侯繼紅，馬聰承，2

（1.廣州科技貿(mào)易職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州511442；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州510640）

0 引言

隨汽車保有量不斷增加帶來的環(huán)境、能源和交通問題，很多汽車制造商和研究機(jī)構(gòu)均研究設(shè)計混合動力、純電動的四輪或兩輪車.2001年，Segway Inc顛覆傳統(tǒng)思想，生產(chǎn)出全世界第一臺商業(yè)用途的雙輪同軸平行布置載人自平衡電動車，這種車比傳統(tǒng)雙輪前后布置的電動單車在占地面積、轉(zhuǎn)彎半徑、運(yùn)動靈活性等方面更有優(yōu)勢.近幾年很多高校及科研機(jī)構(gòu)開始對這種新型的交通工具進(jìn)行研究［1］，所采用的控制算法有多種，如極點配置算法、模糊控制、自適應(yīng)PID控制算法等，如Segway Inc的Segway PT（personal transporter）采用的冗余控制算法［2］、卡莫森學(xué)院研發(fā)的 HTV（human transporter vehicle）采用模糊控制［3］、阿德萊德大學(xué)研發(fā)的EDGAG采用PD控制［4］、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)研發(fā)的Free Mover采用PID控制等［5］.目前還缺少對各類方法在多種工況下（上下坡等）的仿真分析和比較.本文中借助MATALAB仿真軟件進(jìn)行自平衡兩輪電動車的多工況下控制算法的設(shè)計及效果分析.

自平衡兩輪電動車是車輪對稱分布于車架的左右，中間為載人部分的車身，其結(jié)構(gòu)跟一級倒立擺類似，屬于自然不穩(wěn)定系統(tǒng)［6－7］.要實現(xiàn)自平衡電動車直立行走，必須根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)方程并結(jié)合相關(guān)的控制算法設(shè)計自平衡控制器，以保持車的平衡.

自平衡兩輪電動車的工作原理是：系統(tǒng)利用加速度、陀螺儀傳感器，檢測車身傾斜角度、傾角變化率、車速等姿態(tài)變化，用微處理器將感知車身姿態(tài)的傳感器信號進(jìn)行采樣，經(jīng)過計算得出車身傾斜角度、傾角變化率、車速等參數(shù)，并用這些參數(shù)轉(zhuǎn)換成控制電機(jī)扭矩的PWM信號及驅(qū)動電機(jī)前進(jìn)或后退動作，以保持車身的平衡.

本文中在對自平衡兩輪電動車進(jìn)行物理結(jié)構(gòu)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，用牛頓第二定律建立車的多輸入、多輸出非線性力學(xué)平衡方程，經(jīng)計算化簡及線性化處理得出系統(tǒng)狀態(tài)方程.用此模型在MATLAB環(huán)境下利用acer極點配置、線性二次最優(yōu)控制（RQL）算法設(shè)計控制器，仿真分析車在水平位置、15°斜坡時控制器對車身姿態(tài)及速度的控制情況，驗證控制方法的可行性，比較兩種控制算法對系統(tǒng)控制的性能.

1 自平衡兩輪電動車系統(tǒng)建模

圖1 自平衡兩輪電動車在斜坡位置的受力分析圖

1.1 系統(tǒng)受力分析 自平衡兩輪電動車在斜坡位置的系統(tǒng)受力分析如圖1所示［6］.車的行走方向為x軸，車輪軸線方向為y軸，與路面垂直方向為z軸，md為車體（包括駕駛員）的質(zhì)量中心，θ為車體偏離平衡位置的傾角，α為車行駛的方位角，D為兩輪之間的距離，l為質(zhì)心到輪子軸心的距離，β為地面的斜坡度，fL、fR分別為左右輪與地面的摩擦力，CL、CR分別為左右電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，F(xiàn)HL、FHR分別為底盤與車輪在水平方向的作用力，mwg為車輪的重力，F(xiàn)VL、FVR分別為底盤與車輪在垂直方向的作用力，R為車輪的半徑，以上參數(shù)的單位均為國際單位.

1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 由上述力學(xué)模型，根據(jù)牛頓第二定律的力學(xué)分析方法建立力學(xué)平衡方程［8］.設(shè)左右車輪在x軸方向的位移分別為xL、xR，車體重心沿x軸方向的位移為xm，車體底盤沿x軸方向的位移為xd，車體重心繞y軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jθ，車輪繞軸心的轉(zhuǎn)動慣量為Jw，車轉(zhuǎn)彎時繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jα.

根據(jù)牛頓第二定律，車輪的運(yùn)動方程為：

同理，根據(jù)牛頓第二定律，車體的運(yùn)動方程為：

由車體的結(jié)構(gòu)可知：

根據(jù)以上關(guān)系式，通過計算及化簡，并在θ＝±5°處線性化處理，即取sinθ≈θ，cosθ≈1，˙θ2≈0，可將非線性的系統(tǒng)模型線性化為：

1.3 系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 電動車的具體參數(shù)如下：md＝78kg，mw＝5.5kg，l＝0.85m，R＝0.12m，C＝18.569N·m，Jw＝0.039 6kg·m2，Jθ＝18.785kg·m2.

將電動車的參數(shù)及路面坡度代入（13）～（14）式，通過計算及化簡，可得到水平路面（β＝0°）及坡度為15°的路面（β＝15°）的系統(tǒng)狀態(tài)方程.

當(dāng)車行駛在水平路面（β＝0°）時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

當(dāng)車行駛在坡度為15°的路面（β＝15°）時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

式中A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣，D為直接傳遞矩陣，X為狀態(tài)向量，u為輸入向量.

2 系統(tǒng)可控性分析

系統(tǒng)的可控性指輸入對狀態(tài)的控制能力，是極點可實現(xiàn)配置的充分條件；系統(tǒng)的可觀性指表征輸出對狀態(tài)的反應(yīng)能力.因此在設(shè)計系統(tǒng)控制器之前必須進(jìn)行可控性、可觀性分析［9］.

由可控性判斷矩陣：

且rank（M）＝4，系統(tǒng)可控.

同理，由可觀性判斷矩陣：N＝［C CA CA2CA3］，可知rank（N）＝4，系統(tǒng)可觀.

3 自平衡控制器設(shè)計

3.1 期望極點配置算法 系統(tǒng)狀態(tài)方程是一個不穩(wěn)定的開環(huán)系統(tǒng)，需要引入一個角度和位移組成的反饋量，將系統(tǒng)構(gòu)成可控的閉環(huán)系統(tǒng).根據(jù)系統(tǒng)控制理論，當(dāng)線性系統(tǒng)加入反饋環(huán)節(jié)后，其狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為［9］

式中，A＋BK為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，K為閉環(huán)系統(tǒng)的反饋增益，R為系統(tǒng)的參考輸入，C＋DK為系統(tǒng)的輸出矩陣.可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣均與反饋矩陣K有關(guān)，可以通過調(diào)整K以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)定誤差及系統(tǒng)的可控性與可觀性［10］.

通過設(shè)定期望極點方法求取反饋增益K，在MATLAB中通過acker函數(shù)根據(jù)期望極點求取K.在直角坐標(biāo)平面的左半面，選取多組期望極點進(jìn)行仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行比較分析，然后選取最優(yōu)的期望極點，得到最優(yōu)的反饋控制增益.下面以水平路面的系統(tǒng)狀態(tài)為例，仿真分析期望極點選取對系統(tǒng)的影響.選取如下3組期望極點，以位移為研究對象，經(jīng)過MATLAB仿真后，結(jié)果如圖2所示.

圖2 不同期望極點下系統(tǒng)位移隨時間變化的曲線

由圖2可知，當(dāng)配置極點遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點時，將加快曲線的收斂速度，提高系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，減少系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定的時間，但增大了相對波動的幅度，同時增大了系統(tǒng)控制中所需的力，但當(dāng)極點過遠(yuǎn)時，又會引起波動時間過長，導(dǎo)致系統(tǒng)控制過量，引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定.因此，需要選擇合適的期望極點，使系統(tǒng)在獲得較短的收斂時間的同時，不引起過大的超調(diào)量.通過上述分析，并要求車體在偏離平衡位置后，1s內(nèi)回復(fù)到平衡位置，則選取系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點為： P＝［－3.5＋5j －3.5－5j －15 －30］.

分別將兩個路面狀態(tài)方程的常數(shù)矩陣A、B及選取的期望極點P，代入MATLAB的Acker（A，B，P）函數(shù)，分別得出與兩個狀態(tài)方程對應(yīng)的反饋矩陣為：

3.2 線性二次型最優(yōu)控制算法（LQR） 除了用期望極點配置算法求取系統(tǒng)閉環(huán)控制的反饋增益外，還可用線性二次型最優(yōu)控制算法（LQR）求取系統(tǒng)閉環(huán)的反饋增益.對可控、可觀的系統(tǒng)，可通過MATLAB的LQR函數(shù)求取閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)的反饋增益，用最優(yōu)的反饋增益構(gòu)建閉環(huán)最優(yōu)控制.通過Q和R的值平衡狀態(tài)向量和輸入向量，使性能指標(biāo)J達(dá)到最優(yōu).

將車行駛在水平路面及坡度為15°路面的狀態(tài)方程的A、B值及Q、R值代入MATLAB的函數(shù)（K，P，E）＝LQR（A，B，Q，R），分別求得兩個路面坡度的最優(yōu)反饋矩陣：

該反饋矩陣遠(yuǎn)小于用期望極點配置算法求得的反饋矩陣.

4 控制器仿真分析

為了驗證期望極點配置及LQR兩種算法設(shè)計的自平衡控制器的有效性，對系統(tǒng)進(jìn)行了相應(yīng)的仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行比較分析.

通過期望極點配置，為兩種路面坡度系統(tǒng)狀態(tài)找到了合適的反饋增益K1、K2.給系統(tǒng)設(shè)定0.087 27 rad（5°）的角度擾動為初始值，即x0＝［0 0 0.087 27 0］T，通過如下的 MATLAB 系統(tǒng)仿真程序：

得出車的4個中間狀態(tài)變量即位移、速度、車體傾斜角度及角速度響應(yīng)曲線，如圖3所示.由仿真曲線可知，無論車體在水平路面還是在斜坡路面，當(dāng)車體受到0.087 27rad（5°）的擾動后，車的位移、速度、車體傾斜角度及角速度均在1s內(nèi)回到平衡狀態(tài)，擾動的角度越小，系統(tǒng)各變量回到平衡位置的時間越短.因此，可知系統(tǒng)模型線性化后的狀態(tài)反饋設(shè)計達(dá)到系統(tǒng)控制的要求，并具有較好的控制效果.比較兩圖可知，斜坡路面系統(tǒng)調(diào)整的超調(diào)量比水平路面更小，且K值也小，說明上斜坡路面所需調(diào)整力也更小.

圖3 期望極點配置算法系統(tǒng)仿真響應(yīng)曲線圖

LQR方法求取系統(tǒng)閉環(huán)的反饋增益K3、K4，代入MATLAB對給定系統(tǒng)初始條件x0＝［0 0 0.087 27 0］T系統(tǒng)仿真程序，系統(tǒng)仿真響應(yīng)曲線如圖4所示.由圖可知，車體受到5°的擾動后，車體傾斜角度和角速度在0.5s內(nèi)回到平衡位置，但不太穩(wěn)定，位移回到平衡位置的時間較長，兩種坡度路面的控制效果幾乎一樣.

圖4 線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)仿真響應(yīng)曲線圖

仿真結(jié)果表明，電動車在不同斜坡路面受到擾動時，LQR控制和極點配置控制均能較好地控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能夠使車保持在平衡狀態(tài).對兩種控制方法的仿真比較可知，LQR控制比期望極點配置控制的超調(diào)量小，但位移的收斂時間較長，且穩(wěn)定性也較差，所以采用期望極點配置控制能使系統(tǒng)具有優(yōu)良的穩(wěn)定性，有更好的實際應(yīng)用價值.

5 結(jié)束語

本文中對自平衡兩輪電動車進(jìn)行了系統(tǒng)動力學(xué)分析，利用牛頓第二定律建立系統(tǒng)動力學(xué)控制模型方程.分別采用期望極點配置算法和LQR算法設(shè)計控制器，并用MATLAB對兩種方法設(shè)計的閉環(huán)控制器進(jìn)行系統(tǒng)仿真.通過仿真驗證所設(shè)計的兩種閉環(huán)控制器能夠使自平衡電動車的位移、速度、車體傾斜角度及角速度，在系統(tǒng)設(shè)計要求的收斂時間內(nèi)逐漸趨于穩(wěn)定.通過仿真分析，極點配置控制算法設(shè)計的控制器在系統(tǒng)穩(wěn)定性方面優(yōu)于LQR算法設(shè)計的控制器，具有更好實際應(yīng)用價值.

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