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      粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性

      2014-06-23 02:49:48董超雨姜金平張曉明
      關(guān)鍵詞:內(nèi)積有界粘性

      董超雨,姜金平,張曉明

      (延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安716000)

      考慮下列粘性Cahn-Hilliard方程:

      粘性Cahn-Hilliard方程是由Novick cohen等在1958年首次提出,用來(lái)描述帶粘性的二物質(zhì)相互擴(kuò)散.許多學(xué)者對(duì)該方程進(jìn)行了研究[1-3].本文中對(duì)該方程在更高的正則性空間H2中的全局吸引子進(jìn)行探究,同時(shí)參閱了其他方程的全局吸引子[4-5],當(dāng)δ=0時(shí),方程(1)是Cahn-Hilliard方程.Ω是R2(n≤3)中的有界集,非線性項(xiàng)f(u)滿足如下條件:

      存在β,γ,正常數(shù)k1,k2且0<β≤γ<∞,使得:

      1 預(yù)備知識(shí)

      本文中,c,c1,c2,…表示依賴于Ω 與n常數(shù),分別記|·|p和‖·‖s表示Lp(Ω)和Hs(Ω)中的范數(shù),特別地,|·|=|·|2,‖·‖=‖·‖2.令H=L2(Ω),V=H2(Ω).定義Au=Δ2u,則D(A)=H1(Ω)∩H2(Ω)為A的定義域,顯然,D(A)?V?H,并且嵌入是緊的.

      定理1.1 對(duì)任意u0∈H,初值問(wèn)題(1~3)式存在唯一解

      定理1.1的證明 利用Faedo-Galerkin逼近方法類似文獻(xiàn)[5]可證.由定理1.1可定義一個(gè)連續(xù)算子半群S(t):V→V,使得S(t)u0=u.

      定理1.2 以ρ0為半徑的球Bρ0(0,ρ0)是 H1界吸收集,即 H1中的任何有界集B,存在t0,使得當(dāng)t≥t0時(shí),S(t)B?Bρ.

      定理1.2的證明 用u與方程(1)式做內(nèi)積,得:

      帶入(4)式及Poincare不等式|u|2≤λ| u|2得:

      由Gronwall不等式得:

      半群S(t)的全局吸引子是一個(gè)緊的不變集A,通常方法由嵌入定理證明,運(yùn)用文獻(xiàn)[6]中一種新的驗(yàn)證緊性的方法,得到了預(yù)期的結(jié)果.

      定義1.1[6]Banach空間X中的連續(xù)半群S(t)滿足條件C,是指對(duì)任意ε>0及X中任何的有界集B,存在t(B)>0和一個(gè)有限維的子空間 H1,使得‖PS(t)B‖是有界的,并且‖(I-P)S(t)x‖≤ε,?t≥t(B),x∈B,P:X X1是一個(gè)規(guī)范投影.

      定理1.3[6]設(shè)S(t)是Hilbert空間X中的連續(xù)半群,如果下面條件成立;

      1)S(t)在X中存在有界吸收集B?X;

      2)S(t)滿足條件C.

      那么S(t)在X中存在全局吸引子A=ω(B),且A吸引X中的一切有界集.

      2 全局吸引子的存在性

      2.1 H2有界吸收集的存在性 用v=ut+ε0u與方程(1)作內(nèi)積,得:

      由Poincare不等式得:

      將(9~10)式代入(7)式得:

      由Young不等式得:

      因?yàn)棣(u)=f″(u)(u)2+f′(u)Δu,因 H1?L2,由(ⅳ)、(ⅲ)、sobolev嵌入定理及定理1.2得:

      利用Gagliardo-Nirenberg不等式,得:

      將上式代入(13)式得:

      將(12~14)式代入(11)式得:

      取適當(dāng)?shù)摩?,使得c7>0,c8>0,由Gronwall不等式得:

      所以對(duì)任意‖u0‖≤R,存在,使得當(dāng)t≥t1時(shí)

      定理2.1 f滿足條件ⅳ,以ρ1為半徑的球Bρ1(0,ρ1)是問(wèn)題(1~3)生成的解半群S(t)在 H2中的有界吸收集,即對(duì)H2中的任何有界集B,存在t1,使得當(dāng)t≥t1時(shí),S(t)B?Bρ1.

      2.2 在H2中全局吸引子的存在性 記λ1,λ2,…,λk,…為A 的特征值,e1,e2,…,ek,…為對(duì)應(yīng)的特征向量,當(dāng)i→∞時(shí)構(gòu)成了H2(Ω)的正交基,令Wm=span{e1,e2,…,em},W′=W,記Pi:V→Wm為規(guī)范投影.

      對(duì)?u∈H,則有u=u1+u2,其中,用v2=u2t+ε0u2與方程(1)作內(nèi)積,類似于(8~11)式的估計(jì)得:

      同理可得,取適當(dāng)?shù)摩?,使得c3>0,由Gronwall不等式得:

      因此滿足條件(ⅳ)、定理1.3、定理2.1,得:

      定理2.2 設(shè)u0∈H2,初值問(wèn)題(1)~(3)在H2中存在全局吸引子A=ω(B),且A在H2的范數(shù)下吸引H2中的一切有界集.

      [1]Liu Changchun,Yin Jingxue,Zhou Juan.A note on large time behaviour of solutions for viscous cahn-h(huán)illiard equation[J].Acta Mathematica Scientia,2009B(5):1-9.

      [2]Elliott C M,Stuart A M.The viscous Cahn-Hilliard equation,PratⅡ:Analysis[J].J Diff Eqns,1996,128:387-414.

      [3]Hunag R,Yin J X.Global existence and blow-up of solutions to multi-dimensional(n≤5)viscous Cahn-Hilliard equation[J].Northeast Math J,2005,21(3):371-378.

      [4]李洪濤,馬閃.非經(jīng)典拋物方程的一致吸引子[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,46(2):71-75.

      [5]Teman R.Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics[M].New York:Springer,1997.

      [6]Ma Q F,Wang S H,Zhong C H.Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroup and application[J].Indiana University Math J,2002,51(6):1541-1559.

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