，2，…，n，即將uij規(guī)范化到［0，1］區(qū)間。

(4)將規(guī)范化后的均勻設(shè)計表Um((m)n)中的元素aij映射到問題的可行域中，則第i個粒子的第j維的值為

圖1(a)為好格子點法生成的100個點集，圖1 (b)是隨機取點法生成的100個點集。從圖1中可知，好格子點法產(chǎn)生的點集分布更加均勻，能有效地提高全局搜索能力。2.2.2 基于混沌優(yōu)化的局部搜索

圖1 分布均勻設(shè)計法與隨機取點法效果對比Fig．1 Effect comparison of uniform design method and random sampling method

利用粗搜索階段避免算法過早陷入局部最優(yōu)，利用細(xì)搜索階段對當(dāng)前最優(yōu)粒子附加隨機擾動，使得算法具有精細(xì)搜索的功能。在細(xì)搜索階段稍作改動，將混沌變量映射到［－1，1］區(qū)間，使得當(dāng)前最優(yōu)粒子能夠在以它為中心的鄰域內(nèi)搜索，鄰域的范圍由局部搜索因子δ和該維度上的可行域確定。

為盡可能少地使用計算機資源和加快算法的執(zhí)行速度，在局部搜索階段只對當(dāng)前最優(yōu)粒子進(jìn)行局部搜索。粗搜索具體步驟如圖2所示。

圖2 粗搜索步驟Fig．2 Coarse search steps

細(xì)搜索:以粗搜索階段找到的最優(yōu)值為中心，對其附加隨機擾動，實施細(xì)搜索階段。細(xì)搜索步驟基本一樣。只是第(d)步與粗搜索相比分為兩步:

(1)將混沌變量映射到［－1，1］區(qū)間

(2)將混沌空間映射回解空間

2.2.3電荷量及力的計算

在標(biāo)準(zhǔn)EM算法中，力的大小會受到兩粒子間距離的影響。由式(2)可知，若粒子間距離過小，它們間的作用力會變得非常大，無法得到正確結(jié)果。此外，若電荷量較大的粒子距離當(dāng)前粒子較遠(yuǎn)，則其作用于當(dāng)前粒子的作用力將比電荷量較小但距離當(dāng)前粒子較近的作用力要小，不利于粒子朝最優(yōu)粒子方向移動。為了解決上述問題，本文將式(2)中的分母去掉，同時用離當(dāng)前粒子最遠(yuǎn)的粒子xp作為擾動粒子，它會對當(dāng)前粒子形成一定擾動，改進(jìn)后粒子間作用力的公式如下:

當(dāng)i≠p時

其中，i，j=1，2，…，m

當(dāng)i=p時

2.2.4 粒子的更新

移動粒子是EM算法的核心步驟，移動步長的選取更是至關(guān)重要，步長的選擇將影響算法的收斂速度。如果移動步長過大，那么就可能使得移動后的粒子比移動前的粒子更差。這種情況在全局搜索次數(shù)接近最大次數(shù)時表現(xiàn)尤為突出。因此，選取合適的移動步長會在很大程度上提高算法的性能。

針對上述考慮，對粒子的更新做了如下改進(jìn):

其中，公式中的移動系數(shù)ψ表示粒子移動趨勢，其值由下式定義

式中，參數(shù)k為可變量，根據(jù)具體函數(shù)選取相應(yīng)值，一般取值范圍為k=1，2，3;MT為最大迭代次數(shù)。

經(jīng)上述改進(jìn)，隨著全局搜索次數(shù)的逐漸變大，移動系數(shù)ψ將逐漸減小。也就是說，當(dāng)種群粒子靠近全局最優(yōu)解時其移動步長也適當(dāng)減小，這樣既能保證每個粒子都得到進(jìn)化，又能提高算法后期的尋優(yōu)效率。

2.2.5 收斂條件

通常，基本的EM算法以最大迭代次數(shù)作為終止條件，而最大迭代次數(shù)的選擇對算法影響很大，過大會降低算法效率，過小將不能獲得全局最優(yōu)解。為避免以上情況，本文采取停滯代數(shù)作為條件收斂，即當(dāng)種群中各粒子與最優(yōu)粒子之間的性能差異不大于給定正數(shù)ε時，則認(rèn)為算法已收斂。

3 限流措施優(yōu)化模型

3.1 限流措施優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

限流措施的目標(biāo)函數(shù)有多種，本文以最小投資成本作為目標(biāo)函數(shù)并且以罰函數(shù)的形式把短路約束寫入其中。具體的目標(biāo)函數(shù)如下:

式中，第一項表示最小投資成本，其中為所有限流措施的集合，它包括了使電網(wǎng)分層分區(qū)運行和母線分列運行的線路開關(guān)，以及高壓阻抗和限流電抗器等。線路的開合成本只與開斷線路的數(shù)量有關(guān)，限流電抗器或采用高阻抗變壓器等措施，其投資成本不僅跟設(shè)備的數(shù)量相關(guān)，還與設(shè)備的阻抗值成正比。kus和kws為限流措施的成本系數(shù)，對于線路的開合kws=0，us為控制變量，us=0時采用限流措施s，us=1時不采用限流措施s，ws為限流裝置阻抗的大小。第二項為短路約束的罰函數(shù)，其中Γ為所有短路電流越限節(jié)點的集合，Zi是節(jié)點i滿足短路電流約束的最小節(jié)點自阻抗，Zii是節(jié)點i的節(jié)點自阻抗。

限流措施優(yōu)化需要滿足不等式約束和等式約束，其中等式約束包括潮流平衡方程和轉(zhuǎn)子運動方程，具體公式如下

式中，P、Q分別為節(jié)點的有功和無功輸入矩陣;JPθ、JPU、JQθ、JQU為潮流方程的雅克比矩陣;U、θ分別為節(jié)點的電壓幅值和相角矩陣;Pmi為機組i的原動機機械功率;Pei為機組i的電磁功率;ω為機組的同步角速度，即額定轉(zhuǎn)速。

限流措施的不等式約束主要有電壓約束、支路潮流約束和決策變量取值約束，具體公式如下

3.2 基于改進(jìn)EM的限流措施的具體步驟

(1)設(shè)置種群規(guī)模m、決策變量上下限、停滯代數(shù)K等參數(shù)。

(2)運用均勻設(shè)計方法對種群初始化。

(3)計算f(xi(k))、qi(k)、Fi(k)等，并找出其中的最優(yōu)粒子。

(4)判斷收斂條件是否成立。若成立，則轉(zhuǎn)(9);否則轉(zhuǎn)(5)。

(5)對種群中的當(dāng)前最優(yōu)粒子進(jìn)行局部搜索，即利用混沌搜索對當(dāng)前最優(yōu)粒子分別進(jìn)行粗搜索和細(xì)搜索。

(6)計算所有粒子的電荷量，并求出粒子之間的作用力。

(7)根據(jù)粒子之間的作用力通過改進(jìn)后的粒子更新公式移動粒子。

(8)判斷進(jìn)化是否進(jìn)入停滯代數(shù)。若無進(jìn)入轉(zhuǎn)(3);若已達(dá)設(shè)定代數(shù)，則輸出“計算不收斂”。

4 實例分析

為了驗證此算法的有效性，本文采用新英格蘭39節(jié)點作為算例。該系統(tǒng)的10個機組的次暫態(tài)阻抗x″d(標(biāo)幺值)見表1。其余參數(shù)可參見文獻(xiàn)［9］。圖3為新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)分段母線接線圖。

圖3 新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)接線圖Fig．3 Network of New England 39-bus system

表1 發(fā)電機次暫態(tài)阻抗Tab．1 Subtransient reactance of generators

以線路開端的成本系數(shù)為相對值，取電抗器的阻抗范圍為0～30Ω，高阻抗變壓器的短路電壓比普通變壓器高0～0.8%，成本系數(shù) kus=750，kws= 30［10］。設(shè)定斷路器的最大開端電流的標(biāo)幺值為70，則節(jié)點2、16和39的三相短路電流會越限。圖3給出了節(jié)點2、16和39與分段母線2'、21和39'的連接方式。

基于改進(jìn)EM算法的優(yōu)化結(jié)果為斷開母線4-5、3-18、1-39，同時對39號節(jié)點加上22Ω的母線電抗器。經(jīng)計算，該方案的優(yōu)化成本為1455.6萬元，此時系統(tǒng)滿足N-1校核，無短路電流越限。

為了突出此算法的優(yōu)越性，將此算法與差分進(jìn)化(Differential Evolution，DE)算法進(jìn)行比較。在對比時，對DE算法的參數(shù)做如下設(shè)置［11］，使DE算法的優(yōu)化能力達(dá)到最大:種群規(guī)模NP=50，縮放因子F= 0.5，交叉因子CR=0.8。兩種算法的對比結(jié)果見表2，通過比較可以看出本文算法明顯優(yōu)于DE算法。

表2 改進(jìn)EM算法和DE算法比較Tab．2 Comparison of improved EM algorithm and DE algorithm

由表2可以看出，通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，本算法的限流措施成本明顯低于DE算法，說明本算法的優(yōu)化效果更優(yōu)。而且因為改進(jìn)EM算法用均勻設(shè)計法構(gòu)造的初始種群比較均勻，更利于搜索，所以種群規(guī)模比DE算法少便能得到更好的結(jié)果。本算法簡單易于實現(xiàn)，所需運行時間大大少于DE算法。

圖4是兩種算法的收斂曲線。從圖4可以看出，因為本文運用了基于混沌優(yōu)化的局部搜索，所以收斂速度明顯快于DE算法，在迭代20次左右收斂曲線已經(jīng)趨于平穩(wěn)，而DE算法在迭代80次才逐漸趨于平穩(wěn)。這證明了本算法有很好的穩(wěn)定性和收斂性。

5 結(jié)論

仿電磁學(xué)算法是應(yīng)用于限流措施的一種新型全局優(yōu)化方法。它可以考慮多種目標(biāo)函數(shù)和約束條件，操作中依賴的參數(shù)少，易實現(xiàn)，收斂性能好。本文對基本EM算法做了一些改進(jìn)，用均勻設(shè)計方法來構(gòu)造初始種群，用混沌搜索對局部搜索進(jìn)行改進(jìn)，對粒子的作用力進(jìn)行改進(jìn)并加入擾動因子。通過這些大大提高了EM算法的收斂速度及計算精度。最后對新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行仿真計算，結(jié)果表明該算法針對限流措施的優(yōu)化具有穩(wěn)定、高效、更好的全局尋優(yōu)能力等優(yōu)點，為解決限流措施的優(yōu)化問題提出了一種新方法。

圖4 兩種算法收斂曲線比較Fig．4 Comparison of two kinds of algorithm convergence curve

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(，cont．on p.68)(，cont．from p.62)

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Application of electromagnetism-like mechanism in short circuit current limiting optimization

LEI Qing1，ZHOU Bu-xiang1，LIN Nan2，YE Zong-bin1，KONG Xiang-cong1
(1．School of Electrical Engineering and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China; 2．Sichuan Electric Power College，Chengdu 610071，China)

Electromagnetism-like mechanism(EM)is a stochastic global optimization algorithm．It simulates the mechanism of attraction and repulsion in the electromagnetic field，assimilates each solution to a charged particle，and according to certain criteria makes the search particles move towards the optimal solution．In this paper，we improve the algorithm:using uniform design method makes the initial population more uniform;using chaotic optimization for local search makes convergence acceleraed;and calculation of force and particle update also makes some improvements．Finally the improved EM algorithm is used in the optimal configuration of current limiting measures．The algorithm for solving the discrete variable and nonlinear constraint optimization problem has the advantage of convenience and high efficiency，and it makes current limiting optimization to have good convergence and global optimization ability．The calculation and result analysis of New England 39 nodes system show that the proposed algorithm has better global searching capability，high efficiency，and can get good results．

electromagnetism-like mechanism;short circuit current limiting;power system;search space

TM715

A

1003-3076(2014)06-0058-05

2013-05-07

雷 晴(1986-)，女，貴州籍，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)自動化及計算機信息處理;周步祥(1965-)，男，四川籍，教授，博士，主要從事電力系統(tǒng)自動化、計算機應(yīng)用等方面的研究工作。