貝納德對(duì)流產(chǎn)生的溫差條件

齊錦剛， 高 勇， 趙作福， 王家毅， 李 揚(yáng)， 吳 敵， 王建中

（遼寧工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧錦州 121001）

貝納德對(duì)流產(chǎn)生的溫差條件

齊錦剛， 高 勇， 趙作福， 王家毅， 李 揚(yáng)， 吳 敵， 王建中

（遼寧工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧錦州 121001）

在Boussinesq近似的基礎(chǔ)上，忽略貝納德對(duì)流擾動(dòng)方程二階和更高階的擾動(dòng)，建立速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)的擾動(dòng)方程.通過(guò)無(wú)量綱處理得到控制貝納德對(duì)流的超越方程，利用MATLAB求解超越方程，得到實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生貝納德對(duì)流的參數(shù)，為貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)提供參考和指導(dǎo).

貝納德對(duì)流；擾動(dòng)；耗散結(jié)構(gòu)

0 引言

貝納德實(shí)驗(yàn)在非平衡熱力學(xué)、非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理和非線性力學(xué)中都是一個(gè)非常重要的研究課題.連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的貝納德對(duì)流是布魯塞爾學(xué)派最早用來(lái)說(shuō)明他們的耗散結(jié)構(gòu)物理圖像的典型例子之一［1］，而且在力學(xué)中也是混沌現(xiàn)象的代表性實(shí)驗(yàn)［2］.國(guó)內(nèi)外不少文獻(xiàn)對(duì)其實(shí)驗(yàn)和產(chǎn)生的非線性理論作了定性描述［3－4］.近年來(lái)有國(guó)外學(xué)者在Boussinesq假設(shè)下從理論上初步研究了三維情況下，溫度場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)貝納德對(duì)流的擾動(dòng)，并建立了溫度場(chǎng)和磁場(chǎng)的擾動(dòng)方程［5］.有學(xué)者以三維圓柱體腔體為模型，在不同瑞利數(shù)下對(duì)貝納德對(duì)流熱耗散率作了統(tǒng)計(jì)分析，得出無(wú)量綱數(shù)之間的標(biāo)度律關(guān)系［6］.

八十年代，Libchaber研究組提出了混合理論［8］.該理論認(rèn)為腔體內(nèi)的液體分為三個(gè)區(qū)域.并認(rèn)為冷熱羽流從上下溫度邊界層產(chǎn)生，在混合區(qū)域內(nèi)合并，然后進(jìn)入中央?yún)^(qū)域內(nèi).當(dāng)上下溫差達(dá)到一定的臨界值時(shí)，液體會(huì)出現(xiàn)平穩(wěn)的、類似以六邊形的對(duì)流翻滾狀態(tài).在六邊形的中心液體向上流動(dòng)，六邊形的邊緣，液體向下流動(dòng).

Gertsenshtein，Zheligovsky基于Boussinesq近似，研究了三維腔體中平面薄層液體在外場(chǎng)擾動(dòng)下的理論.但是沒(méi)有得到試驗(yàn)驗(yàn)證.盡管混合理論對(duì)貝納德對(duì)流現(xiàn)象的定性解釋比較完美，但是未能實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.在1991年，有研究認(rèn)為貝納德對(duì)流與瑞利流不同，不是浮力而是表面張力的作用［11］.這使人們對(duì)混合理論產(chǎn)生了疑問(wèn).1997年Ning，Yoshifumi，Hideo認(rèn)為貝納德對(duì)流是非線性科學(xué)中的一個(gè)重要的模型，具有實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單并且易于控制的優(yōu)點(diǎn)，支配方程比較明確，于是將其作為研究非線性科學(xué)的重要課題［12］.1999年王晉軍等人認(rèn)為，存在的問(wèn)題是硬湍流是否為Benard對(duì)流的極限狀態(tài)［7，9］.

在近十年來(lái)對(duì)貝納德對(duì)流的研究相當(dāng)活躍.學(xué)者們從自組織結(jié)構(gòu)出發(fā)，認(rèn)為當(dāng)溫度梯度達(dá)到一臨界值時(shí)，靜止的液體出現(xiàn)了許多規(guī)則的六邊形，在元包中心液體向上運(yùn)動(dòng)，邊緣液體向下運(yùn)動(dòng)，這時(shí)液體內(nèi)分子出現(xiàn)宏觀有序組織［10－15］.

國(guó)內(nèi)學(xué)者利用貝納德對(duì)流現(xiàn)象的產(chǎn)生對(duì)地震進(jìn)行預(yù)測(cè)［7］，也有學(xué)者利用貝納德對(duì)流原理分析冰雹的產(chǎn)生和預(yù)測(cè)［8］取得了初步模型的成功.這些研究對(duì)從理論到實(shí)驗(yàn)的過(guò)度和跨越有一定參考價(jià)值.但定量上討論貝納德對(duì)流的穩(wěn)定性和產(chǎn)生條件等問(wèn)題則報(bào)道較少.本文在Boussinesq近似的基礎(chǔ)上，忽略貝納德對(duì)流擾動(dòng)方程二階和更高階的擾動(dòng)，建立速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)的擾動(dòng)方程，通過(guò)對(duì)變量的無(wú)量綱處理得到控制貝納德對(duì)流的超越方程，最后利用MATLAB對(duì)超越方程進(jìn)行求解，得到實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生貝納德對(duì)流現(xiàn)象的溫差參數(shù)，探討貝納德系統(tǒng)的產(chǎn)生機(jī)理.

1 貝納德對(duì)流的物理模型

如圖1所示，在直角坐標(biāo)系Oxy中，有一立方體腔體，格線表面分別是上下固定表面，用來(lái)保持一定的溫度梯度.周?chē)膫€(gè)面是絕熱面，與外界沒(méi)有任何熱傳遞.腔體中充滿液體.從下固定邊界加熱，上表面保持溫度不變.由于液體的上層溫度T2低于液體的下層溫度T1，下層液體受熱膨脹，密度減小，在浮力的作用下向上層運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)上層液體向下運(yùn)動(dòng)，由于液體具有粘性，這些運(yùn)動(dòng)會(huì)受到液體粘滯力的阻礙.當(dāng)溫差ΔT＝T1－T2較小的時(shí)候，由溫差產(chǎn)生的浮力不足以克服粘滯力的作用，液體靜止不動(dòng)，呈現(xiàn)典型的靜態(tài)熱傳導(dǎo)過(guò)程．當(dāng)下部繼續(xù)加熱，溫差ΔT大于某個(gè)值時(shí)，將出現(xiàn)一種平穩(wěn)的類似六角形的對(duì)流翻滾狀態(tài)，在六角形的中心流體向上運(yùn)動(dòng)，邊緣流體向下運(yùn)動(dòng).

圖1 貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.1 Experimental model for Benard convection

2 貝納德對(duì)流方程

2.1 溫度梯度

分析模型條件可以看出，立方體腔體內(nèi)溫度只沿z方向變化，是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，導(dǎo)熱過(guò)程可用導(dǎo)熱微分方程描述

根據(jù)假設(shè)簡(jiǎn)化成

邊界條件為z＝－1／2，T＝T1，z＝1／2，T＝T2．對(duì)上式積分帶入邊界條件得出沿z方向的溫度分布為

其中.β為溫度梯度，h為上下液層厚度.

2.2 流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

1）動(dòng)量守恒方程

其中，πij＝ρuiuj－σji為動(dòng)量通量張量，σij＝σji，為應(yīng)力張量［9］，f為單位質(zhì)量力，u為速度矢量，ρ為液體密度.

采用Boussinesq近似［10］密度ρ＝ρ0［1＋α（T1－T）］，其中：α為熱脹系數(shù)，T1為腔體下底板的溫度，T為Z方向上任一高度的溫度，ρ0為加熱時(shí)下底板的密度.

2）能量守恒方程

其中，e為單位質(zhì)量流體的內(nèi)能，de＝cVdT，cV為體積比熱容；σ：?u為兩個(gè)張量的雙點(diǎn)積；Q表示有輻射或化學(xué)能釋放等因素而產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)單位體積內(nèi)流體熱量的增量；q為熱通量向量，前面的負(fù)號(hào)表示熱量進(jìn)入系統(tǒng)，否則就是熱量從系統(tǒng)散失.

在不可壓縮和Boussinesq近似的條件下，能量守恒方程可改寫(xiě)為

其中，κ＝λ／（ρ0cV）為熱擴(kuò)散率，λ為導(dǎo)熱系數(shù).

考慮速度、溫度分布的擾動(dòng)，忽略擾動(dòng)的非線性項(xiàng)之后，以上兩動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為

其中，θ為溫度的擾動(dòng)變化量，ω為速度的擾動(dòng)變化量.

2.3 外場(chǎng)擾動(dòng)方程

通過(guò)前面的描述，必須用一套完整的模型去分析任意擾動(dòng)對(duì)貝納德穩(wěn)定性的影響.鑒于此，建立了二維周期波的擾動(dòng)函數(shù)模型［10］，如此，描述貝納德對(duì)流的擾動(dòng)就是依賴于x，y和時(shí)間t，擾動(dòng)的表達(dá)式

其中，k是擾動(dòng)的波數(shù)，p是一個(gè)常數(shù).

根據(jù)以上擾動(dòng)模型，我們不難建立速度場(chǎng)ω，溫度場(chǎng)θ對(duì)貝納德對(duì)流的擾動(dòng)函數(shù)表達(dá)式

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，設(shè)

將其代入方程（5）、（6），可得

為了討論問(wèn)題的方便，進(jìn)行無(wú)量綱化處理，令

其中，a表示波數(shù)，σ表示時(shí)間常數(shù).然后將其帶入方程（11）、（12）得

其中方程（15）右邊的gαβd3／（νκ）便是瑞利數(shù)R，即R＝gαβd3／（νκ）．

通過(guò)證明得，對(duì)于所有的正的瑞利數(shù)R，常數(shù)σ都是實(shí)數(shù)［10］，所以貝納德對(duì)流從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的發(fā)生肯定是通過(guò)一個(gè)定態(tài)產(chǎn)生的．因此，邊緣方程肯定是通過(guò)σ＝0產(chǎn)生的，于是將σ＝0帶入方程（13）、（14）可得

通過(guò)方程（16）、（17）分別消去Θ，W得

3 臨界方程

為求解建立的模型方程，須尋求合適的邊界條件.本文中，由于立方體腔體中上下表面都是固定表面而且對(duì)稱，為解決問(wèn)題的方便，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，此時(shí)液體在z＝±1／2之間.

圖2 時(shí)間常數(shù)隨波數(shù)變化的MATLAB曲線Fig.2 MATLAB curves of wave number changes with time constants

為解方程（18），根據(jù)實(shí)際情況建立以下邊界條件

通過(guò)觀察方程和z＝±1／2時(shí)，邊界條件的連等式，發(fā)現(xiàn)方程（18）的解應(yīng)該是兩個(gè)不相聯(lián)系的奇偶解，把方程（18）的解表示為

其中q0，q1，q2是關(guān)于波數(shù)a和時(shí)間常數(shù) 的表達(dá)式，即方程（25）是一個(gè)關(guān)于a和 的函數(shù)，又因?yàn)橥ㄟ^(guò)方程（22）得： ＝（R／a4）1／3，所以方程（25）是關(guān)于波數(shù)和瑞利數(shù)的一個(gè)函數(shù).通過(guò)MATLAB軟件［11］可求出R的臨界值RC≈1 700.

當(dāng)R＞RC時(shí)貝納德對(duì)流產(chǎn)生．根據(jù)方程（15）得出的瑞利數(shù)為R＝gαβd3／（νκ）．其中：g為重力加速度；α為熱膨脹系數(shù)；β為上下表面的溫差；ν為運(yùn)動(dòng)粘度；κ為熱擴(kuò)散系數(shù)．本文通過(guò)各物性參數(shù)［12］，計(jì)算得出了以下兩種液體作貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)所需要的溫差β.

表1 硅油貝納德實(shí)驗(yàn)的參數(shù)Table 1 Parameters of Benard experiments with silicone

表2 水貝納德實(shí)驗(yàn)的參數(shù)Table 2 Parameters of Benard experiments with water

表3 潤(rùn)滑油貝納德實(shí)驗(yàn)的參數(shù)Table 3 Parameters of Benard experiments with lubricating oil

4 結(jié)論

通過(guò)以上方程，得出了以下結(jié)論：

1）貝納德對(duì)流現(xiàn)象可以在Boussinesq假設(shè)的基礎(chǔ)上通過(guò)動(dòng)量守恒方程，內(nèi)能守恒方程來(lái)描述，外場(chǎng)對(duì)貝納德對(duì)流的擾動(dòng)能夠用二維周期波函數(shù)來(lái)建立.

2）貝納德對(duì)流從穩(wěn)定到發(fā)生對(duì)流的過(guò)度可通過(guò)臨界瑞利數(shù)來(lái)判斷.

3）以硅油、水和潤(rùn)滑油為例計(jì)算出在實(shí)驗(yàn)室完成貝納德實(shí)驗(yàn)需要的參數(shù).

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Temperature Conditions of Bénard Convection

QI Jingang，GAO Yong，ZHAO Zuofu，WANG Jiayi，LI Yang，WU Di，WANG Jianzhong
（School of Material Science and Engineering，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001，China）

Disturbance equations of velocity and temperature fields are built based on Boussinesq approximation，in which second order and higher-order disturbance of Bénard convection are ignored.Transcendental equations controlling Bénard convection are obtained with non-dimensional treatment of variables.Specific parameters of Bénard convection are obtained，which provide reference and guidance for Bénard convection experiments.

Bénard convection；disturbance；dissipative structure

date： 2013－12－24；Revised date： 2014－04－10

N34

A

2013－12－24；

2014－04－06

國(guó)家自然科學(xué)基金（51074087，51354001）；遼寧省自然科學(xué)基金（201102088）及遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長(zhǎng)計(jì)劃（LJQ2011065）資助項(xiàng)目

齊錦剛（1973－），男，博士，教授，研究方向?yàn)橐苯鹑垠w科學(xué)，E-mail：qijingang1974＠sina.com

1001-246X（2014）06-0675-06