基于時(shí)間序列模型的軌道質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)研究

宋博洋

（北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044）

基于時(shí)間序列模型的軌道質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)研究

宋博洋

（北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044）

軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）是反映區(qū)段軌道整體不平順的一項(xiàng)重要指標(biāo)，是一個(gè)具有隨機(jī)性特征的時(shí)間序列。本文用灰色系統(tǒng)理論分析TQI序列與各單項(xiàng)指標(biāo)間的關(guān)聯(lián)度并預(yù)測(cè)某區(qū)段下一次檢查的數(shù)值；運(yùn)用ARMA模型對(duì)200 m單元區(qū)段的TQI序列數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，分析其變化趨勢(shì)并對(duì)未來(lái)一段時(shí)間的TQI進(jìn)行預(yù)測(cè)。算例分析表明，兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度有所提高，相對(duì)誤差小于5%。

時(shí)間序列；ARMA模型；關(guān)聯(lián)度；修正GM（1，1）；軌道質(zhì)量指數(shù)

1 引言

隨著我國(guó)鐵路網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，鐵路運(yùn)輸在促進(jìn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中起著越來(lái)越重要的作用。同時(shí)，鐵路養(yǎng)護(hù)維修工作也變得更為重要和復(fù)雜［1］。鐵路行車(chē)安全是鐵路運(yùn)輸工作的基本要求，而鐵路軌道不平順是使列車(chē)產(chǎn)生振動(dòng)的主要原因，會(huì)對(duì)列車(chē)的行車(chē)質(zhì)量產(chǎn)生重大影響［2］。準(zhǔn)確掌握軌道狀態(tài)的變化規(guī)律，制定合理的養(yǎng)護(hù)維修計(jì)劃，是解決行車(chē)安全問(wèn)題的重要內(nèi)容。因此，鐵路工務(wù)部門(mén)提出了以軌道狀態(tài)為基礎(chǔ)的“狀態(tài)修”。

軌道質(zhì)量指數(shù)（track quality index，TQI）是反映區(qū)軌道整體平順程度的一項(xiàng)重要指標(biāo)，是一個(gè)具有隨機(jī)特性的時(shí)間序列。徐偉昌［3］提出一種基于累計(jì)通過(guò)總重的線性模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，其基本公式為

其中，TQI0為初始時(shí)刻的軌道質(zhì)量指數(shù)，K為線路的劣化速率，T為累計(jì)通過(guò)總重。

此模型的預(yù)測(cè)結(jié)果可以基本反映短期TQI的變化趨勢(shì)，但是影響軌道的劣化因素不僅包括累計(jì)通過(guò)總重，而且跟所處的地理位置、溫度、降水以及測(cè)量誤差等因素相關(guān)，因此用直線擬合可能會(huì)產(chǎn)生比較大的偏差。

本文針對(duì)上述線性模型存在的問(wèn)題，提出用灰色系統(tǒng)理論對(duì)TQI序列進(jìn)行相關(guān)性分析和短期預(yù)測(cè)，用時(shí)間序列分析模型ARMA對(duì)每個(gè)200 m單元區(qū)段分別建模進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，對(duì)制定鐵路線路的維修計(jì)劃具有一定的指導(dǎo)意義。

2 灰色分析及預(yù)測(cè)

灰色預(yù)測(cè)是針對(duì)介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間的灰色系統(tǒng)的預(yù)測(cè)，系統(tǒng)內(nèi)一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，且內(nèi)部各因素之間具有不確定的關(guān)系。

2.1 灰色關(guān)聯(lián)分析

灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線集合形狀的相似程度來(lái)判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越?。?］。

設(shè)x0＝（x0（1），x0（2），…，x0（n））為某一系統(tǒng)的行為特征序列，且

為相關(guān)性因素。記

軌道質(zhì)量指數(shù)TQI是7項(xiàng)單項(xiàng)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差之和，通過(guò)進(jìn)行灰色關(guān)系度分析，可以找出影響TQI值的最主要因素，為采取有預(yù)防性的措施提供理論基礎(chǔ)。

2.2 改進(jìn)灰色GM（1，1）模型

灰色GM（1，1）模型主要是針對(duì)指數(shù)遞增序列進(jìn)行預(yù)測(cè)的，但實(shí)際上大部分時(shí)間序列數(shù)據(jù)不具有指數(shù)遞增的趨勢(shì)，此時(shí)灰色模型的預(yù)測(cè)精度就會(huì)降低。因此需要對(duì)原始模型進(jìn)行改進(jìn)，使之能夠擴(kuò)大應(yīng)用領(lǐng)域。本文提出了利用殘差對(duì)原始模型進(jìn)行改進(jìn)的方法，試驗(yàn)證明這種改進(jìn)后的模型可以在一定程度提高預(yù)測(cè)的精度，預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)實(shí)際工作具有指導(dǎo)意義。

設(shè)數(shù)據(jù)的原始序列為：X0＝（x0（1），x0（2），…，x0（n））（x是TQI時(shí)序檢測(cè)數(shù)據(jù)），根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，灰色預(yù)測(cè)模型GM（1，1）的基本形式為［3－4］：

模型的時(shí)間響應(yīng)序列為

當(dāng)原始序列的波動(dòng)性比較大時(shí)，GM（1，1）模型的精度比較低，此時(shí)需要對(duì)原始模型進(jìn)行修正改進(jìn)，以提高精度。

對(duì)ε0應(yīng)用GM（1，1）模型進(jìn)行計(jì)算，得其模擬序列

用模擬得到的序列ε0修正，稱(chēng)修正后的時(shí)間響應(yīng)式

為殘差修正GM（1，1）模型。

3 ARMA模型及改進(jìn)

3.1 ARMA模型及其求解

ARMA模型（auto-regressivemoving averagemodel）又稱(chēng)自回歸移動(dòng)平均模型，是一種精度較高的時(shí)序短期預(yù)測(cè)模型，其基本思想是：某些時(shí)間序列是依賴(lài)于時(shí)間t的一組隨機(jī)變量，構(gòu)成該時(shí)序的單個(gè)序列值雖然具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相關(guān)的數(shù)學(xué)模型近似描述。通過(guò)對(duì)該數(shù)學(xué)模型的分析研究，更本質(zhì)地認(rèn)識(shí)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達(dá)到最小方差意義下的最優(yōu)預(yù)測(cè)。ARMA（p，q）的一般形式為［7－8］：

其中，p，q分別表示滯后的階數(shù)，εt是白噪聲序列。

由已有的研究可知，軌道質(zhì)量指數(shù)TQI隨時(shí)間變化的序列｛TQIt｝不是一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，在一定程度上具有指數(shù)變化的特征。本文取經(jīng)過(guò)差分后的序列作為研究對(duì)象。｛TQIt｝的一階差分序列用｛TQIt1｝表示，其計(jì)算公式為

同理，可以計(jì)算TQI的二階、三階差分序列。具體的差分階次由差分后的序列是否平穩(wěn)所決定。這樣經(jīng)過(guò)d階差分變?yōu)槠椒€(wěn)序列后，對(duì)其進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，得到結(jié)果后再反向推導(dǎo)出原始序列的預(yù)測(cè)值。

確定模型的階數(shù)，即確定p和q。一般有3種方法，即偏、自相關(guān)函數(shù)法、FPE準(zhǔn)則和AIC及BIC準(zhǔn)則。本文采用第一種方法確定p和q的取值，并結(jié)合TQI的變化規(guī)律，在此方法上提出改進(jìn)。

3.2 模型的改進(jìn)

軌道質(zhì)量指數(shù)序列是一組沿時(shí)間方向上下波動(dòng)的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)本身的單調(diào)性不明顯，此時(shí)ARMA模型的適用性會(huì)降低，進(jìn)而影響預(yù)測(cè)的精度。TQI時(shí)間序列的波動(dòng)性是由趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)噪聲兩項(xiàng)疊加而成的，基于此本文采用灰色系統(tǒng)理論中的疊加處理手段對(duì)ARMA模型進(jìn)行了改進(jìn)，盡量消除TQI波動(dòng)性對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響。具體的實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下

將經(jīng)過(guò)處理后的數(shù)據(jù)序列建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，步驟如3.1，預(yù)測(cè)得到的結(jié)果為

這個(gè)結(jié)果為對(duì)處理后數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，對(duì)其按下式進(jìn)行反向遞減計(jì)算，可得到對(duì)原始TQI序列的預(yù)測(cè)結(jié)果：

4 算例分析

4.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

京九鐵路是一條貫穿我國(guó)南北的交通大動(dòng)脈，北起首都北京，南至香港特別行政區(qū)，途徑9個(gè)省市，全長(zhǎng)2 536 km。本文所使用的軌檢測(cè)數(shù)據(jù)為京九線北段K372．776至K650．333區(qū)段的數(shù)據(jù)，區(qū)段長(zhǎng)度為227．557 km，采集了2008年2月20日至2010年7月23日共86次檢測(cè)數(shù)據(jù)做分析研究。

4.2 TQI與各指標(biāo)的關(guān)聯(lián)度

TQI值是軌距、水平、左高低、右高低、左軌向、右軌向和三角坑7項(xiàng)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差之和，這7項(xiàng)指標(biāo)序列分別用X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7表示。對(duì)于不同的單元區(qū)段，每一個(gè)單項(xiàng)指標(biāo)對(duì)TQI的影響程度是不一樣的，需要分別考慮。這里，選擇上行468.8 km處2009年的10次檢測(cè)數(shù)據(jù)作分析。經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，取ε＝0.5，按照2.1所述方法，對(duì)7項(xiàng)指標(biāo)與整體TQI值進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)分析，得到計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 TQI值與各指標(biāo)關(guān)聯(lián)度Table 1 Correlation of TQI value and every index

由表1可以看出，就本單元區(qū)段而言TQI值與7項(xiàng)指標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)度大小順序分別是：三角坑、水平、右軌向、軌距、右高低、左高低、右軌向。并且與三角坑指標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)度遠(yuǎn)大于其他幾項(xiàng)指標(biāo)。這說(shuō)明三角坑對(duì)整體TQI值得影響是最大的，需要在實(shí)際工作中注意預(yù)防三角坑超限，使整體區(qū)段保持良好狀態(tài)。

4.3 區(qū)間預(yù)測(cè)

京九線上行K468．2～K469區(qū)段2009年1月至2009年10月的TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 TQI數(shù)據(jù)表Table 2 TQI data table

以K469處的10次檢測(cè)數(shù)據(jù)為例，繪制TQI變化趨勢(shì)圖，見(jiàn)圖1。

圖1 TQI變化趨勢(shì)圖Fig.1 TQIvariety trend

由圖1可知，整個(gè)變化過(guò)程大體分為三個(gè)階段。第一階段是前三次檢測(cè)，第三次檢測(cè)的TQI值較前兩次有明顯的降低，說(shuō)明在第二次檢測(cè)之后發(fā)生了維修活動(dòng)，使軌道質(zhì)量明顯提高。第二階段是第四至七次檢測(cè)，在這一期間內(nèi)TQI總體上成上升的趨勢(shì)，說(shuō)明軌道質(zhì)量在逐步劣化。第三階段的特點(diǎn)與第一階段相似。

在整個(gè)變化過(guò)程中，引起TQI劣化的原因是多方面的，包括自然條件引起的軌道沉降和行車(chē)引起的軌道狀態(tài)的改變等。運(yùn)用灰色理論，可以避免具體因素的影響，對(duì)TQI進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析。

應(yīng)用殘差修正模型，對(duì)5個(gè)單元區(qū)段2010年11月的TQI檢測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 TQI預(yù)測(cè)結(jié)果Table 3 Prediction results of TQI

通過(guò)2010年11月的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析，殘差修正模型的預(yù)測(cè)值可以將預(yù)測(cè)誤差控制在5%以?xún)?nèi)，較改進(jìn)前的模型有了很大的提高，對(duì)指導(dǎo)實(shí)踐維修活動(dòng)更具有實(shí)際意義。

4.4 單元區(qū)段預(yù)測(cè)過(guò)程

隨機(jī)選取京九線北段468．6 km的一個(gè)200 m單元區(qū)段，以2008年3月至2009年3月20次TQI監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)際值作為原始序列，見(jiàn)表4。

表4 TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際值Table 4 The actual value of TQI test data

京九鐵路的軌道數(shù)據(jù)是采用Ⅳ型軌檢車(chē)檢測(cè)得到的。Ⅳ型軌檢車(chē)一般不單獨(dú)開(kāi)行，而是編掛在其他列車(chē)上。由于受運(yùn)行速度、傳感器靈敏度和其他一些外界條件的影響，會(huì)導(dǎo)致一些誤差的產(chǎn)生，200 m單元區(qū)段TQI的值是通過(guò)800個(gè)采樣點(diǎn)的7項(xiàng)不平順指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差得到的。但是單個(gè)采樣點(diǎn)在每次采樣中的位置不是絕對(duì)固定的，這樣即使在不考慮外界環(huán)境對(duì)檢測(cè)活動(dòng)的影響下，每次采樣的隨機(jī)性，也會(huì)引入相應(yīng)的誤差，稱(chēng)為選擇性偏差。從理論上講，在沒(méi)有維修活動(dòng)發(fā)生的情況下，對(duì)于同一區(qū)段而言，后一次的TQI檢測(cè)值應(yīng)該大于等于前一次的檢測(cè)值，但是考慮到上述誤差的影響，實(shí)際的檢測(cè)數(shù)據(jù)并不完全如此，見(jiàn)圖2。

圖2 整區(qū)段相鄰兩次TQI檢測(cè)值Fig.2 The adjacentTQIvalue of the entire segment

為了去除偏離點(diǎn)的影響，將表中后一次檢查結(jié)果比前一次檢查小并且幅度介于0．5到1之間的數(shù)據(jù)除去，得到修正后的TQI序列，見(jiàn)表5。

表5 TQI檢測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)處理結(jié)果Table 5 Preprocessing results of TQI test data

應(yīng)用公式（8）對(duì)表5的數(shù)據(jù)進(jìn)行累加，結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 數(shù)據(jù)累加結(jié)果Table 6 Accumulation results of data

對(duì)得到的新序列建立ARMA模型，模型的階數(shù)為p＝2和q＝1，參數(shù)為c＝0.023 213，φ1＝0.512 689，φ2＝0.456 254，θ1＝－0．198 625，得到預(yù)測(cè)結(jié)果后，逆推出原始TQI序列的預(yù)測(cè)值，結(jié)果見(jiàn)表7。

表7 進(jìn)后TQI數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果Tale 7 Improved prediction results of TQI data

如果采用文獻(xiàn)［1］中提出的直線預(yù)測(cè)法，得到的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的相對(duì)誤差平均在12%。表3和表7的預(yù)測(cè)結(jié)果表明，殘差修正GM（1，1）和改進(jìn)的ARMA模型在一定程度上減小了數(shù)據(jù)本身誤差的影響，提高了預(yù)測(cè)的精度，相對(duì)誤差｜r｜＜5%，結(jié)果比較理想，對(duì)指導(dǎo)線路的維修工作，具有一定的借鑒意義。

5 結(jié)論與展望

本文首先利用殘差修正GM（1，1）模型對(duì)不同單元區(qū)段的TQI進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的結(jié)果基本反應(yīng)了TQI的實(shí)際值，同時(shí)對(duì)影響TQI值得各種指標(biāo)進(jìn)行了關(guān)聯(lián)性分析。其次，用改進(jìn)的ARMA模型針對(duì)單元區(qū)段建立單獨(dú)模型進(jìn)行中長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)。兩個(gè)分析預(yù)測(cè)模型的結(jié)果較精確，對(duì)鐵路線路的維修工作有一定的實(shí)際指導(dǎo)意義。

當(dāng)有維修活動(dòng)發(fā)生時(shí)，TQI值會(huì)大幅度降低，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏差增大，因此如何更好地解決維修活動(dòng)的影響，是下一步研究的重點(diǎn)。

［1］劉國(guó)強(qiáng)，顏穎．國(guó)內(nèi)外高速鐵路線路養(yǎng)護(hù)維修分析［J］．中國(guó)鐵路，2006（10）：57－59．

［2］中華人民共和國(guó)鐵道部．鐵路線路修理規(guī)則［M］．北京．中國(guó)鐵道出版社．2007．

［3］徐偉昌．利用軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）預(yù)測(cè)軌道不平順發(fā)展的探討［J］．上海鐵道科技，2011（2）：5－7．

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［5］賈朝龍，徐維祥，王福田，等．基于GM（1，1）與AR模型的軌道不平順狀態(tài)預(yù)測(cè)［J］．北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，36（3）：52－56．

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［7］李敏，陳勝可．EViews統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2011．

［8］李瑞瑩，康銳．基于ARMA模型的故障率預(yù)測(cè)方法研究［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，30（8）：1588－1591．

［9］劉思峰，謝乃明．灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］．北京．科學(xué)出版社．2008．

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Time sequence model based track quality index prediction

SONG Bo-yang
（School of Traffic and Transportation，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

Track quality index（TQI），a time series with random characteristics，is an important indicator reflecting the total unevenness of a track segment．We analyze the correlation betweenTQIsequence and every single indicator with grey theory and predict next inspection value of a certain segment．Moreover，we investigateTQIsequence data for 200 m track segment with auto-regressive moving average（ARMA）model，analyze their variation tendency and predictTQIvalue in future time．Analysis show that the accuracy of each model has been improved，and the relative error is less than 5%．

time sequence；ARMA model；correlation；fitted GM（1，1）；TQI

U216

A

1002-4026（2014）03-0066-07

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.03.013

2014-02-15

宋博洋（1990－），男，碩士，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸工程，運(yùn)輸系統(tǒng)工程。Email：13125720＠bjtu．edu．cn