張 穎，張學(xué)良，姜 來(lái)，溫淑花，陳永會(huì)，蘭國(guó)生，劉麗琴(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

據(jù)美國(guó)材料試驗(yàn)學(xué)會(huì)ASTM的分析報(bào)告指出，全世界約有40%以上的各類(lèi)能源被摩擦消耗掉，摩擦?xí)鹨幌盗械奈锢砗突瘜W(xué)變化，產(chǎn)生熱、噪音、振動(dòng)、污染，甚至?xí)l(fā)危險(xiǎn)。研究和預(yù)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)的摩擦同樣是非常重要的。而靜摩擦因數(shù)是研究中摩擦的一個(gè)十分重要的參數(shù)。因此，關(guān)于結(jié)合面靜摩擦因數(shù)的研究具有十分重要的意義。Chang等[1]人基于經(jīng)典的G-W接觸模型[2]，通過(guò)考慮彈性接觸點(diǎn)承受的切向載荷的能力，提出了金屬表面間的靜摩擦因數(shù)計(jì)算模型。Kogut和Etsion通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)合面彈-塑性接觸點(diǎn)同樣具有承受切向載荷的能力，如果僅僅考慮彈性接觸點(diǎn)承受切向載荷的靜摩擦模型，顯然對(duì)靜摩擦因數(shù)的預(yù)測(cè)是不精確的。同時(shí)以上的研究都是建立在二維分形模型基礎(chǔ)上的。應(yīng)用二維的分形模型計(jì)算三維粗糙表面的接觸特性，存在著理論上的不合理性[3]。鑒于此，文獻(xiàn)[4]提出了一種基于三維接觸分形理論的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)模型，但該模型沒(méi)有考慮彈-塑性變形階段對(duì)靜摩擦因數(shù)的影響。

本文基于三維接觸分形理論及文獻(xiàn)[5]的彈塑性變形機(jī)制，綜合考慮結(jié)合面微凸體的三種變形機(jī)制，從而建立了一種考慮彈-塑性變形的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)三維分形模型，并進(jìn)行了仿真計(jì)算分析。

1 結(jié)合面三維分形接觸模型

1.1 結(jié)合面三維建模

結(jié)合面實(shí)質(zhì)就是兩個(gè)粗糙表面的接觸，在研究的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化通常將結(jié)合面的接觸表示為一個(gè)剛性平面與一個(gè)粗糙平面的接觸。當(dāng)結(jié)合面受到擠壓，微凸體將發(fā)生變形時(shí)，單個(gè)微凸體和剛性表面的彈性接觸如圖1所示。

結(jié)合面的復(fù)合彈性模量為:

式中，E*為兩接觸材料的復(fù)合彈性模量；E1、E2為兩接觸材料的彈性模量；v1、v2為兩接觸材料的泊松比。

在該模型中假設(shè)了微凸體的分布是各向同性的，

圖1 單個(gè)微凸體與剛性平面彈性接觸示意圖

微凸體之間的相互作用忽略不計(jì)，并且沒(méi)有宏觀的變形，變形過(guò)程只發(fā)生在微凸體上。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的研究結(jié)果可知，當(dāng)法向變形量δ處于不同范圍時(shí)，微凸體將發(fā)生完全彈性變形、彈-塑性變形及完全塑性變形。

單個(gè)微凸體的圓形接觸面積a、截?cái)嗝娣ea′和法向接觸載荷Pe，當(dāng)微凸體的變形在完全彈性變形階段時(shí)可以表示為:

(1)

ae=πRδ

(2)

其中下標(biāo)e表示發(fā)生彈性變形。

當(dāng)微凸體的變形在彈-塑性變形階段時(shí)，彈-塑性變形區(qū)域的范圍為δc≤δ≤110δc，并將彈-塑性區(qū)域進(jìn)一步劃分為兩個(gè)區(qū)域：彈-塑性變形第一區(qū)域(δc≤δ≤6δc)和彈-塑性變形第二區(qū)(6δc≤δ≤110δc).微凸體彈-塑性變形階段法向接觸載荷、接觸面積和變形量之間的關(guān)系為[5]:

(3)

(4)

(5)

(6)

式中下標(biāo)ep1、ep2分別表示發(fā)生彈-塑性第一區(qū)變形、彈-塑性第二區(qū)變形。

彈性臨界變形量δc為[5]:

(7)

當(dāng)微凸體的變形在完全塑性變形時(shí)，微凸體的變形量在δp>110δc范圍內(nèi)，微凸體在塑性變形階段的接觸面積和法向接觸載荷Pp可以表示為:

Pp=Hap

(8)

ap=a′

(9)

(10)

粗糙表面上的橫截微凸體大小分布函數(shù)為[3]:

(11)

結(jié)合面真實(shí)接觸面積Ar通過(guò)積分得到:

(12)

1.2 結(jié)合面法向載荷計(jì)算模型

微凸體的變形量δ是由W-M函數(shù)所決定的，其值取決于余弦函數(shù)的波峰和波谷的幅值，即[3]:

(13)

微凸體的變形量δ、微接觸點(diǎn)的截半徑r′、微凸體的曲率半徑R的幾何關(guān)系為:

(R-δ)2+(r′)2=R2

(14)

又因?yàn)棣?<2R，所以:

(15)

將式(13)代入式(15)得[3]：

(16)

結(jié)合面法向載荷與真實(shí)接觸面積之間的關(guān)系式為:

(17)

當(dāng)2

(18)

當(dāng)D=2.5時(shí)，

(19)

根據(jù)接觸點(diǎn)的實(shí)際接觸面積a與其截面積a′之間的關(guān)系a′=2a，有:

(20)

(21)

將式(20)、式(21)帶入式(18)、式(19)得：當(dāng)2

(22)

當(dāng)D=2.5時(shí)，

(23)

將式(22)、式(23)無(wú)量綱化，得：當(dāng)2

(24)

當(dāng)D=2.5時(shí)，

(25)

2 考慮彈塑性變形的靜摩擦因數(shù)三維分形模型

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可知，當(dāng)微凸體的接觸界面達(dá)到完全屈服時(shí)，結(jié)合面單個(gè)微凸體承受的切向載荷:

完全彈性區(qū)和彈-塑性一區(qū)的微凸體的接觸面積和接觸載荷分別為式(1)～式(4).因此完全彈性區(qū)和彈-塑性一區(qū)的微凸體的切向載荷分別為：

完全彈性區(qū)和彈-塑性一區(qū)的微凸體，在結(jié)合面處于臨界滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)，接觸界面都將達(dá)到完全屈服，所以此時(shí)微凸體所受到的切向的總載荷Q就是最大靜摩擦力[6]。

(26)

(27)

(28)

將式(20)、式(21)帶入式(26)得：

(29)

將式(27)、式(28)帶入式(29)得：當(dāng)2

(30)

當(dāng)D=2.5時(shí)，

(31)

將式(30)、式(31)無(wú)量綱化，得：

當(dāng)2

(32)

當(dāng)D=2.5時(shí)，

(33)

圖2 D對(duì)f的影響

靜摩擦因數(shù)的計(jì)算公式為：

(34)

將式(24)、式(25)、式(32)、式(33)帶入式(34)得結(jié)合面靜摩擦因數(shù)。

3 模型仿真

圖3 P*對(duì)f的影響(K=2.8,φ=1.0,G*=1.0×10-5)

圖4 G*對(duì)f的影響(K=2.8,φ=1.0)

圖5 忽略與包含彈塑性過(guò)渡變形機(jī)制的兩種模型仿真結(jié)果對(duì)比

由仿真結(jié)果可見(jiàn)

1)由圖2可知，結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著分形維數(shù)的增大，先增大再減小。

2)由圖3可知，結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著無(wú)量綱法向接觸總載荷P*的增大而增大，并且呈凸弧非線性關(guān)系。

3)由圖4可知，結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著無(wú)量綱分形特征長(zhǎng)度尺度參數(shù)G*的增大而減小。

文獻(xiàn)[4]中的靜摩擦因數(shù)三維分形模型與本文考慮彈-塑性變形機(jī)制的摩擦因數(shù)三維分形模型仿真結(jié)果對(duì)比如圖5所示。由圖5可以看出，忽略彈-塑性與包含彈-塑性模型仿真結(jié)果表明，靜摩擦因數(shù)都是隨著分形維數(shù)的增大，先增大然后減??；隨著無(wú)量綱法向總載荷的增大而增大。兩種模型的曲線走勢(shì)接近，但由于考慮了彈-塑性變形機(jī)制，摩擦因數(shù)的值均小于忽略彈-塑性的摩擦因數(shù)的值。

4 結(jié)論

(1)本文提出了一種基于三維分形理論，考慮彈-塑性過(guò)渡變形機(jī)制的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)三維分形模型，該模型可以用于進(jìn)行結(jié)合面靜摩擦因數(shù)的預(yù)測(cè)。

(2)結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著分形維數(shù)的增大，先增大后減??；隨著分形特征長(zhǎng)度尺度參數(shù)的增大而減?。浑S著法向總接觸載荷的增大而增大。

(3)考慮彈-塑性過(guò)渡變形機(jī)制的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)要小于不考慮彈-塑性變形機(jī)制的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)。

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