磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的參數(shù)優(yōu)化及減振效果

李曉華，王寶基，薛中會(huì)

（河南理工大學(xué)物理化學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000）

磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的參數(shù)優(yōu)化及減振效果

李曉華，王寶基，薛中會(huì)

（河南理工大學(xué)物理化學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000）

在調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的基礎(chǔ)上，將黏性阻尼器換成電磁阻尼器，建立了3個(gè)自由度磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型及其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。利用傅里葉變換導(dǎo)出了該系統(tǒng)隨外激勵(lì)變化的傅里葉響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)固定點(diǎn)法和參數(shù)組合篩選法對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化處理，得到了最優(yōu)頻率比、電阻尼比和耦合參數(shù)。減振效果顯示，磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器比調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的減振效果提高了20%左右。

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；磁耦合；參數(shù)優(yōu)化；傅里葉變換

0 引言

目前，為了減輕外激勵(lì)作用而引起建筑物的振動(dòng)，許多被動(dòng)控制器已成功地安裝在世界各地的高聳建筑物和塔上，如美國(guó)紐約的Citicorp中心，波士頓的John Hancock塔，澳大利亞悉尼Centerpoint塔等。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）是被動(dòng)控制器之一，它能使主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)得到很好的抑制［1－6］。目前，一些研究發(fā)現(xiàn)，在TMD的基礎(chǔ)上加上磁場(chǎng)能達(dá)到更好的減振效果，如磁耦合減振器在梁的減振方面的研究有：文獻(xiàn)［7］分析了當(dāng)機(jī)械部分達(dá)到很好的減振效果時(shí)的耦合參數(shù)的取值范圍，以及非線性時(shí)的分岔和混沌與耦合參數(shù)的關(guān)系；文獻(xiàn)［8］研究了多個(gè)有磁耦合的減振器串聯(lián)時(shí)的穩(wěn)定邊界條件和分岔情況以及對(duì)應(yīng)Lyaponov指數(shù)；文獻(xiàn)［9］研究了磁TMD對(duì)梁的減振效果，結(jié)果顯示在參數(shù)沒有取最優(yōu)的條件下，減振效果也比TMD的減振效果好。就目前情況來看，磁耦合減振器在高聳結(jié)構(gòu)減振方面的研究還較為少見。本文在調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的基礎(chǔ)上，將黏性阻尼器換成電磁阻尼器，建立了磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MC-TMD），系統(tǒng)地對(duì)MC-TMD系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化研究，并進(jìn)一步比較了TMD和MC-TMD的減振效果。

1 模型和運(yùn)動(dòng)方程

為了便于分析MC-TMD的動(dòng)力學(xué)特性，考慮3個(gè)自由度的力學(xué)模型，如圖1所示。該模型是在調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的基礎(chǔ)上去掉黏性阻尼器，加上了電磁學(xué)部分形成電磁阻尼器，并通過力磁耦合把電磁學(xué)部分和原有的機(jī)械部分形成一個(gè)整體。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器是由質(zhì)量m1與受外激勵(lì)的振蕩器相連，質(zhì)量m2放在質(zhì)量m1上，質(zhì)量m2通過一個(gè)剛度系數(shù)為k2的彈簧與質(zhì)量m1相連；電磁學(xué)部分是由電阻R、電感L和電容C組成的永久性磁鐵。電磁學(xué)部分的作用是：當(dāng)主體結(jié)構(gòu)在遭受到外激勵(lì)作用時(shí)，主體結(jié)構(gòu)和TMD之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)線圈在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，引起線圈磁通量的變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，作為電路的電源，同時(shí)通電線圈的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生安培力，作為運(yùn)動(dòng)線圈的阻力來阻礙兩者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而達(dá)到減振的效果。

圖1 有磁耦合的TMD結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)牛頓定律和基爾霍夫定律，考慮安培力和感應(yīng)電壓的貢獻(xiàn)，系統(tǒng)的微分方程如下：

式中，m1和m2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量；x1和x2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的位移；“·”表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)；c為主體結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)；k1和k2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的剛度；B為線圈所在處的磁場(chǎng)強(qiáng)度；l為在磁場(chǎng)B→m中線圈的有效長(zhǎng)度；P（τ）為系統(tǒng)受到的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力；q為電容器極板上的瞬時(shí)電量；L、R和C分別為電感、電阻和電容。

為了便于參數(shù)優(yōu)化的研究，下面對(duì)式（1）進(jìn)行無量綱化處理，設(shè)無量綱變量為：

式中，Q0為電容器的參考電荷電量。

將上面的無量綱變量代入式（1），則方程（1）可化簡(jiǎn)為：

式（2）中，y1和y2表示主體的位移和TMD的位移；y3表示電容器的瞬時(shí)電量；ζ和γ分別為主結(jié)構(gòu)阻尼比和電阻尼比；λ為電磁阻尼比；α為電力耦合系數(shù)；f1、f2和ω分別為TMD、振蕩電路和簡(jiǎn)諧激勵(lì)力的固有頻率與主體結(jié)構(gòu)的固有頻率的比值；F0為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力的無量綱幅值；t為無量綱時(shí)間。

簡(jiǎn)諧激勵(lì)力F0cos（ωt）傅里葉函數(shù)存在，并且初始條件為零，對(duì)方程（2）兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得

式中，Y1（ω），Y（ω），Y3（ω），F(xiàn)（ω）分別表示系統(tǒng)響應(yīng)y1（t），y2（t）－y1（t），y3（t）和外激勵(lì)f（t）的傅里葉變換。由方程（3）得到外激勵(lì)和系統(tǒng)響應(yīng)之間的傅里葉變換關(guān)系，

則系統(tǒng)主體結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)為：

2 最優(yōu)頻率比的求解

2.1 理論求解

為了便于最優(yōu)頻率比的獲取，將主體結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)表示如下：

在對(duì)附著在無阻尼結(jié)構(gòu)上TMD的最優(yōu)設(shè)計(jì)研究中發(fā)現(xiàn)，存在兩個(gè)固定點(diǎn)的頻率，使主系統(tǒng)的振幅與TMD的阻尼無關(guān)［10］。本文模型是有阻尼的主體結(jié)構(gòu)，在這里假定該模型也存在兩個(gè)固定點(diǎn)頻率，在此頻率下，主體結(jié)構(gòu)的振幅與TMD的電磁阻尼無關(guān)，即無論如何改變其他參數(shù)，這兩個(gè)固定點(diǎn)頻率所對(duì)應(yīng)主體結(jié)構(gòu)的幅值保持不變。根據(jù)這一假設(shè)，將存在λ＝0和λ＝∞時(shí)所對(duì)應(yīng)的傅里葉函數(shù)模相等，即

由于μ≠0，ω≠0，所以式（7）就變成了關(guān)于ω2的一元二次方程，則有

方程（9）化簡(jiǎn)后得

由式（8）和式（11）可得最優(yōu)頻率比為：

這樣就得到了附著在阻尼結(jié)構(gòu)上CD-TMD的最優(yōu)頻率比。如果是單自由度無阻尼結(jié)構(gòu)（即ζ＝0），結(jié)果將與文獻(xiàn)［11］的TMD系統(tǒng)最優(yōu)頻率比表達(dá)式［1／（1＋μ）］相一致。由式（12）可以看出：最優(yōu)頻率比只與主體結(jié)構(gòu)的阻尼比和質(zhì)量比有關(guān)，與其他的物理參數(shù)均無關(guān)。由式（12）得到的最佳頻率比，在后面的參數(shù)優(yōu)化討論中，結(jié)合固定點(diǎn)的縱坐標(biāo)為峰值，獲得最優(yōu)耦合參數(shù)及電系統(tǒng)阻尼比，使主體結(jié)構(gòu)位移的傅里葉函數(shù)的幅值達(dá)到最小值，從而使主體結(jié)構(gòu)在遭受更寬能量范圍的外激勵(lì)的響應(yīng)減小，或者能使更寬范圍固有頻率的主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)得到抑制。

2.2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證附著MC-TMD的阻尼輕質(zhì)結(jié)構(gòu)存在兩個(gè)‘固定點(diǎn)’的可行性，本文利用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)其進(jìn)行了模擬?？紤]質(zhì)量比μ＝0.01和μ＝0.02，主體結(jié)構(gòu)阻尼比為ζ＝0.01和ζ＝0.02。由于ζ?1，4ζ2可以忽略不計(jì)，這樣最優(yōu)頻率比就簡(jiǎn)化為［1／（1＋μ）］。對(duì)μ＝0.01，可以求得對(duì)應(yīng)的頻率比為0.99，并將頻率比［1／（1＋μ）］代入方程（7），求出此條件下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)固定點(diǎn)的理論值為1.029 4和0.959 2（考慮到固定點(diǎn)的頻率為正）；同理，對(duì)于μ＝0.02，可以得到兩個(gè)固定點(diǎn)的理論值為1.038 1和0.939 5（考慮到固定點(diǎn)的頻率為正）。

利用數(shù)值計(jì)算方法可以獲得主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傅里葉函數(shù)隨外激勵(lì)頻率比的變化曲線，如圖2所示。當(dāng)阻尼比ζ＝0.01時(shí)，不同的耦合參數(shù)λ的相交點(diǎn)和固定點(diǎn)非常接近，見圖2a和圖2b；當(dāng)阻尼比ζ＝0.02時(shí)，不同的耦合參數(shù)λ的相交點(diǎn)和固定點(diǎn)比較接近，見圖2c和圖2d。從圖2中可以看出：主體結(jié)構(gòu)的阻尼比越小，固定點(diǎn)越趨近于一點(diǎn)，反之，固定點(diǎn)就越分散。在實(shí)際工程中，目前都向著高強(qiáng)輕質(zhì)的方向發(fā)展，主體結(jié)構(gòu)的阻尼比越來越小，因此‘固定點(diǎn)’法是可行的。

圖2 CD-TMD系統(tǒng)主體結(jié)構(gòu)位移的傅里葉函數(shù)

3 數(shù)值方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化

參數(shù)的選取原則是：調(diào)控不同的耦合參數(shù)λ，使主體結(jié)構(gòu)位移的傅里葉函數(shù)變化曲線的交點(diǎn)A和B在同一水平線上，設(shè)法降低這兩點(diǎn)的傅里葉函數(shù)模高度，并使其成為曲線上的最高點(diǎn)。這樣就可以使主體結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)模的峰值被限制在A點(diǎn)和B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的傅里葉函數(shù)模之下。由于在主結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)α和λ總是以αλ2的形式出現(xiàn)，為了參數(shù)優(yōu)化的方便，這里將αλ2看成一個(gè)參數(shù)，并設(shè)為β，這樣傅里葉函數(shù)的表達(dá)式中的參數(shù)就可減少為：主結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量比μ，TMD和主體結(jié)構(gòu)的固有頻率比f1，LC振蕩電路和主體結(jié)構(gòu)的固有頻率比f2，耦合參數(shù)γ、β。參數(shù)f2、γ和β最優(yōu)值的選取原則，使傅里葉函數(shù)的表達(dá)式分別對(duì)f2、γ和β求導(dǎo)，并使導(dǎo)數(shù)在處為零，即，求出相應(yīng)的參數(shù)f2、γ和β值，這些值就是它們最優(yōu)值。但由于傅里葉函數(shù)的表達(dá)式比較復(fù)雜，TMD最優(yōu)參數(shù)的解析式較復(fù)雜，很難求解。這里，把主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傅里葉函數(shù)模的峰值最小作為優(yōu)化目標(biāo)，利用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，尋求參數(shù)f2、γ和β的最優(yōu)值，如圖3所示。這里采用組合篩選法尋找參數(shù)f2、γ和β最優(yōu)值，即將f2、γ和β的取值進(jìn)行一一組合，求出每一組所對(duì)應(yīng)的主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傅里葉函數(shù)模的峰值，那么所有峰值中的最小值所對(duì)應(yīng)的f2、γ和β，即為和βopt。這里，f2、γ和β的步長(zhǎng)分別為0.000 1、0.005 0和0.001 0，精度可分別達(dá)到0.01%、0.50%和0.10%。在實(shí)際工程中要想達(dá)到更高的精度，則只需改變步長(zhǎng)就可以了。

為了便于在設(shè)計(jì)中直接選用MC-TMD的最優(yōu)參數(shù)，將不同質(zhì)量比μ和不同主體結(jié)構(gòu)阻尼比ζ所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)TMD參數(shù)γopt和βopt，以及振動(dòng)傅里葉函數(shù)模峰值的最小值列于表1中。在表1中還給出了f2＝1時(shí)的最優(yōu)參數(shù)γopt和βopt以及此時(shí)的。比較兩者可以看出：在相同的質(zhì)量比和阻尼比條件下，兩種情況的的值相差非常小。因此，在工程計(jì)算中為了方便起見，f2的值可以直接取1。由表1中的數(shù)據(jù)可看出：當(dāng)質(zhì)量比一定時(shí)，隨著主結(jié)構(gòu)阻尼比的增加參數(shù)f2、γ和β的最優(yōu)值的變化非常小，但是減振效果變化卻非常大。但對(duì)于阻尼比一定而質(zhì)量不同時(shí)，振蕩回路最優(yōu)阻尼比γopt、最優(yōu)參數(shù)βopt變化就相對(duì)較大一些。由此看來，質(zhì)量比對(duì)優(yōu)化參數(shù)的影響大于阻尼比的影響。

圖3 參數(shù)優(yōu)化步驟

表1 MC-TMD系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)

4 減振效果的比較

下面通過討論MC-TMD和普通TMD在主體結(jié)構(gòu)阻尼比和質(zhì)量比相同條件下的減振情況，對(duì)它們的減振效果進(jìn)行比較。這里取ζ＝0.01、μ＝0.01和ζ＝0.02、μ＝0.01，對(duì)于普通TMD采用文獻(xiàn)［12］中的最佳頻率比和阻尼比的設(shè)計(jì)：

而對(duì)MC-TMD，采用本文所獲取的優(yōu)化參數(shù)。通過主體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨外激勵(lì)頻率比變化的曲線來比較兩者的減振效果，如圖4所示。從圖4中可以看出：當(dāng)主體結(jié)構(gòu)的固有頻率和外激勵(lì)力的頻率達(dá)到共振時(shí)，兩者的減振效果有較大的差別，MC-TMD的優(yōu)勢(shì)就突顯出來了。很明顯，無論是大阻尼還是小阻尼，MC-TMD在較寬的頻率范圍，其主體結(jié)構(gòu)傅里葉函數(shù)的模趨于穩(wěn)定，并且MC-TMD比普通TMD的減振效果也有顯著的提高，其減振效果提高了20%左右。

5 結(jié)論

（1）主結(jié)構(gòu)的最優(yōu)阻尼比只與主體結(jié)構(gòu)的阻尼比和質(zhì)量比有關(guān)，與其他的物理參數(shù)均無關(guān)，并且當(dāng)阻尼比為零時(shí)，與文獻(xiàn)［11］的TMD系統(tǒng)最優(yōu)頻率比表達(dá)式［1／（1＋μ）］相一致。

（2）質(zhì)量比對(duì)振蕩回路最優(yōu)阻尼比γopt、最優(yōu)參數(shù)βopt的值影響較大，而主結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)上述參數(shù)的影響幾乎可以忽略不計(jì)；LC振蕩電路和主體結(jié)構(gòu)的固有頻率比f2取1和取最優(yōu)值減振效果幾乎一樣，因此在工程計(jì)算中可以直接取1。

圖4 外激勵(lì)頻率比對(duì)減振效果的影響

（3）在相同主體結(jié)構(gòu)和相同TMD下，頻率比在1附近（即共振）時(shí)，無論是大阻尼還是小阻尼，MCTMD比TMD的減振效果有顯著的提高，其減振效果提高了20%左右。

在風(fēng)振多發(fā)的地區(qū)還可以將電阻轉(zhuǎn)換成電爐絲將風(fēng)能轉(zhuǎn)換成熱能，制成風(fēng)能熱水器。這樣既能減振又能轉(zhuǎn)害為寶。

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TU473

A

1672－6871（2014）04－0086－06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11003003）；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃基金項(xiàng)目（112300410277）；河南省科技廳重點(diǎn)攻關(guān)項(xiàng)目（122102310279）；河南省高校青年骨干教師基金項(xiàng)目

李曉華（1976－），女，河南許昌人，實(shí)驗(yàn)師，碩士，研究方向?yàn)檎駝?dòng)、沖擊和減振.

2013－11－01