基于波場(chǎng)分解重建多個(gè)散射體的數(shù)值方法與模擬

夏 赟，王澤文，趙學(xué)慧

（1.東華理工大學(xué)理學(xué)院，南昌330013；2.涼城四中，內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市013750）

基于波場(chǎng)分解重建多個(gè)散射體的數(shù)值方法與模擬

夏 赟1，王澤文1，趙學(xué)慧2

（1.東華理工大學(xué)理學(xué)院，南昌330013；2.涼城四中，內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市013750）

研究了重建多個(gè)散射體的逆散射問題。利用波場(chǎng)分解的思想，首先給出了一種基于單層位勢(shì)實(shí)現(xiàn)散射波和遠(yuǎn)場(chǎng)模式分解的算法，將多個(gè)不可穿透的散射體產(chǎn)生的遠(yuǎn)場(chǎng)模式，分解成與散射體個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的多個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)；然后，利用組合牛頓法給出了數(shù)值方法，把分解后得到的遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)逐個(gè)重建多個(gè)散射體邊界；最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了該算法的可行性。

逆散射；波場(chǎng)分解；組合牛頓法；多個(gè)散射體；不適定問題

0 引 言

聲波逆散射問題［1-3］是數(shù)學(xué)物理反問題研究領(lǐng)域中的重要研究內(nèi)容之一，有著廣泛的工程應(yīng)用前景。本文主要研究當(dāng)入射波遇到不可穿透的聲柔障礙物時(shí)的逆散射問題，即考慮時(shí)諧聲波eikx·d在非吸收的均勻介質(zhì)中傳播時(shí)，遇到多個(gè)不可穿透的柔性無限長柱體的散射問題，其中長柱體的橫截面為Di?R2，（i=1，2，…，N），邊界?Di（i=1，2，…，N）是C2連續(xù)可微的。這一問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：給定平面入射波ui（x）=eikx·d，求散射波場(chǎng)us（x）滿足Helmholtz方程Dirichlet外問題，Dirichlet外問題可用下式表示：

其中us（x）是散射波場(chǎng)，d是入射波入射方向，k是波數(shù)，式（3）稱為Sommerfeld輻射條件。由文獻(xiàn)［3］知，該散射的正問題存在唯一解，且散射波us（x）有如下漸進(jìn)關(guān)系：

其中u∞稱為散射波場(chǎng)us（x）的遠(yuǎn)場(chǎng)模式，它定義在=∈S上，表征了散射波場(chǎng)us（x）在無窮遠(yuǎn)處的狀態(tài)。由Rellich引理［2-3］可知，散射波us（x）與其遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞（?x）一一對(duì)應(yīng)。的形狀，也即重建多個(gè)散射體的邊界?Di（i=1，2，…，N）。

在逆散射問題研究中，對(duì)單個(gè)逆散射的重建和數(shù)值模擬的研究比較多，例如有牛頓法［2-3］、Kirsch-Kress迭代法［4］、線性采樣法［5］、探測(cè)方法［6］、組合

引理1［2-3］設(shè)us（x）∈C2（R2ˉD）為Helmholtz方程Dirichlet外問題（1）-（3）的解，如果us（x）的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞（）=0，則us（x）=0，x∈R2ˉD。

這里，聲波障礙物散射正問題指的是：已知入射波和散射體邊界且滿足Helmholtz方程定解問題（1）-（3），求散射波場(chǎng)us（x）及其所對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞）。而本文所考慮的逆散射問題是：已知入射平面波ui（x）=eibx·d及其對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞（），反求多個(gè)散射體牛頓法［7-11］等，但是，對(duì)于多個(gè)散射體的重建方法以及數(shù)值模擬的研究不多，Hassen等［12］給出了波場(chǎng)分解的思想方法，利用點(diǎn)源法實(shí)現(xiàn)多個(gè)散射體的重建，但沒有探討其他數(shù)值方法；王澤文等［13］研究了多個(gè)散射體重建的組合牛頓法，結(jié)合非數(shù)值方法中遺傳算法，給出了組合牛頓法的初始猜測(cè)；Hassen等［14］則討論了多個(gè)散射體情形下的正問題，但是沒有給出反問題的數(shù)值解。

本文主要利用波場(chǎng)分解的思想方法，結(jié)合組合牛頓法研究多個(gè)重建多個(gè)散射體的數(shù)值方法。本文首先給出一種基于單層位勢(shì)的波場(chǎng)分解方法與數(shù)值模擬結(jié)果，然后基于對(duì)Kirsch-Kress方法的分析給出了重建單個(gè)散射體邊界的組合牛頓法，最后基于波場(chǎng)分解和組合牛頓法給出了逐個(gè)重建多個(gè)散射體邊界的數(shù)值方法與數(shù)值模擬結(jié)果。

1 波場(chǎng)分解

Hassen等［12］將散射場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)模式分解成為不同障礙物散射作用的和，然后利用點(diǎn)源法來計(jì)算分解后的散射場(chǎng)，進(jìn)而由分解后的散射場(chǎng)重建多個(gè)散射體。受此啟發(fā)，本文利用波場(chǎng)分解的思想方法將遠(yuǎn)場(chǎng)模式分解成若干個(gè)散射場(chǎng)，然后給出了逐個(gè)重建多個(gè)散射體的組合擬牛頓法。為簡單起見，僅討論二個(gè)散射體的情形。設(shè)散射體D包含兩個(gè)互不連通的部分D1和D2，即D=D1∪D2且滿足= ?，其中Dj（j=1，2）的邊界上是C2光滑的。

定理2［12］設(shè)有邊界是C2光滑的區(qū)域G1和G2，且G1I G2=?，G1?和G2?，并記G：=G1∪G2。已知散射體D的散射波場(chǎng)us的一個(gè)分解us=+滿足：

上述定理的詳細(xì)證明參見文獻(xiàn)［12］。接下來討論波場(chǎng)分解的算法實(shí)現(xiàn)。將Helmholtz方程外問題（1）-（3）的解表示成單層位勢(shì)的形式，即：

則其對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式為：

接下來所給出的散射波場(chǎng)分解的近似方法是：由已知的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞來求滿足定理2條件的散射波場(chǎng)和的近似方法。為此，任選區(qū)域B1和B2，且B1I B2=?，G1?和G2?，B1和B2邊界均是C2光滑的。記B=B1∪B2，令

當(dāng)B包含散射體D時(shí)，方程（8）是可解的；但若散射體D不在區(qū)域B內(nèi)，則方程（8）的可解性依賴于（1）-（3）的散射波場(chǎng)是否可以解析延拓進(jìn)區(qū)域D內(nèi)［3］。另一方面，方程（8）是個(gè)不適定的第一類積分方程，即若遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞有誤差則將導(dǎo)致解的急劇變化。為此，需要采用Tikhonov正則化方法來求解方程（8），即解正則化方程：

對(duì)于密度函數(shù)φαj（y）引進(jìn)單層位勢(shì)算子Sj，即定義

因此，上述方法實(shí)際上也實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)場(chǎng)模式的近似分解，即u∞≈+。從而，可利用通過組合Newton法分別實(shí)現(xiàn)散射體Dj的邊界重建。

本文給出的波場(chǎng)分解算法與文獻(xiàn)［12］給出的略有不同，即分解算法是在?Bj上進(jìn)行的，這樣得到的散射波場(chǎng)（11）在?Gj的外部滿足Helmholtz方程，且和?

?uν

sj在邊界?Gj上都確實(shí)存在，而不用考慮它們是極限意義下的存在。

算例1 （波場(chǎng)分解）考慮兩個(gè)散射體，它們的邊界分別為：

和

取波數(shù)k=1，d=（1，0）T，正則化參數(shù)取0.5×10-8和精確的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞進(jìn)行數(shù)值模擬。選取?G1與?G2分別是位于（0，3.5）和（0，-2）半徑為1.7的圓，見圖1-圖2的中心部分的圓。選取?B1與?B2分別是位于（0，3.5）和（0，-2）半徑為1.5的圓的分解結(jié)果，分別記為和，此時(shí)散射體D位于B的內(nèi)部；選取?B1與?B2分別是位于（0，3.5）和（0，-2）半徑為0.7的圓的分解結(jié)果，分別記為和，此時(shí)B不包含D也不在D內(nèi)。圖1-圖2分別顯示了前后兩次分解所得散射場(chǎng)之差的實(shí)部和虛部。圖3給出了和分別對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式和。圖4給出了+與u∞的對(duì)比結(jié)果。

圖1-的結(jié)果

圖2-的結(jié)果

圖3 分解后的遠(yuǎn)場(chǎng)模式

圖4+與u∞的對(duì)比

3 重建單個(gè)散射體的組合牛頓法

得到密度φ，即

然后，散射波場(chǎng)us用單層位勢(shì)表示如下：

其中密度函數(shù)φ∈L2（Γ）通過方程（13）計(jì)算得到。Kirsch-Kress方法即尋求散射體D的邊界使其在范數(shù)意義下ui+us取零的位置，即極小化泛函

從而獲得?D的近似值。由于積分核e-ik?x.y是個(gè)解析函數(shù)，所以方程（13）是嚴(yán)重不適定的。這時(shí)需要采用一些正則化的方法去解方程（13），這里選取Tikhonov方法進(jìn)行求解，即求解方程（13）的Tikhonov正則化方程

其中α為正則化參數(shù)，I為單位算子，F(xiàn)Γ為遠(yuǎn)場(chǎng)算子，即

上述Kirsch-Kress方法（13）-（17）式，以及單層位勢(shì)的連續(xù)性，自然地定義一個(gè)算子為：

因此，求解方程（19）的Newton迭代法為：

其中G′3（u∞，δ，Γ，γ）h是對(duì)應(yīng)于第三項(xiàng)的γ的Fréchet導(dǎo)數(shù)，且易知：

如果不選取內(nèi)部輔助曲線Γ，在方程（16）直接用近似曲線γ取代Γ，也能得到一個(gè)密度函數(shù)，故可得到如Kirsch-Kress方法中的散射波場(chǎng)us，即

上式與（14）的不同之處在于積分曲線和密度函數(shù)是不相同的。此時(shí)，那么方程（19）就變?yōu)?/p>

采用以下近似Newton法

來求解方程（23），其中G′3（u∞，δ，γ，γ）h=x∈γ。已知遠(yuǎn)場(chǎng)模式的測(cè)量數(shù)據(jù)u∞，δ，給定γ的初始猜測(cè)γ0，經(jīng)近似Newton法（24）迭代重建散射體邊界?D的方法即是組合Newton法。

4 多個(gè)散射體的重建方法與數(shù)值模擬

在重建多個(gè)散射體時(shí)，始終假設(shè)散射體Dj是以（）為中心的星形狀散射體，即其邊界?Dj的參數(shù)表示形式

其中rj（t）∈C1（［0，2π］）是取值大于零的實(shí)函數(shù)。本文提出的多個(gè)散射體的重建方法如下。

給定多個(gè)散射體的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞，δ，首先由第2小節(jié)給出的波場(chǎng)分解算法將u∞，δ分解成到和，然后由第3節(jié)給出的組合Newton法分別利用和重建散射體邊界?D1和?D2。

組合牛頓法中，我們用三角函數(shù)的參數(shù)形式表示γ，即

為了避免反問題陷阱，通過用組合位勢(shì)積分方程方法解正散射問題獲得遠(yuǎn)場(chǎng)模式的模擬數(shù)據(jù)，而由前兩節(jié)給出的單層位勢(shì)途徑求反問題。正反問題算法的詳細(xì)參數(shù)化離散過程，請(qǐng)參閱文獻(xiàn)［3-4，10，13，15］。為了說明反演方法的穩(wěn)定性，本文給遠(yuǎn)場(chǎng)模式按下述方式加入隨機(jī)噪聲：

其中i代表的是虛數(shù)單位，“real”和”imag”分別代表的是遠(yuǎn)場(chǎng)模式的實(shí)部和虛部。在數(shù)值模擬中，始終取波數(shù)k=1和入射波方向d=（1，0）T，m= 15，N=64，且當(dāng)δ=0時(shí)選取正則化參數(shù)為0.5× 10-6而當(dāng)δ≠0時(shí)選取正則化參數(shù)為0.5×10-3進(jìn)行數(shù)值模擬。在組合牛頓迭代中，迭代停機(jī)準(zhǔn)則取

算例2 考慮重建算例1中的兩個(gè)散射體的邊界，重建結(jié)果見圖5。

圖5 算例2的重建結(jié)果

算例3 考慮重建兩個(gè)散射體，其中它們邊界的參數(shù)方程分別為：和重建結(jié)果見圖6。

圖6 算例3的重建結(jié)果

5 結(jié) 論

本文利用單層位勢(shì)的方法，對(duì)多個(gè)散射體產(chǎn)生的散射波場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)模式給出了波場(chǎng)分解算法，即將散射波和遠(yuǎn)場(chǎng)分解成與散射體個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)的多個(gè)散射波及其遠(yuǎn)場(chǎng)模式，且給出了數(shù)值模擬。然后，分別利用分解后的多個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，給出了利用組合牛頓法逐個(gè)重建多個(gè)散射體邊界的方法。通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，不論是對(duì)波場(chǎng)分解的數(shù)值模擬，還是重建多個(gè)散射體邊界的數(shù)值模擬，均表明本文給出的波場(chǎng)分解方案和重建方法是可行的。但是，在重建散射體邊界時(shí)，本文所給的重建方法仍然對(duì)迭代初值比較敏感，這也是需要我們進(jìn)一步研究的問題。

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NumericaI Method and SimuIation for Reconstruction of MuItipIe Scatterers Based on Wave FieId Decomposition

XIA Yun1，WANG Ze-wen1，ZHAO Xue-hui2
（1.School of Science，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China；2.Liangcheng Fourth High School，Wulanchabu 013750，China）

This paper studies an inverse scattering problem for reconstruction of multiple scatterers. Applying the idea of wave field decomposition，this paper firstly provides an algorithm for realizing scattered wave and far field model decomposition based on single layer potential to decompose far field mode generated by multiple impenetrable scatterer to multiple far-field data corresponding to the number of scatterers.Then，a numerical method is proposed by combined Newton method.Far-field data gained after decomposition are used to reconstruct the boundary of multiple scatterers.Finally，the feasibility of the algorithm is verified through numerical simulation.

inverse scattering；wave field decomposition；combined Newton method；multiple scatterers；ill-posed problem

O242.1

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0580-06

2013-12-22

國家自然科學(xué)基金（11161002）；江西省青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20132BAB211014）；江西省教育廳科技資助項(xiàng)目（GJJ13460）；東華理工大學(xué)校長基金（DHXK1207）

夏 赟（1982-），女，江西南昌人，講師，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)物理反問題的研究。