于可心

摘 要：通過考試來檢驗學生的階段性學習成效是當前高中學校采取的最主要的考察手段，但在學習科目多、時間緊的情況下如何根據(jù)考試成績采取科學合理的改進措施一直是教師和學生面臨的一個難題。文章將信息熵及熵權(quán)法的概念引入學生的考試成績評價分析，設(shè)計了一個基于熵權(quán)的成績提升策略判斷矩陣和成績分析折線圖，根據(jù)判斷矩陣和折線圖，學生可快速確定自身當前最需改進和最容易改進的薄弱課程，進而制定科學的學習提升策略，不斷提升學生的考試成績。

關(guān)鍵詞：熵 熵權(quán)法 成績評價 提升策略

中圖分類號：G252.62 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（a）-0001-03

通過考試來判斷學生的學習效果是當下大部分高中采取的最主要考察方式，根據(jù)筆者所在地區(qū)大多數(shù)高中的教學情況，學生每學期一般至少要進行兩次階段性考試和期中、期末等四次考試，盡管每次考試后學校都進行考試分析，教師也都會與同學進行個別座談，但效果并不盡理想，因為各科教師除與學生交流考試問題所在及如何采取合理的學習方法外，往往都要求學生在本科目上要花費更多的學習盡快趕上，但學生往往會感到很茫然[1-2]，面對多達9門的學習課程，如何合理分配各科學習時間，優(yōu)先解決哪門課的學習能盡快縮小與他人的學習差距，提振學習信心和學習興趣是很多學生面臨的一個難題[3-5]，這導致很多學生感到無所適從，在這種壓力下，有的學生甚至會自暴自棄，對學習更加沒有動力[6]。在多課程中快速找到能盡快提升成績的課程，是現(xiàn)代管理學中的一個多目標綜合判斷和優(yōu)化問題[7]，本文針對這一問題，結(jié)合信息論中的信息熵原理，通過熵權(quán)法[8]客觀判斷每位學生當前的最優(yōu)提升課程，并給出了一個判斷矩陣和折線圖，協(xié)助學生對最需改進和最容易改進的薄弱課程進行優(yōu)先考慮，快速提高學生的學習成績。

1 熵與熵權(quán)法

熵本來是熱力學中的一個概念，是對物理系統(tǒng)無序性或紊亂程度的一種度量，根據(jù)最大熵原理，一個孤立系統(tǒng)的熵總是自發(fā)地趨于極大，至最大時系統(tǒng)趨于平衡。1948年，C.E.Shannon[9]將熵引入信息論，用于評價離散系統(tǒng)的不確定性，稱之為信息熵?；谛畔㈧卦碓O(shè)計的熵權(quán)法是一種在綜合考慮各因素所提供信息熵的基礎(chǔ)上，客觀確定各評價指標的相對權(quán)重，并對評價結(jié)果進行比較評價的一種決策評價算法。熵權(quán)法的實現(xiàn)步驟一般包括原始數(shù)據(jù)矩陣標準化、各指標信息熵計算、各指標熵權(quán)計算、各樣本單位評價分值計算等四個步驟。該文中，我們將結(jié)合實例，對熵權(quán)法的計算過程進行描述。

2 數(shù)據(jù)來源

該文選取某高中高一某班的某次段考的10名同學考試成績作為分析案例，段考包含語文、數(shù)學、英語、政治、歷史、地理、物理、化學、生物9門課程，其中政治、歷史、地理滿分為50分，其他課程滿分為100分，該10名同學考試總成績在班級的名次分列第1、5、10……45名，具體數(shù)據(jù)見表1。因10名同學在同一班級，任課教師及班級管理等師資條件完全相同，但考試成績卻相差較大，對這10名同學來說，該如何根據(jù)段考成績來調(diào)整各科目的學習時間從而使得考試成績最優(yōu)呢？

3 數(shù)據(jù)處理

表一中的原始數(shù)據(jù)可以看成一個矩陣，，其中，表示學生數(shù)，，表示課程數(shù)，。

3.1 數(shù)據(jù)標準化處理

數(shù)據(jù)標準化處理是建立數(shù)據(jù)間可比較性的基礎(chǔ)，一般包含兩個步驟，一是數(shù)據(jù)同趨化處理，即所有數(shù)據(jù)變化趨勢所表征的性質(zhì)必須相同，在本例中，數(shù)值越大表示考試成績越好，不需進行同趨化處理；二是無量綱化處理，所有數(shù)據(jù)都需統(tǒng)一到同一量綱下，從而解決數(shù)據(jù)的可比性問題，由于各科目滿分成績有的是100分，有的是50分，因此需要進行無量綱化處理，本例中采取成績權(quán)重歸一化方法進行無量綱化數(shù)據(jù)處理，形成標準化矩陣。其中：，其中，表示學生數(shù)，，表示課程數(shù)，，標準化后數(shù)據(jù)見表2。

3.2 計算各課程考試成績的信息熵

根據(jù)標準化矩陣可以計算各指標的信息熵[10]。令表示第個指標的熵，則計算公式為：

假定：當時，，令為波爾茲曼常數(shù)。

各課程考試成績的信息熵H（i）見表3。

3.3 求各課程考試成績的熵權(quán)

假設(shè)為第個指標的熵權(quán)，計算的公式為：

，

由上述計算步驟不難看出，如果某個指標的信息熵越小，就表明其指標值的變異程度越大，提供的信息量也越大，則其權(quán)重也就越大。各評價指標的熵權(quán)w（i）見表4。

4 結(jié)果分析與應(yīng)用

由信息熵定義可知，如果某門課程考試成績的信息熵越大，那么同學間成績的差異就會越小，當所有同學成績相同時，信息熵達到最大值。根據(jù)表三可知，L1、L7、L9三門課程的信息熵位居各科前三名，說明這三門課程成績差異不大，大多數(shù)同學的成績都位于一個相對集中的分數(shù)段，從表一原始成績中也能看出這一趨勢，例如信息熵最大的L1所代表的語文課程，成績分布區(qū)間都集中在69-82分數(shù)段，不像其他課程考試分數(shù)離散程度那么大；而信息熵最小的L4所代表的政治課程，在總分50分的情況下，成績分布區(qū)間卻離散在24-44分數(shù)段。

表四的熵權(quán)信息表所反映的是某門課程在學生成績評價和排名中的重要程度，一門課程的熵權(quán)越大，表示該課程成績對學生總體成績的影響就越大，而該門課程成績越高，對總成績的排名貢獻度也會越大。從各門課程熵權(quán)的排序看，信息熵越小，熵權(quán)越大，熵權(quán)排序也越靠前。表四中L4、L2、L6三門課程的熵權(quán)排序在前三位，這表明本次考試中，這三門課程的成績對學生總體成績排名的貢獻最大。

在教學、師資、管理等外部條件都相同的情況下，某門課程的熵權(quán)最大、信息熵最小，這說明學生對這門課程學習效果差異較大，由于外部條件基本相同，可以說這種差異主要來自學生自身的內(nèi)部學習動力，成績較差的同學應(yīng)該對該門課程引起足夠重視。從另一個方面看，差異大，也說明有一批同學對該門課程學習很好，可學習和借鑒的經(jīng)驗也較多，也容易形成互幫互助的氛圍，成績較差的同學提升成績也較容易?；谶@一理論，我們設(shè)計了一個交叉判斷矩陣來快速確定每個同學的優(yōu)先提升課程，具體見表5。

表中橫坐標是課程，括號內(nèi)數(shù)字是熵權(quán)排序，表中數(shù)據(jù)是學生各科成績排名，為了便于分析，表中只標注了成績排序后四位的排名，其中分數(shù)相同的排名也相同，根據(jù)表五，熵權(quán)排序第一的是L4，同學S9在該科目排名最后，因此該科目應(yīng)該引起該同學的足夠重視，而同學S3、S4在該科目排名也較后，也應(yīng)當引起重視。熵權(quán)排第二的L2課程中，同學S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的學習中，應(yīng)該對該門課程引起重視。根據(jù)熵權(quán)和成績排序，學生可以在交叉判斷矩陣中找到自己需要提升的科目。

圖1給出了S1、S5、S9三位同學的標準化成績折線圖，學生也可以通過圖一所示的折線圖來確定自己的優(yōu)先改進科目。S9同學的L4課程在自己的9門課程中排序靠后，而L4課程熵權(quán)排序第一，因此應(yīng)選擇該門課作為優(yōu)先改進的課程，這一結(jié)果與表五的判斷矩陣的判斷結(jié)果一致。S5同學在自己的成績折線圖上也是L4課程排序最低，因此也應(yīng)優(yōu)先重視該課程的提升工作，另外從折線圖上看，該同學所有課程成績都比較均衡，在提升L4課程的同時，也可根據(jù)熵權(quán)對L2、L6、L8等熵權(quán)較大的課程進行優(yōu)先提升工作。S1在年級排名第一，各科成績都名列前茅，他應(yīng)該如何選擇自己的優(yōu)先改進課程呢？相對其他課程考試成績，該同學L1、L3、L5、L9四門課相對較低，熵權(quán)排序分別為9、5、6、7，根據(jù)熵權(quán)理論，應(yīng)確定熵權(quán)排序第五的L3課程作為優(yōu)先改進課程。

課程L1信息熵最大，熵權(quán)最小，但從學生的成績得分來看并不高，造成這種現(xiàn)象原因可能有二，或者試卷難度偏大，或者學生總體學習效果不理想，任課教師可以從外延和內(nèi)涵兩個方面來探索該門課程的教學努力方向，從外延來說，可以對比其他班級的考試成績，若與其他班級比成績較好或沒有明顯差距，基本可推斷出是試卷難度偏大問題。若與其他班級比有明顯差距，則要從自身的教和學生的學兩方面進行反思如何提升教學效果，具體辦法是將學生各題的得分進行熵權(quán)分析，找出薄弱環(huán)節(jié)進行改進。

5 結(jié)語

熵權(quán)法是一種根據(jù)評價指標信息熵進行多目標決策的客觀權(quán)重賦值算法，通過分析及實例演示，說明該方法可以很好地用于學生的學習改進中，及時幫助學生快速找出自己的優(yōu)先改進課程，同時由于這是一種客觀賦值算法，很容易通過構(gòu)造評價策略交叉判斷矩陣并在計算機上快速實現(xiàn)，對學生學習具有較大的幫助作用。另外，由于熵權(quán)法各項指標的客觀權(quán)重不是固定不變的，下次考試后，會隨著各科成績的變化即時變化，因此能及時有效地指導學生優(yōu)先改變自己的弱項課程，使得學生的提升目標具有很強的目的性。在這種及時指導和反饋下，每位學生都會不斷改進自己權(quán)重較大的弱項目標，從而會使得該門課程的信息熵不斷增大，熵權(quán)不斷減小，而隨著熵權(quán)降低，學生優(yōu)先提升目標就會逐步轉(zhuǎn)向其他熵權(quán)較大的弱項課程，從而使得學習成績不斷得到提升。

參考文獻

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表中橫坐標是課程，括號內(nèi)數(shù)字是熵權(quán)排序，表中數(shù)據(jù)是學生各科成績排名，為了便于分析，表中只標注了成績排序后四位的排名，其中分數(shù)相同的排名也相同，根據(jù)表五，熵權(quán)排序第一的是L4，同學S9在該科目排名最后，因此該科目應(yīng)該引起該同學的足夠重視，而同學S3、S4在該科目排名也較后，也應(yīng)當引起重視。熵權(quán)排第二的L2課程中，同學S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的學習中，應(yīng)該對該門課程引起重視。根據(jù)熵權(quán)和成績排序，學生可以在交叉判斷矩陣中找到自己需要提升的科目。

圖1給出了S1、S5、S9三位同學的標準化成績折線圖，學生也可以通過圖一所示的折線圖來確定自己的優(yōu)先改進科目。S9同學的L4課程在自己的9門課程中排序靠后，而L4課程熵權(quán)排序第一，因此應(yīng)選擇該門課作為優(yōu)先改進的課程，這一結(jié)果與表五的判斷矩陣的判斷結(jié)果一致。S5同學在自己的成績折線圖上也是L4課程排序最低，因此也應(yīng)優(yōu)先重視該課程的提升工作，另外從折線圖上看，該同學所有課程成績都比較均衡，在提升L4課程的同時，也可根據(jù)熵權(quán)對L2、L6、L8等熵權(quán)較大的課程進行優(yōu)先提升工作。S1在年級排名第一，各科成績都名列前茅，他應(yīng)該如何選擇自己的優(yōu)先改進課程呢？相對其他課程考試成績，該同學L1、L3、L5、L9四門課相對較低，熵權(quán)排序分別為9、5、6、7，根據(jù)熵權(quán)理論，應(yīng)確定熵權(quán)排序第五的L3課程作為優(yōu)先改進課程。

課程L1信息熵最大，熵權(quán)最小，但從學生的成績得分來看并不高，造成這種現(xiàn)象原因可能有二，或者試卷難度偏大，或者學生總體學習效果不理想，任課教師可以從外延和內(nèi)涵兩個方面來探索該門課程的教學努力方向，從外延來說，可以對比其他班級的考試成績，若與其他班級比成績較好或沒有明顯差距，基本可推斷出是試卷難度偏大問題。若與其他班級比有明顯差距，則要從自身的教和學生的學兩方面進行反思如何提升教學效果，具體辦法是將學生各題的得分進行熵權(quán)分析，找出薄弱環(huán)節(jié)進行改進。

5 結(jié)語

熵權(quán)法是一種根據(jù)評價指標信息熵進行多目標決策的客觀權(quán)重賦值算法，通過分析及實例演示，說明該方法可以很好地用于學生的學習改進中，及時幫助學生快速找出自己的優(yōu)先改進課程，同時由于這是一種客觀賦值算法，很容易通過構(gòu)造評價策略交叉判斷矩陣并在計算機上快速實現(xiàn)，對學生學習具有較大的幫助作用。另外，由于熵權(quán)法各項指標的客觀權(quán)重不是固定不變的，下次考試后，會隨著各科成績的變化即時變化，因此能及時有效地指導學生優(yōu)先改變自己的弱項課程，使得學生的提升目標具有很強的目的性。在這種及時指導和反饋下，每位學生都會不斷改進自己權(quán)重較大的弱項目標，從而會使得該門課程的信息熵不斷增大，熵權(quán)不斷減小，而隨著熵權(quán)降低，學生優(yōu)先提升目標就會逐步轉(zhuǎn)向其他熵權(quán)較大的弱項課程，從而使得學習成績不斷得到提升。

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圖1給出了S1、S5、S9三位同學的標準化成績折線圖，學生也可以通過圖一所示的折線圖來確定自己的優(yōu)先改進科目。S9同學的L4課程在自己的9門課程中排序靠后，而L4課程熵權(quán)排序第一，因此應(yīng)選擇該門課作為優(yōu)先改進的課程，這一結(jié)果與表五的判斷矩陣的判斷結(jié)果一致。S5同學在自己的成績折線圖上也是L4課程排序最低，因此也應(yīng)優(yōu)先重視該課程的提升工作，另外從折線圖上看，該同學所有課程成績都比較均衡，在提升L4課程的同時，也可根據(jù)熵權(quán)對L2、L6、L8等熵權(quán)較大的課程進行優(yōu)先提升工作。S1在年級排名第一，各科成績都名列前茅，他應(yīng)該如何選擇自己的優(yōu)先改進課程呢？相對其他課程考試成績，該同學L1、L3、L5、L9四門課相對較低，熵權(quán)排序分別為9、5、6、7，根據(jù)熵權(quán)理論，應(yīng)確定熵權(quán)排序第五的L3課程作為優(yōu)先改進課程。

課程L1信息熵最大，熵權(quán)最小，但從學生的成績得分來看并不高，造成這種現(xiàn)象原因可能有二，或者試卷難度偏大，或者學生總體學習效果不理想，任課教師可以從外延和內(nèi)涵兩個方面來探索該門課程的教學努力方向，從外延來說，可以對比其他班級的考試成績，若與其他班級比成績較好或沒有明顯差距，基本可推斷出是試卷難度偏大問題。若與其他班級比有明顯差距，則要從自身的教和學生的學兩方面進行反思如何提升教學效果，具體辦法是將學生各題的得分進行熵權(quán)分析，找出薄弱環(huán)節(jié)進行改進。

5 結(jié)語

熵權(quán)法是一種根據(jù)評價指標信息熵進行多目標決策的客觀權(quán)重賦值算法，通過分析及實例演示，說明該方法可以很好地用于學生的學習改進中，及時幫助學生快速找出自己的優(yōu)先改進課程，同時由于這是一種客觀賦值算法，很容易通過構(gòu)造評價策略交叉判斷矩陣并在計算機上快速實現(xiàn)，對學生學習具有較大的幫助作用。另外，由于熵權(quán)法各項指標的客觀權(quán)重不是固定不變的，下次考試后，會隨著各科成績的變化即時變化，因此能及時有效地指導學生優(yōu)先改變自己的弱項課程，使得學生的提升目標具有很強的目的性。在這種及時指導和反饋下，每位學生都會不斷改進自己權(quán)重較大的弱項目標，從而會使得該門課程的信息熵不斷增大，熵權(quán)不斷減小，而隨著熵權(quán)降低，學生優(yōu)先提升目標就會逐步轉(zhuǎn)向其他熵權(quán)較大的弱項課程，從而使得學習成績不斷得到提升。

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