傅海明, 戴正德

(1.廣州華夏職業(yè)學(xué)院 教育學(xué)院, 廣州 510935; 2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 昆明 650091)

求解非線性波方程是一項(xiàng)很難而且很重要的研究,從而吸引了一大批勇于挑戰(zhàn)、不懈努力的學(xué)者尋找求解的方法.現(xiàn)有的主要方法有逆散射法[1], Backlund法[2], Darboux變換法[3], Hirota雙線性法[4-6], F-展開(kāi)法[7-8],齊次平衡法[9], Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[10],包絡(luò)變換法[11-12],ADM方法[13]和指數(shù)函數(shù)法[14]及雙指數(shù)函數(shù)法等.這些方法還不足以求解所有波方程,所以不少科學(xué)家們還在不斷深入研究當(dāng)中.

Hirota方法已經(jīng)研究較為成熟,三線性型的求解更為困難,本文借助新試探函數(shù),利用數(shù)學(xué)軟件 Matlab,求解了Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程

4uxt+uxxxy+8uxyux+4uyuxx=0

(1)

獲得了若干其他方法不曾給出的形式更為豐富的新的顯式周期孤立波解.不難看到該方法還是很高效的,也可以看出該方法適用于相當(dāng)一部分非線性方程.

1 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的三線性型

關(guān)于Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程，引入如下形式變換

u=(lnf)x

(2)

將式(2)代入方程(1),并整理化簡(jiǎn)化為如下三線性型形式:

(3)

2 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的三線性型

假設(shè)方程(3)有如下形式的解:

f(x,y,t)=e-ξ+aeξ+bcosη

(ξ=kx+hy+wt,η=px+qy+γt)

(4)

將式(4)代入方程(3),得到一個(gè)關(guān)于 的多項(xiàng)式,令其系數(shù)全為得到如下代數(shù)方程組:

ak2(w+4k2h)=0

(5)

b(-k2γ-2kwp-k4q-4k3hp+4p3kh+6p2qk2+p2γ-p4q)=0,

(6)

b(-4k3pq+k2w-p2w-2kpγ+k4h+p4h+4kp3q-6k2hp2)=0,

(7)

b2(-4khp3-p2γ+k2γ+2kpw+hp4+k4q+4k3hp-6k2hp2)=0,

(8)

2b2(-2kpγ-k2w-p2w-2k3pq+6kp3q+2hp4-2k2hp2)=0,

(9)

b2(-k2w-p2w-2kpγ-k4h+3hp4+8kp3q+2k2hp2)=0,

(10)

2ab(3k2γ+p2γ+6kpw-p2q+7k4q+20k3hp-4khp3-42k2p2q)-2b3p2(γ-4p2q)=0,

(11)

ab2(-4khp3-p2γ+k2γ+2kpw+p4q+k4q+4k3hp-6k2p2q)=0,

(12)

ab2(k2w+p2w+2kpγ+k4h-3p4h-8kp3q-2k2hp2)=0,

(13)

2ab2(2kpγ+p2w+2k3pq-6kp2q-2hp4+2k2hp2)=0,

(14)

a2b(4k3pq-k4h-k2w+2pγ-p4h-4kp3q+6k2hp2)=0,

(15)

a2b(p2γ-k2γ-2kpw-p4q-k4q-4k3hp+4khp3+6k2p2q)=0.

(16)

利用數(shù)學(xué)軟件Matlab解以上方程組,得到以下幾種情況：

情形I:

b=0,p=0,q=0,γ=0,

a=a,k=k,h=h,w=-4k2h.

(17)

將式(17)代入式(4)得

f(x,y,t)=aeξ+e-ξ.

(18)

1) 如果a>0,則式(18)變?yōu)?/p>

(19)

將式(19)代入式(2)得到Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(20)

其中：a>0,h,k為任意常數(shù).

2) 如果a<0,則式(18)變?yōu)?/p>

(21)

將式(21)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(22)

其中：a<0,h,k為任意常數(shù).

3) 如果a=0,則式(18)變?yōu)?/p>

f(x,y,t)=e-ξ.

(23)

將式(23)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

u3=-k.

(24)

其中：k為任意常數(shù).

情形II:

a=0,h=0,p=0,w=0,

b=b,k=k,q=q,γ=-k2q.

(25)

將式(25)代入式(4)得

f(x,y,t)=e-ξ+bcosη.

(26)

將式(26)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(27)

其中：b,k,q為任意常數(shù).

情形III:

(28)

將式(28)代入式(4)得

f(x,y,t)=aeξ+e-ξ+bcosη.

(29)

1) 如果a>0,則式(29)變?yōu)?/p>

(30)

將式(30)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的周期孤立波解為

(31)

其中：a>0,b,k,h,p為任意常數(shù).

從圖1～4可以看出,只改變參數(shù)的值時(shí),孤立波的周期明顯改變了,而且周期越小時(shí)波峰越平緩.

圖1 當(dāng)a=1,b=2,k=1.1,h=-2,p=0.5,t=0時(shí)，u5的圖像

圖2 當(dāng)a=1,b=2,k=1.1,h=-1,

圖3 當(dāng)a=1,b=2,k=1.1,h=0,

圖4 當(dāng)a=1,b=2,k=1.1,h=1,

只改變參數(shù)k的值作出圖5～10,可以看出,當(dāng)k<1時(shí),u5在原點(diǎn)附件形成爆破圈;當(dāng)k<1越接近時(shí),爆破圈的半徑越小;當(dāng)k=1時(shí),u5在原點(diǎn)爆破;當(dāng)k>1時(shí),u5在原點(diǎn)附近是連續(xù)的.

圖5 當(dāng)a=1,b=2,k=0.8,h=5,

圖6 當(dāng)a=1,b=2,k=0.9,h=5,

圖7 當(dāng)a=1,b=2,k=0.99,h=5,

圖8 當(dāng)a=1,b=2,k=1,h=5,

圖9 當(dāng)a=1,b=2,k=1.001,h=5,

圖10 當(dāng)a=1,b=2,k=1.01,h=5,

2) 如果a<0則式(29)變?yōu)?/p>

(32)

將式(32)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的周期孤立波解為

(33)

其中：a<0,b,k,h,p為任意常數(shù).

3) 如果則式(29)變?yōu)?/p>

f(x,y,t)=e-ξ+bcosη.

(34)

將式(34)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(35)

其中：b,k,h,p為任意常數(shù).

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了三線性型的求解方法,用新的測(cè)試函數(shù)來(lái)嘗試求解.以Ablowitz-Kaup- Newell-Segur方程為例,給出該方法求孤立波解和周期孤波解的具體過(guò)程,得出新的孤立波解和周期孤波解,并以此討論了該方程的周期性和爆破性.