不同正交基函數(shù)系反演邊界溫度場(chǎng)比較

霍海娥，霍海波，敬成君

（1.四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院，四川 成都 610065；2.上海海洋大學(xué)海洋工程研究所，上海 201306）

不同正交基函數(shù)系反演邊界溫度場(chǎng)比較

霍海娥1，霍海波2，敬成君1

（1.四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院，四川 成都 610065；2.上海海洋大學(xué)海洋工程研究所，上海 201306）

基于3種不同的正交基函數(shù)系（三角函數(shù)正交系，Legendre正交多項(xiàng)式和Chebyshev正交多項(xiàng)式），比較研究了一類二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程反問(wèn)題中邊界溫度場(chǎng)的數(shù)值反演方法。首先引入泛函，根據(jù)線性偏微分方程的疊加原理，將所研究的反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解泛函極小值的正問(wèn)題；然后基于測(cè)點(diǎn)溫度，通過(guò)求解離散后的線性代數(shù)方程，得到各基函數(shù)的系數(shù)，對(duì)邊界溫度場(chǎng)進(jìn)行有限維逼近，重構(gòu)得到邊界溫度場(chǎng)的分布。研究結(jié)果表明：采用3種正交基函數(shù)系均能有效地重構(gòu)邊界溫度場(chǎng)，數(shù)值反演結(jié)果曲線與邊界溫度場(chǎng)原函數(shù)曲線吻合較好，3種函數(shù)系均可應(yīng)用于類似的反演研究。

正交基函數(shù)系；導(dǎo)熱反問(wèn)題；數(shù)值反演；泛函

0 引言

邊界溫度場(chǎng)的重建問(wèn)題是導(dǎo)熱反問(wèn)題中的基本問(wèn)題，其原理是通過(guò)測(cè)點(diǎn)的溫度來(lái)反算邊界的溫度場(chǎng)分布。文獻(xiàn)［1－3］研究了一維熱傳導(dǎo)方程的邊界溫度場(chǎng)或邊界熱流量的反演問(wèn)題；文獻(xiàn)［4］利用基本解法、文獻(xiàn)［5］利用擬解法結(jié)合偏微分方程的疊加原理，研究了二維熱傳導(dǎo)方程的邊界溫度場(chǎng)反演問(wèn)題；文獻(xiàn)［6］探討了多項(xiàng)式數(shù)值逼近法在黑體輻射問(wèn)題反演中的應(yīng)用，取得了較好的效果；文獻(xiàn)［7－8］基于一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)反問(wèn)題，反演了導(dǎo)溫材料隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)。以上研究均沒(méi)有探討采用不同正交基函數(shù)系對(duì)數(shù)值反演結(jié)果的影響，也沒(méi)有研究測(cè)點(diǎn)數(shù)量和基函數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)數(shù)值反演結(jié)果的影響程度。由于邊界溫度場(chǎng)的分布都可以看作是一個(gè)函數(shù)，而正交基函數(shù)系由于在空間上的正交特性，其線性組合能夠逼近任意函數(shù)［9］，因此，本文擬基于3種不同的正交基函數(shù)系，對(duì)二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱反問(wèn)題的邊界溫度場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值反演計(jì)算，比較不同正交函數(shù)系的反演效果，探尋測(cè)點(diǎn)數(shù)量和基函數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)數(shù)值反演結(jié)果的影響。

1 問(wèn)題描述

考慮一個(gè)有限域二維穩(wěn)態(tài)傳熱邊界溫度場(chǎng)的反演問(wèn)題，模型見(jiàn)圖1，其數(shù)學(xué)方程為控制方程：

求解方程時(shí)網(wǎng)格劃分及節(jié)點(diǎn)設(shè)置如圖2所示。

圖1 邊界溫度場(chǎng)反演模型

圖2 節(jié)點(diǎn)示意圖

問(wèn)題提出：由測(cè)點(diǎn)溫度t0＝U（x0，y0）分布反推U（0，y）＝f（y），即x＝0邊界上溫度場(chǎng)的分布，假設(shè)原函數(shù)為U（0，y）＝sin（πy），采用文獻(xiàn)［5］提出的反問(wèn)題數(shù)值解法進(jìn)行求解。

2 結(jié)果與討論

2.1 測(cè)點(diǎn)位置及測(cè)點(diǎn)數(shù)對(duì)反演結(jié)果的影響

為了考查測(cè)點(diǎn)位置及測(cè)點(diǎn)數(shù)量對(duì)數(shù)值反演的影響，改變單測(cè)點(diǎn)的位置，數(shù)值反演結(jié)果如圖3所示，選取不同數(shù)量的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值反演結(jié)果如圖4所示。

圖3 單測(cè)點(diǎn)位置對(duì)數(shù)值反演結(jié)果的影響

圖4 測(cè)點(diǎn)數(shù)量對(duì)數(shù)值反演結(jié)果的影響

圖3的計(jì)算條件為20×20網(wǎng)格，（0.3，0.3；7）表示測(cè)點(diǎn)位置為：x0＝0.3，y0＝0.3，數(shù)字7代表選取7個(gè)正交三角函數(shù)基函數(shù)。由圖3可以看出：通過(guò)改變測(cè)點(diǎn)位置，基于不同的測(cè)點(diǎn)溫度反演得到的反演結(jié)果曲線相差甚遠(yuǎn)，如果采用左下角測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，則曲線會(huì)向左偏移，如果測(cè)點(diǎn)取在右上角，反演結(jié)果曲線又會(huì)向下偏移。說(shuō)明單測(cè)點(diǎn)所包含的信息不完整，需要采集多個(gè)測(cè)點(diǎn)的信息才能準(zhǔn)確反演。

圖4的計(jì)算條件為20×20網(wǎng)格，采用7個(gè)正交三函數(shù)基函數(shù)進(jìn)行數(shù)值反演，用于比較不同測(cè)點(diǎn)數(shù)對(duì)反演結(jié)果的影響。從圖4可以看出：隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)的增加，數(shù)值反演結(jié)果曲線越來(lái)越逼近原函數(shù)，說(shuō)明增加測(cè)點(diǎn)數(shù)對(duì)于數(shù)值反演是有利的。

2.2 基函數(shù)個(gè)數(shù)與網(wǎng)格數(shù)的匹配關(guān)系以及對(duì)反演結(jié)果的影響

為了考查基函數(shù)個(gè)數(shù)與網(wǎng)格數(shù)的匹配關(guān)系以及對(duì)反演結(jié)果的影響，分別采用20×20、30×30、40× 40的網(wǎng)格，基于正交三角函數(shù)系進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 20×20網(wǎng)格數(shù)值反演結(jié)果

圖6 30×30網(wǎng)格數(shù)值反演結(jié)果

從圖5～圖7可以看出：選取正交三角基函數(shù)系進(jìn)行數(shù)值反演，當(dāng)網(wǎng)格為20×20時(shí)，用5個(gè)基函數(shù)進(jìn)行數(shù)值反演的結(jié)果與原函數(shù)吻合較好；網(wǎng)格為30×30時(shí)，用7個(gè)基函數(shù)數(shù)值反演的結(jié)果與原函數(shù)完全吻合；網(wǎng)格為40×40時(shí)，用9個(gè)基函數(shù)數(shù)值反演的結(jié)果已經(jīng)非常逼近原函數(shù)。由圖5～圖7還可看出：對(duì)于一定數(shù)量的網(wǎng)格數(shù)，初始隨著基函數(shù)個(gè)數(shù)的增加，反演結(jié)果曲線會(huì)越來(lái)越逼近原函數(shù)，而當(dāng)基函數(shù)個(gè)數(shù)增加到某一值時(shí)，反演結(jié)果曲線與原函數(shù)的擬合度達(dá)到最高，之后隨著基函數(shù)個(gè)數(shù)的增加反演結(jié)果曲線會(huì)越來(lái)越偏離原函數(shù)。說(shuō)明基函數(shù)個(gè)數(shù)的選取與網(wǎng)格數(shù)之間存在一定的關(guān)系，即當(dāng)網(wǎng)格數(shù)和基函數(shù)的個(gè)數(shù)正好匹配時(shí)，此時(shí)的數(shù)值反演效果最好。

圖7 40×40網(wǎng)格數(shù)值反演結(jié)果

2.3 不同正交基函數(shù)系對(duì)反演結(jié)果的影響

本文中邊界溫度場(chǎng)重建的區(qū)間是y∈［0，1］，所采用不同正交基函數(shù)系的比較見(jiàn)表1。

表1 不同正交基函數(shù)系的比較

圖8為20×20網(wǎng)格用Legendre多項(xiàng)式正交基函數(shù)反演。由圖8可以看出：當(dāng)采用20×20網(wǎng)格，選取Legendre多項(xiàng)式正交函數(shù)系作為基函數(shù)時(shí)，采用3個(gè)基函數(shù)和采用4個(gè)基函數(shù)時(shí)反演結(jié)果曲線重合，與原函數(shù)吻合較好；當(dāng)采用5個(gè)基函數(shù)時(shí)反演結(jié)果曲線與原函數(shù)吻合度最高，隨著基函數(shù)個(gè)數(shù)的增加，反演結(jié)果曲線越來(lái)越偏離原函數(shù)，擬合誤差越來(lái)越大。所以對(duì)于20×20網(wǎng)格，采用5個(gè)正交Legendre多項(xiàng)式基函數(shù)可得到最佳數(shù)值反演結(jié)果。

圖9為20×20網(wǎng)格用Chebyshev多項(xiàng)式正交基函數(shù)反演。由圖9可以看出：當(dāng)采用20×20網(wǎng)格，選取Chebyshev多項(xiàng)式正交函數(shù)系作為基函數(shù)時(shí)，反演結(jié)果與采用Legendre多項(xiàng)式正交函數(shù)系作為基函數(shù)時(shí)幾乎一致，當(dāng)采用5個(gè)基函數(shù)時(shí)反演結(jié)果曲線與原函數(shù)已經(jīng)完全重合，隨著基函數(shù)個(gè)數(shù)的增加，反演結(jié)果越來(lái)越偏離原函數(shù)，反演誤差越來(lái)越大。所以對(duì)于20×20網(wǎng)格，采用5個(gè)正交Chebyshev多項(xiàng)式基函數(shù)可得到最佳數(shù)值反演結(jié)果。

圖8 20×20網(wǎng)格用Legendre多項(xiàng)式正交基函數(shù)反演

對(duì)于相同的網(wǎng)格數(shù)（20×20），分別采用相同個(gè)數(shù)的正交三角基函數(shù)、Legendre正交多項(xiàng)式基函數(shù)和Chebyshev正交多項(xiàng)式基函數(shù)對(duì)其進(jìn)行數(shù)值反演，反演結(jié)果如圖10所示。

由圖10可以看出：網(wǎng)格數(shù)固定為20×20，采用文中提出的3種不同種正交函數(shù)系，分別取5個(gè)基函數(shù)進(jìn)行數(shù)值反演計(jì)算時(shí)，3種函數(shù)系都能得到滿意的反演效果。其中，正交三角函數(shù)系的數(shù)值反演結(jié)果曲線與原函數(shù)的重合度較低，而Legendre多項(xiàng)式和Chebyshev多項(xiàng)式的數(shù)值反演結(jié)果曲線幾乎重合，且與原函數(shù)的重合度都很高。

圖9 20×20網(wǎng)格用Chebyshev多項(xiàng)式正交基函數(shù)反演

圖10 采用3種不同正交函數(shù)系的數(shù)值反演比較

3 結(jié)論

（1）在進(jìn)行數(shù)值反演計(jì)算中，測(cè)點(diǎn)的位置及數(shù)量都有可能影響反演效果，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)螠y(cè)點(diǎn)所含的信息較少，為了保證反演效果，需采用多個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值反演計(jì)算。

（2）在進(jìn)行數(shù)值反演計(jì)算中，要注意正交函數(shù)系中基函數(shù)個(gè)數(shù)的選取與網(wǎng)格的劃分存在最佳匹配關(guān)系，如采用正交三角基函數(shù)系進(jìn)行數(shù)值反演，對(duì)于20×20網(wǎng)格數(shù)，選用5個(gè)基函數(shù)反演效果最好；對(duì)于30×30網(wǎng)格數(shù)，選用7個(gè)基函數(shù)反演效果最好；對(duì)于40×40網(wǎng)格數(shù)，選用9個(gè)基函數(shù)反演效果最好。當(dāng)兩者達(dá)到最佳匹配時(shí)，反演結(jié)果曲線與原函數(shù)曲線逼近度最高。

（3）正交三角函數(shù)系、Legendre正交多項(xiàng)式和Chebyshev正交多項(xiàng)式都可以用來(lái)進(jìn)行邊界溫度場(chǎng)的反演計(jì)算，3種正交函數(shù)系中，Legendre正交多項(xiàng)式和Chebyshev正交多項(xiàng)式的反演效果非常好，正交三角函數(shù)系反演效果稍差。

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TB1

A

1672－6871（2014）04－0026－05

上海市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12ZR1413100）

霍海娥（1974－），女，山西代縣人，副教授，博士生；敬成君（1965－），男，四川南部人，為通信作者，教授，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閭鳠崤c建筑節(jié)能.

2013－06－28