基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)

安海崗

（石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院管理科學(xué)與工程學(xué)院，石家莊 050031）

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)

安海崗

（石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院管理科學(xué)與工程學(xué)院，石家莊 050031）

選擇倫敦金與Au9999下午收盤價(jià)格作為樣本數(shù)據(jù)研究時(shí)間序列雙變量之間的聯(lián)動(dòng)波動(dòng)規(guī)律.依據(jù)粗?；椒?，將倫敦金與Au9999價(jià)格的聯(lián)動(dòng)波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)化為由5個(gè)｛P，N，M｝字符組成的字符串，每個(gè)字符串代表5天的價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài).將模態(tài)作為節(jié)點(diǎn)，模態(tài)之間的轉(zhuǎn)化為邊，構(gòu)建價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)的統(tǒng)計(jì)、變化規(guī)律和演化機(jī)制進(jìn)行分析.結(jié)果表明：時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)分布具有冪律性、群簇性和周期性，其聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)主要通過(guò)少數(shù)幾種模態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)換與演化.本方法不僅可以研究不同類型時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)，同時(shí)可為多變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)研究提供思路.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；粗?；?；聯(lián)動(dòng)波動(dòng)；時(shí)間序列

0 引言

時(shí)間序列數(shù)據(jù)是一種動(dòng)態(tài)的高維數(shù)據(jù)，與靜態(tài)數(shù)據(jù)不同之處在于它是隨著時(shí)間的改變而發(fā)生變化.在金融、經(jīng)濟(jì)及工程管理等眾多領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘與分析能夠?yàn)楣芾碚咛峁┰S多有價(jià)值的商業(yè)信息，為管理決策制定提供參考［1］.挖掘時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的各種動(dòng)態(tài)特征及發(fā)展演化規(guī)律，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析方法，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，是一種科學(xué)研究的創(chuàng)新性思維.時(shí)間序列數(shù)據(jù)是一種歷史數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可預(yù)測(cè)其未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)，即時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)測(cè).

時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)包括單變量預(yù)測(cè)和多變量預(yù)測(cè)兩種.在目前單變量時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法中，常用的有移動(dòng)平均與分解方法［2］、指數(shù)平滑方法［3］、Box-Jenkins方法［4］、ARARMA模型［5］、Pandit-Wu方法［6］、干預(yù)分析模型［7］、狀態(tài)空間模型及Bayesi-an預(yù)測(cè)方法［8］等.倫敦金與Au9999現(xiàn)貨黃金價(jià)格屬于時(shí)間序列雙變量，對(duì)時(shí)間序列雙變量之間關(guān)系進(jìn)行研究的傳統(tǒng)方法主要側(cè)重于探究它們之間的均衡關(guān)系，包括自回歸模型［9］、協(xié)整檢驗(yàn)及誤差修正模型、方差分析［10］、數(shù)據(jù)挖掘［11］、多元統(tǒng)計(jì)［12］、協(xié)同理論［13］等.倫敦金與Au9999每天都在發(fā)生著變化，兩種價(jià)格的聯(lián)動(dòng)性也隨之發(fā)生著改變，它們之間的聯(lián)動(dòng)關(guān)系是一個(gè)非線性的、動(dòng)態(tài)變化的復(fù)雜系統(tǒng).現(xiàn)有的傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的方法很難揭示關(guān)系的波動(dòng)機(jī)理，而物理經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的研究為我們提供了一些新的思路和方法.對(duì)于此類問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者將粗?；椒ㄅc復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合起來(lái)進(jìn)行了一些研究，包括對(duì)我國(guó)溫度波動(dòng)模態(tài)的分析［14］、國(guó)際原油價(jià)格波動(dòng)的分析［15］、國(guó)際原油與國(guó)內(nèi)原油價(jià)格波動(dòng)關(guān)系的研究［16］等.

黃金具有貨幣和商品的雙重屬性，是各國(guó)外匯儲(chǔ)備的重要組成部分，具有良好的流通性和不可替代的保值與避險(xiǎn)功能，一直受到各國(guó)政府的重視.近些年來(lái)，由于中國(guó)黃金市場(chǎng)的發(fā)展和中國(guó)影響力的不斷增大，中國(guó)黃金市場(chǎng)正日益受到國(guó)際社會(huì)的關(guān)注，在國(guó)際黃金市場(chǎng)上的影響力也在逐年提高，但中國(guó)黃金市場(chǎng)在國(guó)際黃金定價(jià)中的影響力究竟有多大，與國(guó)際黃金市場(chǎng)之間存在怎樣的聯(lián)系以及這種聯(lián)系的動(dòng)態(tài)特征，是多數(shù)投資人與管理者關(guān)注的問(wèn)題.

由以上研究可知，國(guó)際倫敦金與我國(guó)的Au9999黃金現(xiàn)貨價(jià)格的時(shí)間序列雙變量之間存在聯(lián)動(dòng)性，通過(guò)傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)方法可以將雙變量之間的關(guān)系表示出來(lái)，但是對(duì)于雙變量之間是如何聯(lián)動(dòng)波動(dòng)的，以及內(nèi)在的變化規(guī)律和演化機(jī)理卻無(wú)法描述.要解決該問(wèn)題可以借鑒統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法，將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與粗?；椒☉?yīng)用于其聯(lián)動(dòng)波動(dòng)的研究中來(lái).本文運(yùn)用粗?；椒▽惗亟鹋cAu9999黃金現(xiàn)貨價(jià)格的聯(lián)動(dòng)波動(dòng)關(guān)系轉(zhuǎn)換為聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)，以時(shí)間順序關(guān)系為邊構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)其聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，進(jìn)而研究其內(nèi)在的變化規(guī)律和演化機(jī)理.

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)

本文的研究需選擇兩個(gè)時(shí)間序列單變量作為研究對(duì)象，且此變量應(yīng)具有一定代表性，因此選擇上海黃金交易所Au9999黃金現(xiàn)貨收盤價(jià)與倫敦標(biāo)準(zhǔn)黃金現(xiàn)貨的下午定盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù).上海黃金交易所黃金現(xiàn)貨價(jià)格是我國(guó)黃金現(xiàn)貨價(jià)格的晴雨表，倫敦標(biāo)準(zhǔn)金代表國(guó)際黃金現(xiàn)貨的黃金價(jià)格.倫敦標(biāo)準(zhǔn)黃金現(xiàn)貨為純度不低于99.5%的標(biāo)準(zhǔn)金塊，而上海黃金交易所的Au9999為純度在99.99%以上的Au9999金，是上海黃金交易所交易時(shí)間最長(zhǎng)且交易量較大的一種黃金現(xiàn)貨，二者在品質(zhì)上具有一致性［17］.

選取2003年1月1日到2013年9月6日之間的黃金價(jià)格數(shù)據(jù).由于國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)節(jié)假日不同，為使數(shù)據(jù)保持一致，刪除所有的不匹配數(shù)據(jù)，得到配對(duì)數(shù)據(jù)2553個(gè).由于上海黃金交易所黃金報(bào)價(jià)單位為人民幣元／克，倫敦黃金報(bào)價(jià)單位為美元／盎司，因此需對(duì)Au9999現(xiàn)貨價(jià)格進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，其中1盎司＝31.103 5克，匯率采用國(guó)家外匯管理局網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)中提供的人民幣基準(zhǔn)匯價(jià).

1.2 數(shù)據(jù)粗粒化處理

選取倫敦標(biāo)準(zhǔn)黃金現(xiàn)貨與AU9999的下午定盤價(jià)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，對(duì)于此類經(jīng)濟(jì)金融學(xué)數(shù)據(jù)，價(jià)格波動(dòng)扮演著十分重要的角色.

設(shè)AUt為第t天的Au9999現(xiàn)貨價(jià)格，LDt為第t天的倫敦標(biāo)準(zhǔn)金現(xiàn)貨價(jià)格，AUt－1和LDt－1為第t－1天的Au9999與倫敦金價(jià)格，則ΔAU＝AUt-AUt－1，ΔLD＝LDt-LDt－1．當(dāng)ΔAU×ΔLD＞0時(shí)，表示兩者之間具有同向聯(lián)動(dòng)性；當(dāng)ΔAU×ΔLD＜0時(shí)，表示兩者之間具有異向聯(lián)動(dòng)性；當(dāng)ΔAU×ΔLD＝0時(shí)，表示兩者之間價(jià)格沒(méi)有聯(lián)動(dòng)性［18］.

為了更有效地分析它們之間的聯(lián)動(dòng)性，所選擇的模態(tài)符號(hào)應(yīng)越少越好.因此，設(shè)兩個(gè)價(jià)格之間的聯(lián)動(dòng)性為符號(hào)CLi，即ΔAU×ΔLD

由此，可將雙變量之間聯(lián)動(dòng)波動(dòng)情況用連續(xù)的符號(hào)序列來(lái)表示，使得對(duì)粗?；姆?hào)序列等同于對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的研究.轉(zhuǎn)化后相應(yīng)的符號(hào)序列CLt為

在對(duì)2 521－1個(gè)聯(lián)動(dòng)波動(dòng)符號(hào)化后，將得到同樣數(shù)量的抽象符號(hào)序列CLi＝（CL1，CL2，CL3，CL4，CL5，…，CLn）（n＝2 520）．同樣以5個(gè)聯(lián)動(dòng)波動(dòng)符號(hào)作為一個(gè)符號(hào)序列，以1天為步長(zhǎng)作數(shù)據(jù)滑動(dòng)，由此將得到2 516個(gè)價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài).例如本文所構(gòu)建的黃金價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)符號(hào)序列為：｛MPPMPMMPMPPMMPPNP PPPPPPPPMMP…｝對(duì)此字符串做數(shù)據(jù)滑窗，形成的模態(tài)集合｛MPPMP，PPMPM，PMPMM，MPMMP，PMMPM，MMPMP，MPMPP，PMPPM，MPPMM，PPMMP，PMMPP，MMPPN，MPPNP，PPNPP，PNPPP，NPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPP，PPPPM，PPPMM，PPMMP，…｝.由于模態(tài)形成過(guò)程是通過(guò)數(shù)據(jù)滑動(dòng)的形式實(shí)現(xiàn)的，因此后一個(gè)模態(tài)的形成以前一個(gè)模態(tài)為基礎(chǔ)，模態(tài)之間具有了傳遞性與有向性，便于模態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建.整體數(shù)據(jù)滑動(dòng)及模態(tài)形成過(guò)程如表1所示.

1.3 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析方法

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析方法主要用來(lái)解釋系統(tǒng)中各個(gè)要素（即各個(gè)模態(tài)）之間的分布特征及相互關(guān)系，所以應(yīng)首先構(gòu)建時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)與邊構(gòu)成，本文構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)以時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)為節(jié)點(diǎn)，模態(tài)之間的有向轉(zhuǎn)換為邊，由此構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).雙變量時(shí)間序列聯(lián)動(dòng)波動(dòng)是一個(gè)有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，模態(tài)間轉(zhuǎn)換的次數(shù)為此有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重.

表1 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)粗?；幚磉^(guò)程Table 1 Coarse-grained process of linkage fluctuation

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包括許多統(tǒng)計(jì)參數(shù)，如度、點(diǎn)強(qiáng)度、平均最短路徑、中心性、加權(quán)集聚系數(shù)、小團(tuán)體及結(jié)構(gòu)洞等.通過(guò)對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行分析可對(duì)時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)情況、變化規(guī)律與演化機(jī)理有所掌握，可對(duì)其未來(lái)演變趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，為規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)投資提供決策與建議.

1）聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)統(tǒng)計(jì)規(guī)律是對(duì)聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)間復(fù)雜關(guān)系的統(tǒng)計(jì).本文所構(gòu)建的倫敦金與Au9999時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)屬有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，與無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)不同，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的邊帶有權(quán)重，因此采用點(diǎn)強(qiáng)度的概念，點(diǎn)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)的度.點(diǎn)強(qiáng)度是該節(jié)點(diǎn)在此網(wǎng)絡(luò)中重要性的體現(xiàn)，它不僅考慮與該節(jié)點(diǎn)連接的所有近鄰，而且還考慮鄰近節(jié)點(diǎn)與其之間關(guān)聯(lián)的緊密，即它們之間的權(quán)重.點(diǎn)強(qiáng)度的定義為［19］

式（1）中，Ni為與節(jié)點(diǎn)i相連接的由節(jié)點(diǎn)i指向的所有近鄰節(jié)點(diǎn)的集合，Wij為節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的權(quán)重.點(diǎn)強(qiáng)度越大，表明該模態(tài)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的地位越重要，該模態(tài)向其他模態(tài)轉(zhuǎn)換的次數(shù)越多.

不同節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)強(qiáng)度不一樣，強(qiáng)度分布存在差異性，本文將時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)強(qiáng)度分布定義為

式（2）中ki代表節(jié)點(diǎn)i的點(diǎn)強(qiáng)度，N代表所有節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的和.

時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的點(diǎn)強(qiáng)度及強(qiáng)度分布描述了雙變量之間聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)及其之間的關(guān)聯(lián)程度.節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)強(qiáng)度及強(qiáng)度分布越大表明當(dāng)前模態(tài)向其他模態(tài)轉(zhuǎn)換的次數(shù)越多，在網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的概率也就越大，此模態(tài)也就越重要.

2）聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)的變化規(guī)律

聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)變化規(guī)律主要用來(lái)研究那些模態(tài)在網(wǎng)絡(luò)中處于重要位置，這些模態(tài)之間怎樣轉(zhuǎn)換，模態(tài)轉(zhuǎn)換中的核心模態(tài)有那些，那些節(jié)點(diǎn)控制著網(wǎng)絡(luò)的交往能力，在網(wǎng)絡(luò)中存在多少個(gè)網(wǎng)絡(luò)子群.

對(duì)子群進(jìn)行分析時(shí)可主要采用n-Cliques方法和k-Plex方法.n-Cliques方法主要對(duì)網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性進(jìn)行分析，k-Plex方法是基于節(jié)點(diǎn)度基礎(chǔ)上子群的一種分析方法.對(duì)于一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖來(lái)說(shuō)，如果存在這樣一個(gè)子圖，則可稱它為n－派系：在網(wǎng)絡(luò)子圖中，該子圖中的任何兩點(diǎn)之間的最短距離不超過(guò)n［20］.令d（i，j）代表節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的距離，則d（i，j）≤n，將滿足該條件的所有節(jié)點(diǎn)組成的子圖即為n-Cliques.k-Plex即滿足以下條件的凝集子群：假如子群中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，子群中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都至少與n-k個(gè)節(jié)點(diǎn)直接有邊相連，即該子群中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)度數(shù)都大于或等于n-k［21］.

運(yùn)用n-Cliques方法和k-Plex方法可對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的凝集子群進(jìn)行分析，可以解決該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中那些模態(tài)存在著較多的相互轉(zhuǎn)換，但是對(duì)于模態(tài)轉(zhuǎn)換中的核心模態(tài)及不同模態(tài)的重要性進(jìn)行挖掘還需要對(duì)其集聚系數(shù)進(jìn)行研究.加權(quán)聚集系數(shù)為有向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)近鄰之間聚集性質(zhì)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)，聚集系數(shù)越高，表示近鄰之間的關(guān)聯(lián)程度越緊密，反之越松散.倫敦金與Au9999聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)就屬于加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，權(quán)重表示兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間關(guān)系的緊密程度，權(quán)重越大，關(guān)系越緊密.本文將加權(quán)聚集系數(shù)定義為［22］

式（3）中，wij代表節(jié)點(diǎn)（i，j）邊的權(quán)重，ki代表節(jié)點(diǎn)i的點(diǎn)強(qiáng)度，Si代表節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)．a(chǎn)ijajkaki代表三個(gè)節(jié)點(diǎn)之間是否相互有關(guān)聯(lián)，值為0表示它們之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)，值1表示它們之間有邊相關(guān)聯(lián)，如果三者之間均有關(guān)聯(lián)，表示它們構(gòu)成一個(gè)三角形.加權(quán)聚集系數(shù)值越高，代表該模態(tài)在子群中位置越重要，該模態(tài)與其他模態(tài)轉(zhuǎn)換越頻繁越緊密.

3）聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)的演化規(guī)律

聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)演化規(guī)律主要研究不同模態(tài)隨時(shí)間演化情況，聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)是通過(guò)哪些模態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，轉(zhuǎn)化周期是多少.聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)演化規(guī)律可借助中介中心性和平均路徑長(zhǎng)度來(lái)統(tǒng)計(jì)分析.

對(duì)于節(jié)點(diǎn)控制能力的分析，可對(duì)網(wǎng)絡(luò)的中介中心性進(jìn)行分析.節(jié)點(diǎn)中介中心性wk的定義如下：設(shè)c（i，j）是節(jié)點(diǎn)i與j之間所有最短路徑的總數(shù)，路徑的長(zhǎng)度就是路徑通過(guò)的各條邊的權(quán)重，這些路徑中通過(guò)中間節(jié)點(diǎn)k的路徑數(shù)為ck，則節(jié)點(diǎn)k的中介中心性測(cè)度wk為所有節(jié)點(diǎn)對(duì)wk（i，j）的和［23］.

假如兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的距離為dij（即任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接所要經(jīng)過(guò)的連邊數(shù)），網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度定義為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離的平均值.在有向網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度定義為：其中N為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)目.

2 結(jié)果及分析

2.1 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)統(tǒng)計(jì)規(guī)律

本文對(duì)雙時(shí)間序列雙變量倫敦金與Au9999下午定盤價(jià)聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)點(diǎn)強(qiáng)度及強(qiáng)度分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)計(jì)算，對(duì)其模態(tài)作了粗?；幚恚玫搅寺?lián)動(dòng)波動(dòng)的符號(hào)序列.由此符號(hào)序列組成的聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)理論上存在35＝243種，但是實(shí)際只出現(xiàn)了106個(gè)，其它模態(tài)并沒(méi)有出現(xiàn).對(duì)符號(hào)序列中不同符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，發(fā)現(xiàn)代表正向聯(lián)動(dòng)波動(dòng)的符號(hào)P出現(xiàn)了1 668次，占比66%，代表異向聯(lián)動(dòng)波動(dòng)的符號(hào)M出現(xiàn)了819次，占比32%，代表無(wú)聯(lián)動(dòng)波動(dòng)的符號(hào)N僅出現(xiàn)了45次，占比僅2%.這說(shuō)明在2003年到2013年間，倫敦金與Au9999價(jià)格聯(lián)動(dòng)性較強(qiáng)，這與事實(shí)一致，結(jié)果如圖1所示.

對(duì)雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度及強(qiáng)度分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，結(jié)果如表2所示.

圖1 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)符號(hào)出現(xiàn)次數(shù)比重Fig.1 Proportion of P，M，N

由表2可知，代表倫敦金與Au9999連續(xù)5天同向聯(lián)動(dòng)的字符PPPPP點(diǎn)強(qiáng)度為336，代表連續(xù)5天異向聯(lián)動(dòng)的字符MMMMM點(diǎn)強(qiáng)度為17，這說(shuō)明在這十年多內(nèi)，倫敦金與Au9999連續(xù)5天同向變化共出現(xiàn)了336次，而連續(xù)5天異向變化出現(xiàn)次數(shù)較少，只有17次，倫敦金與Au9999價(jià)格同向聯(lián)動(dòng)性較強(qiáng).在點(diǎn)強(qiáng)度最高的32個(gè)節(jié)點(diǎn)中，字符“N”出現(xiàn)次數(shù)為零次，這表明在近10年的黃金現(xiàn)貨市場(chǎng)中，黃金現(xiàn)貨價(jià)格波動(dòng)激烈，兩者之間連動(dòng)性較強(qiáng).兩者之間的聯(lián)動(dòng)方向性，可通過(guò)對(duì)加權(quán)次數(shù)M的計(jì)算來(lái)獲得.M可定義為價(jià)格波動(dòng)符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)與該節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)度分布（即加權(quán)次數(shù)的權(quán)重）的乘積.

在節(jié)點(diǎn)度數(shù)最高的32個(gè)節(jié)點(diǎn)中，其聯(lián)動(dòng)性符號(hào)組合加權(quán)次數(shù)如表3所示.由表3可知，隨著同向與反向符號(hào)數(shù)量的增多，同向符號(hào)組合除以反向符號(hào)組合的數(shù)值越來(lái)越大，這表明在黃金現(xiàn)貨聯(lián)動(dòng)波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，隨著時(shí)間的逐步推移，同向聯(lián)動(dòng)性出現(xiàn)的比率越來(lái)越多，價(jià)格同增或同長(zhǎng)頻率越來(lái)越高.

在106個(gè)節(jié)點(diǎn)中，點(diǎn)強(qiáng)度排名前32的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布占比92.15%，這32個(gè)模態(tài)向其他模態(tài)轉(zhuǎn)變、或者其他模態(tài)向此32個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換概率相對(duì)較高.節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布在0.2%以下的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為63，這些節(jié)點(diǎn)在此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)概率較小.

時(shí)間序列雙變量倫敦金與Au9999價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度k與累積強(qiáng)度LP（k）分布關(guān)系如圖2所示.

對(duì)聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)強(qiáng)度由高到低排序可得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的排序名詞，并計(jì)算點(diǎn)強(qiáng)度與排序名詞的對(duì)數(shù)，得到線性回歸方程Y＝－1.751 8＋3.528，回歸系數(shù)為0.901，發(fā)現(xiàn)它們整體上也服從冪律分布，結(jié)果如圖3所示.

表2 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)點(diǎn)強(qiáng)度及強(qiáng)度分布Table 2 Strength degrees and distribution of nodes of a linkage fluctuation complex network

表3 前32個(gè)模態(tài)聯(lián)動(dòng)性符號(hào)組合加權(quán)次數(shù)Table 3 Weighted counts of linkage fluctuation combination symbols of former 32 nodes

圖2 （a）點(diǎn)強(qiáng)度與累積強(qiáng)度分布；（b）點(diǎn)強(qiáng)度與累積強(qiáng)度分布雙對(duì)數(shù)關(guān)系Fig.2 （a）Distribution of strength degree and accumulation strength degree；（b）Double logarithm distribution of strength degree and accumulation strength degree

由以上分析可知，時(shí)間序列雙變量倫敦金與Au9999收盤價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)強(qiáng)度與強(qiáng)度分布、排序名詞均服從冪律分布，且同向聯(lián)動(dòng)性趨勢(shì)較強(qiáng).說(shuō)明我國(guó)黃金現(xiàn)貨價(jià)格Au9999受到倫敦金價(jià)格的影響，且基本保持同步.但是二者之間并非完全同步，表明我國(guó)在制定黃金現(xiàn)貨價(jià)格時(shí)，并不是完全與國(guó)際價(jià)格一致，而是根據(jù)我國(guó)政治經(jīng)濟(jì)環(huán)境作適當(dāng)調(diào)整.

圖3 （a）點(diǎn)強(qiáng)度與排序名次分布；（b）點(diǎn)強(qiáng)度與排序名詞雙對(duì)數(shù)關(guān)系Fig.3 （a）Distribution of strength degree and its ranking；（b）Double logarithm distribution of strength degree and its ranking

2.2 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)變化規(guī)律研究

運(yùn)用n-Cliques對(duì)倫敦金與Au9999價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，當(dāng)n＝2，節(jié)點(diǎn)規(guī)模為7時(shí)，存在11個(gè)子群；當(dāng)n＝2，節(jié)點(diǎn)規(guī)模為8時(shí)候，存在2個(gè)子群，結(jié)果如表4所示.

表4 n-Cliques方法聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)子群集合Table 4 Clusters of a linkage fluctuation complex network based on n-Cliques

表4中，13個(gè)子群中模態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換最多不超過(guò)2步，當(dāng)某一模態(tài)屬于一子群時(shí)，此模態(tài)轉(zhuǎn)化為同一子群內(nèi)其他模態(tài)概率較大.13個(gè)子群根據(jù)其模態(tài)可分為二類：1－11號(hào)子群中，符號(hào)P和M出現(xiàn)次數(shù)相當(dāng)，價(jià)格正向聯(lián)動(dòng)與異向聯(lián)動(dòng)相互轉(zhuǎn)換頻率較高；12－13號(hào)子群中，符號(hào)M出現(xiàn)次數(shù)較多，在這兩個(gè)子群中，持續(xù)的異向聯(lián)動(dòng)波動(dòng)相互轉(zhuǎn)換概率較大.在某些子群中，價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)以同向?yàn)橹?，但黃金現(xiàn)貨市場(chǎng)有時(shí)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行微小調(diào)整，例如小團(tuán)體“NMPPP、MMPPP、MPPPP、PMPPP、PPPMM、PPPMP、PPPPM、PPPPP”中就存在9天的異向聯(lián)動(dòng).當(dāng)進(jìn)入小團(tuán)體模態(tài)時(shí)，價(jià)格聯(lián)動(dòng)變化遵循一定規(guī)律，能對(duì)黃金市場(chǎng)交易、風(fēng)險(xiǎn)投資及規(guī)避經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)提供決策參考.運(yùn)用k-Plex方法，當(dāng)k＝2，節(jié)點(diǎn)規(guī)模為4時(shí)，共存在33個(gè)子群，在這33個(gè)子群中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都至少與3個(gè)節(jié)點(diǎn)直接有邊相連，且向這些節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化較頻繁；當(dāng)k＝2，節(jié)點(diǎn)規(guī)模為5時(shí)，不存在子群.

通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的子群進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析有助于掌握聯(lián)動(dòng)波動(dòng)變化過(guò)程中那些模態(tài)變化較為頻繁和迅速.但是要挖掘核心模態(tài)及不同模態(tài)在轉(zhuǎn)換過(guò)程中的重要性，還需要對(duì)此網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)進(jìn)行分析.

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中僅有14個(gè)模態(tài)的加權(quán)集聚系數(shù)不為零，前7個(gè)節(jié)點(diǎn)占比86%，即這14個(gè)模態(tài)的近鄰節(jié)點(diǎn)之間有關(guān)聯(lián)，形成了以這些模態(tài)為核心的14個(gè)小群簇（見表5）.在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，若節(jié)點(diǎn)的聚集系數(shù)較高，度值也較高，則說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中具有一定的主導(dǎo)地位.建立節(jié)點(diǎn)加權(quán)聚集系數(shù)與點(diǎn)強(qiáng)度的分布發(fā)現(xiàn)，兩者之間并沒(méi)有表現(xiàn)出良好的相關(guān)性，時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出較高的復(fù)雜性，如圖4所示.

表5 各模態(tài)及其加權(quán)聚集系數(shù)Table 5 All models and their weighted clustering coefficients

圖4 節(jié)點(diǎn)加權(quán)聚集系數(shù)與點(diǎn)強(qiáng)度分布Fig.4 Distribution of weighted clustering coefficients and strength degrees

2.3 聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)的演化規(guī)律

通過(guò)對(duì)此網(wǎng)絡(luò)的中介中心性進(jìn)行計(jì)算發(fā)現(xiàn)模態(tài)MPPPM、PPPMP、PPPPM、PPPMM、MMPPP、PPMPN中介中心性較高，其中MPPPM為組群1、2、8、9的核心模態(tài)，PPPMP為組群1－7的核心模態(tài).研究節(jié)點(diǎn)中介性與節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度發(fā)現(xiàn)，某些點(diǎn)強(qiáng)度較高的節(jié)點(diǎn)（如PPPPP）中介中心性很弱，某些點(diǎn)強(qiáng)度較低的節(jié)點(diǎn)（如PPMPN或NPPPP）反而充當(dāng)著網(wǎng)絡(luò)中重要的中介功能.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)如PPMPN或NPPPP節(jié)點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明該時(shí)期為倫敦金與Au9999價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)的過(guò)渡時(shí)期，從而可以對(duì)下一時(shí)期的波動(dòng)狀態(tài)做出預(yù)測(cè).

對(duì)節(jié)點(diǎn)的中介中心性與等級(jí)數(shù)取雙對(duì)數(shù)，結(jié)果如圖5所示.由圖5可知，雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，等級(jí)數(shù)與中心性呈冪律關(guān)系.

通過(guò)對(duì)時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)中介性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)此網(wǎng)絡(luò)中某些節(jié)點(diǎn)的中介性較高，這意味著網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換經(jīng)過(guò)這些節(jié)點(diǎn)中轉(zhuǎn)的可能性較大，這些節(jié)點(diǎn)對(duì)控制其他節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換具有重要意義，它們?cè)谝欢ǔ潭壬峡梢宰鳛槁?lián)動(dòng)波動(dòng)模特之間轉(zhuǎn)換的前兆，對(duì)其進(jìn)行研究將有利于更好的把握黃金價(jià)格變化的規(guī)律性，為規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)提供決策支持.

時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)此網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度為7.670，網(wǎng)絡(luò)基于距離的聚類系數(shù)為0.166（范圍從0到1，值越小代表集聚性越弱），加權(quán)距離為0.833.結(jié)合加權(quán)聚集系數(shù)分析結(jié)果可知，在10個(gè)小族群中，模態(tài)之間轉(zhuǎn)化不需要經(jīng)過(guò)多次路徑，而在這10個(gè)族群之外的其他模態(tài)節(jié)點(diǎn)之間平均轉(zhuǎn)換周期為7.7.

此網(wǎng)絡(luò)基于距離的聚類系數(shù)為0.166，接近于0，這表明此網(wǎng)絡(luò)聚集性很弱，盡管此網(wǎng)絡(luò)中存在10個(gè)小族群，但每個(gè)族群中模態(tài)數(shù)量較少，并且族群間關(guān)聯(lián)性也較弱.例如，節(jié)點(diǎn)PPPPP與MMMMM聚集系數(shù)相對(duì)較高，但此兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間如要進(jìn)行轉(zhuǎn)換至少需要5步（PPPPP→PPPPM→PPPMM→PPMMM→PMMMM→

圖5 等級(jí)數(shù)與中介中心性雙對(duì)數(shù)Fig.5 Distribution of betweenness centrality and ranking

MMMMM），如圖6所示.

圖6 模態(tài)PPPPP與MMMMM轉(zhuǎn)換過(guò)程示意圖Fig.6 Transformation process of PPPPP and MMMMM

3 結(jié)論

時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)是一個(gè)非線性、非穩(wěn)定的復(fù)雜系統(tǒng).現(xiàn)有的傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的方法很難揭示其波動(dòng)機(jī)理，而物理經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的研究為我們提供了一些新的思路和方法.對(duì)于此類問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常根據(jù)一定的規(guī)則將單時(shí)間序列變量波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)化為特定的符號(hào)，運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)其波動(dòng)狀態(tài)（即變量的升與降）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，但是對(duì)雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài)變動(dòng)及內(nèi)在演化機(jī)理卻沒(méi)有涉及.

選擇時(shí)間序列雙變量倫敦金與Au9999價(jià)格作為樣本數(shù)據(jù)，對(duì)其聯(lián)動(dòng)波動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行粗?；?，步長(zhǎng)為1天作數(shù)據(jù)滑動(dòng)，構(gòu)建連續(xù)五天的價(jià)格聯(lián)動(dòng)波動(dòng)模態(tài).借鑒復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，構(gòu)建時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，通過(guò)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行分析，對(duì)其模態(tài)分布規(guī)律、變化規(guī)律和演化機(jī)理進(jìn)行了研究.

由于時(shí)間序列雙變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)是一個(gè)非線性的、動(dòng)態(tài)變化的復(fù)雜系統(tǒng)，常受到國(guó)際政治經(jīng)濟(jì)環(huán)境及其他因素的影響，且現(xiàn)實(shí)社會(huì)中存在不同的時(shí)間序列變量，其聯(lián)動(dòng)波動(dòng)具有不同的分布特征和演化機(jī)理.下一步將收集更多的數(shù)據(jù)，對(duì)時(shí)間序列雙變量影響因素及不同類型變量聯(lián)動(dòng)波動(dòng)進(jìn)行研究.

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Linkage Fluctuation in Double Variables of Time Series Based on Complex Networks

AN haigang
（Management Science and Engineering，Shijiazhuang University of Economics，Shijiazhuang 050031，China）

To study linkage fluctuation of double variables of time series，we took London Gold and Au9999.Model of linkage fluctuation is consisted of characters｛P，N，M｝，using coarse graining process.Nodes of complex network are 5-symbol strings.Linkage fluctuation complex network is composed of all models and link edges between them.It indicates that models have power-law distribution，clustering and periodicity.Transmission and evolution are finished mainly by few models.It provides an analyzing method for many kinds of double variables of time series and ideas for general law of multi-variables of time series，as well.

complex networks；coarse-grained；linkage fluctuation；time series

date： 2013－11－25；Revised date： 2014－04－02

N945.2

A

2013－11－25；

2014－04－02

國(guó)家自然科學(xué)基金（71173199）、國(guó)土資源部資源環(huán)境承載力評(píng)價(jià)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室和河北省重點(diǎn)學(xué)科技術(shù)經(jīng)濟(jì)及管理聯(lián)合資助作者簡(jiǎn)介：安海崗（1980－），男，博士，從事復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜項(xiàng)目管理研究，E-mail：anhaigang＠163.com

1001-246X（2014）06-0742-09