周金宇,謝里陽(yáng),韓文欽,朱福先

(1.江蘇理工學(xué)院裝備再制造工程高技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇常州 213001;2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110004)

可修系統(tǒng)剩余壽命分析的廣義發(fā)生函數(shù)法

周金宇1,謝里陽(yáng)2,韓文欽1,朱福先1

(1.江蘇理工學(xué)院裝備再制造工程高技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇常州 213001;2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110004)

系統(tǒng)剩余壽命是機(jī)電裝備面向多生命周期設(shè)計(jì)、制造與服役的重要分析指標(biāo)。基于更新過(guò)程理論,通過(guò)引入廣義發(fā)生函數(shù)(UGF),提出一種針對(duì)元件及系統(tǒng)有限時(shí)間區(qū)間的剩余壽命概率分析的實(shí)用方法。當(dāng)系統(tǒng)各元件承受具有整體不確定性的平穩(wěn)載荷隨機(jī)歷程時(shí),直接根據(jù)元件在各等效恒幅應(yīng)力水平下的失效數(shù)據(jù)構(gòu)建元件條件壽命發(fā)生函數(shù),由自定義復(fù)合算子分別計(jì)算相應(yīng)的系統(tǒng)條件剩余壽命發(fā)生函數(shù),經(jīng)統(tǒng)計(jì)平均得系統(tǒng)剩余壽命分布。運(yùn)算過(guò)程中,可利用近似項(xiàng)合并技術(shù)大幅度提高分析效率。新方法適用于元件壽命為任意分布隨機(jī)變量場(chǎng)合,并體現(xiàn)各元件因等效恒幅應(yīng)力不確定而引發(fā)的失效相關(guān)性,可為裝備系統(tǒng)剩余壽命精細(xì)化分析開(kāi)辟新途徑。

機(jī)械學(xué);可修系統(tǒng);剩余壽命;失效相關(guān);廣義發(fā)生函數(shù)

Key words:mechanics;repairable system;residual life;failure dependence;universal generating function

0 引言

機(jī)電裝備是多故障/失效模式并存、耦合的復(fù)雜可修系統(tǒng),為確保其長(zhǎng)期、可靠地運(yùn)行,需要定期檢測(cè)各元件或結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的損傷狀態(tài),及時(shí)通過(guò)更換、修復(fù)、再制造等方式恢復(fù)裝備的工作可靠度,實(shí)現(xiàn)多生命周期服役。因此,基于更新過(guò)程理論的元件與裝備系統(tǒng)剩余壽命定量概率評(píng)估,對(duì)于合理制定可靠度約束條件下的預(yù)防性維修策略、科學(xué)構(gòu)建面向多生命周期的可靠性模型具有重要意義。

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)可修系統(tǒng)的可靠性、維修性、再制造性和壽命周期的成本優(yōu)化等問(wèn)題開(kāi)展了廣泛研究。具有代表性的工作包括3個(gè)方面:1)針對(duì)有限時(shí)間區(qū)間和無(wú)限時(shí)間區(qū)間,分別運(yùn)用Laplace-stieltjes變換和漸近定理,求解更新方程得到瞬時(shí)解和穩(wěn)態(tài)解,獲得元件及系統(tǒng)瞬時(shí)或長(zhǎng)程概率分析指標(biāo)[1-2];2)為避免在復(fù)雜更新方程求解中進(jìn)行Laplace逆變換所碰到的諸多困難,基于更新時(shí)間離散法或計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)模擬法,近似獲得各類概率分析指標(biāo)[3-5];3)綜合考慮安全性、可靠性、維修性和經(jīng)濟(jì)性等因素,建立可修系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化模型[6-8]。鑒于可修系統(tǒng)概率模型因元件的多次更新而導(dǎo)致的復(fù)雜性,現(xiàn)有概率分析方法較多基于失效模式統(tǒng)計(jì)獨(dú)立或完全相關(guān)假設(shè),分析結(jié)果與實(shí)際情況往往存在較大偏差。此外,對(duì)于有限或較短時(shí)間區(qū)間問(wèn)題,運(yùn)用Laplace-stieltjes變換難以求解含非正態(tài)、非指數(shù)分布或非連續(xù)分布隨機(jī)變量的更新方程,而運(yùn)用計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)模擬法進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)概率分析時(shí)將面臨計(jì)算復(fù)雜度的挑戰(zhàn)。

本文基于更新過(guò)程理論,通過(guò)引入廣義發(fā)生函數(shù)(UGF),提出一種針對(duì)裝備元件及系統(tǒng)有限時(shí)間區(qū)間的剩余壽命概率分析方法。在元件壽命為任意分布隨機(jī)變量的情況下,考慮到元件在具有整體不確定性平穩(wěn)載荷隨機(jī)歷程作用下的失效相關(guān)性,根據(jù)元件單生命周期壽命的離散失效數(shù)據(jù)建立可修元件及可修系統(tǒng)的剩余壽命概率模型,為精確而高效地分析裝備剩余壽命分布的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律提供新思路。

1 廣義發(fā)生函數(shù)法

發(fā)生函數(shù)是現(xiàn)代離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要工具,具有形式統(tǒng)一、表達(dá)簡(jiǎn)潔、易編程、通用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),便于以統(tǒng)一的程序方式處理眾多不同類型的問(wèn)題。自20世紀(jì)80年代Ushakov對(duì)發(fā)生函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展以來(lái)[9],UGF被引入工程理論和實(shí)踐中發(fā)揮了巨大作用。對(duì)于工程系統(tǒng),可靠度是任務(wù)(需求)、性能(供給能力)這對(duì)矛盾在概率空間中相互作用的結(jié)果。采用UGF描述任務(wù)、性能隨機(jī)變量,利用UGF復(fù)合運(yùn)算實(shí)現(xiàn)各隨機(jī)量的概率組合并最終求解系統(tǒng)/元件可靠性指標(biāo)的方法,稱為可靠性分析的UGF法。近10年,Lisnianski、Levitin、Zhou等、Li等在系統(tǒng)可靠性理論研究領(lǐng)域中應(yīng)用并進(jìn)一步發(fā)展了 UGF法[10-15],使之逐漸成為系統(tǒng)可靠性及壽命分布的有力工具。

利用UGF法進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析所需的基本信息是:元件性能分布和系統(tǒng)性能結(jié)構(gòu)函數(shù),即

式中:H表示系統(tǒng)元件數(shù)。任意元件Ch的性能Gh都有mh種離散狀態(tài),各狀態(tài)值及相應(yīng)的概率可通過(guò)有序集合對(duì)gh={gh1,…,ghmh},ph={ph1,…,phmh}進(jìn)行描述。Φ表示系統(tǒng)性能結(jié)構(gòu)函數(shù),該函數(shù)建立了系統(tǒng)性能與各元件性能之間的關(guān)系。用UGF描述元件的性能分布為

式中:UGF指數(shù)表示元件性能狀態(tài)值,對(duì)應(yīng)的系數(shù)表示元件性能處于該狀態(tài)的概率。

為評(píng)估全系統(tǒng)的性能分布g、p,需求出系統(tǒng)性能狀態(tài)值及與各狀態(tài)值所對(duì)應(yīng)的概率,具體表現(xiàn)為各組成元件所有可能的狀態(tài)組合,系統(tǒng)性能狀態(tài)值可通過(guò)性能結(jié)構(gòu)函數(shù)Φ求出。當(dāng)系統(tǒng)各元件狀態(tài)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí),各元件狀態(tài)組合的概率就等于所對(duì)應(yīng)的各元件狀態(tài)概率的乘積,由此對(duì)描述不同元件性能分布的元件發(fā)生函數(shù)作復(fù)合運(yùn)算,即得到描述系統(tǒng)性能分布的系統(tǒng)發(fā)生函數(shù)

式中:ΩΦ為復(fù)合算子符。運(yùn)算時(shí),元件發(fā)生函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)相乘,而指數(shù)的運(yùn)算規(guī)則由性能結(jié)構(gòu)函數(shù)Φ確定。Φ的定義嚴(yán)格基于系統(tǒng)各元件的相互關(guān)系和物理特性。文獻(xiàn)[11]針對(duì)流量傳輸和任務(wù)處理兩類系統(tǒng),分別給出了元件串聯(lián)、并聯(lián)時(shí)的性能結(jié)構(gòu)函數(shù);文獻(xiàn)[14]針對(duì)靜定、靜不定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度可靠性和疲勞強(qiáng)度可靠性問(wèn)題,分別定義了相應(yīng)的性能結(jié)構(gòu)函數(shù)。

在UGF復(fù)合運(yùn)算中,系統(tǒng)的狀態(tài)組合總數(shù)為

式中:δ為條件求和算子符;1(gi-w＞0)為示性函數(shù),當(dāng)gi＞w時(shí)等于1,否則為0;w表示劃分系統(tǒng)安全、失效二狀態(tài)的性能臨界值。

2 可修元件剩余壽命分析

設(shè)元件在某確定載荷歷程下的單周期壽命為T,其概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)分別為F(t)和 f(t).元件臨近失效時(shí)能在后繼檢測(cè)點(diǎn)被檢出并及時(shí)更新,實(shí)現(xiàn)“修復(fù)如新”,更新后的壽命分布與原分布相同。為描述簡(jiǎn)潔起見(jiàn),不計(jì)維護(hù)與更新時(shí)間,元件的檢測(cè)時(shí)間間隔為Δt.經(jīng)變量離散化[13]后得T的發(fā)生函數(shù)為

式中:UGF系數(shù)qj表示元件單周期壽命等于jΔt的概率,j=0,1,…,m,m為最長(zhǎng)壽命對(duì)應(yīng)的狀態(tài)序號(hào)。

記元件在tk=kΔt時(shí)刻的服役年齡和剩余壽命分別為Xk和Yk,則元件的單周期壽命T=Xk+Yk, k=0,1,2,….

若元件已在(tk-ti,tk)時(shí)段可靠服役了 ti年齡,其后還能繼續(xù)工作y時(shí)長(zhǎng),則該元件在tk時(shí)刻的剩余壽命等于y,全壽命等于ti+y,相應(yīng)的概率等于

3 可修系統(tǒng)剩余壽命分析

裝備系統(tǒng)的故障通常源自薄弱元件或結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)(以下簡(jiǎn)稱元件)的失效,形式通常為載荷(壓力、速度、溫度等)多次、長(zhǎng)期作用下的漸變失效,如疲勞、蠕變、磨損等,載荷、強(qiáng)度、宏微觀結(jié)構(gòu)的不確定性,都將影響元件與系統(tǒng)壽命的分布特征。對(duì)于多數(shù)機(jī)電裝備,疲勞是最常見(jiàn)的失效形式之一,且任一薄弱元件或細(xì)節(jié)的疲勞失效通常會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生故障,所以下文以可修串聯(lián)系統(tǒng)的疲勞失效為研究對(duì)象進(jìn)行闡述。

對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)載荷歷程L(t)下的高周服役元件,可忽略載荷樣本的過(guò)程不確定性,依據(jù)針對(duì)中位壽命的損傷等效原則,把載荷隨機(jī)過(guò)程當(dāng)量為元件等效恒幅循環(huán)應(yīng)力,再由恒幅應(yīng)力與服役壽命之間的非線性經(jīng)驗(yàn)關(guān)系(如應(yīng)用-循環(huán)次數(shù)-存活率曲線,即P-S-N曲線)預(yù)測(cè)元件的壽命分布。工程實(shí)踐中,通常由元件母體的平均使用情況確定載荷譜,由于母體載荷譜與不同批次、不同環(huán)境下各樣本群的載荷譜之間存在著一定差異,導(dǎo)致局部樣本載荷隨機(jī)過(guò)程的當(dāng)量幅值具有不確定性[16],可視為隨機(jī)變量,記作S.由此引出兩類元件壽命概率分析方法:1)直接在母體載荷譜下,根據(jù)確定的當(dāng)量應(yīng)力幅值計(jì)算元件壽命;2)在局部載荷譜下,根據(jù)隨機(jī)的當(dāng)量應(yīng)力幅值計(jì)算元件壽命。對(duì)于僅面向母體元件級(jí)的元件壽命分析,以上兩類方法的計(jì)算結(jié)果差異不大。

然而,在進(jìn)行母體系統(tǒng)級(jí)壽命分析時(shí),由于安裝在同一裝備系統(tǒng)中的一批元件共同處于該裝備系統(tǒng)局部樣本群的載荷環(huán)境下,該批元件在服役過(guò)程中僅承受局部載荷譜,導(dǎo)致不同裝備系統(tǒng)中各元件的安全裕度和壽命分布作群體性同向波動(dòng),在母體概率空間中呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)正相關(guān)性[17],使母體系統(tǒng)級(jí)壽命概率建模復(fù)雜化?？紤]到元件失效相關(guān)性,可嘗試3種方法實(shí)現(xiàn)母體系統(tǒng)級(jí)壽命分析:1)在母體載荷譜下,根據(jù)確定的當(dāng)量應(yīng)力幅值計(jì)算元件壽命,再導(dǎo)出元件壽命之間的積矩相關(guān)系數(shù),在多維正態(tài)空間中描述并計(jì)算系統(tǒng)壽命分布;2)在局部載荷譜下,將隨機(jī)當(dāng)量應(yīng)力幅值S離散化為si,i=1,…, mS,在各離散值si下首先按統(tǒng)計(jì)獨(dú)立分別計(jì)算元件及系統(tǒng)的條件壽命分布,再對(duì)系統(tǒng)條件壽命分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均獲得系統(tǒng)壽命分布。該方法基于共因隨機(jī)量離散化思想,間接處理了失效相關(guān)問(wèn)題[18];3)運(yùn)用Monte Carlo法,基于隨機(jī)枚舉原理計(jì)算系統(tǒng)壽命分布。鑒于方法1的數(shù)學(xué)處理瓶頸和方法3的計(jì)算復(fù)雜度,本節(jié)將引入U(xiǎn)GF,運(yùn)用方法2實(shí)現(xiàn)可修系統(tǒng)剩余壽命建模。

設(shè)可修串聯(lián)系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)由H個(gè)元件組成,各元件強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,任一元件失效系統(tǒng)即失效,更新失效元件后系統(tǒng)可繼續(xù)工作,則系統(tǒng)在tk時(shí)刻的剩余壽命分析步驟如下。

1)根據(jù)各元件的S-N曲線和母體中多個(gè)局部載荷譜統(tǒng)計(jì)信息,運(yùn)用損傷等效原理構(gòu)造系統(tǒng)薄弱元件組的當(dāng)量應(yīng)力幅值發(fā)生函數(shù)

式中:指數(shù)S(i)=(s1(i),…,sH(i))表示元件組應(yīng)力水平向量,其分量sh(i)表示元件Ch當(dāng)量應(yīng)力幅值的第i個(gè)離散值,系數(shù)表示相應(yīng)的概率。

2)根據(jù)各元件的P-S-N曲線分別構(gòu)造各元件在不同應(yīng)力水平下的條件壽命發(fā)生函數(shù)

式中:指數(shù)Th|i(j)表示元件Ch在應(yīng)力水平sh(i)下壽命的第j個(gè)離散值;系數(shù)pTh|i(j)表示相應(yīng)的概率; mTi表示元件在該應(yīng)力水平下壽命的狀態(tài)總數(shù)。

3)分別將元件C1,…,CH在各自對(duì)應(yīng)的應(yīng)力水平s1(i),…,sH(i)下的條件壽命發(fā)生函數(shù)代入(11)式,運(yùn)用(12)式求得各元件在應(yīng)力水平向量S(i)下的服役年齡發(fā)生函數(shù),進(jìn)一步由(13)式、(14)式定義的復(fù)合算子,計(jì)算各元件在S(i)下剩余壽命Ykh|i的發(fā)生函數(shù)

4)定義性能結(jié)構(gòu)函數(shù)Φ(a,b)=min(a,b),通過(guò)(3)式,對(duì)剩余壽命,…,的發(fā)生函數(shù)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算,得可修串聯(lián)系統(tǒng)在S(i)下剩余壽命發(fā)生函數(shù)

5)根據(jù)薄弱元件組的當(dāng)量應(yīng)力幅值發(fā)生函數(shù)US(z)的系數(shù)信息,對(duì)可修系統(tǒng)在S(1)、…、S(mS)下的剩余壽命發(fā)生函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均,最終求得可修系統(tǒng)在tk時(shí)刻的剩余壽命發(fā)生函數(shù)

以上各步計(jì)算中,須及時(shí)對(duì)發(fā)生函數(shù)進(jìn)行同類項(xiàng)或近似項(xiàng)合并,以便動(dòng)態(tài)縮減計(jì)算量。

4 數(shù)值算例

可修結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)由元件C1、C2、C3組成,如圖1所示,各元件應(yīng)力均源自同一共因載荷,元件強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,任一元件失效系統(tǒng)即發(fā)生故障。根據(jù)元件S-N曲線,分別在中位壽命處將元件組應(yīng)力隨機(jī)過(guò)程等效為恒幅應(yīng)力,幅值在局部樣本中近似為常數(shù),在母體中為隨機(jī)變量,幅值向量S的統(tǒng)計(jì)信息如表1第1、2列所示。根據(jù)元件P-S-N曲線,在5個(gè)不同恒幅應(yīng)力水平下各元件的條件壽命分布(對(duì)數(shù)正態(tài)分布)如表1第3、4列所示。

圖1 可修結(jié)構(gòu)系統(tǒng)Fig.1 Repairable structural system

表1 數(shù)值算例已知信息Tab.1 The given information on the numerical example

2)根據(jù)表1中第3、4列提供的壽命對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù),分別構(gòu)造各元件在5個(gè)應(yīng)力水平下的條件壽命發(fā)生函數(shù)UTh|i(z),h=1,2,3;i= 1,2,3,4,5.

3)分別將各元件在5個(gè)應(yīng)力水平下的條件壽命發(fā)生函數(shù)代入(11)式,運(yùn)用(12)式求得各元件在5個(gè)應(yīng)力水平下的服役年齡發(fā)生函數(shù),進(jìn)一步運(yùn)用(13)式、(14)式計(jì)算各元件在不同等效恒幅應(yīng)力水平下的剩余壽命發(fā)生函數(shù),再由連續(xù)化方法得到等效的概率密度。其中,應(yīng)力水平s1(1)下元件C1在t100=100×105次,t200=200×105次,t500=500×105次的剩余壽命概率密度分別如圖2、圖3、圖4所示。為驗(yàn)證分析方法的合理性,圖2、圖3、圖4同時(shí)給出了Monte Carlo法(統(tǒng)計(jì)模擬20000次)的計(jì)算結(jié)果,與UGF法分析結(jié)果非常接近。

4)根據(jù)性能結(jié)構(gòu)函數(shù)Φ(a,b)=min(a,b),運(yùn)用(3)式對(duì)各元件剩余壽命發(fā)生函數(shù)進(jìn)行復(fù)合,求取可修

該系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng),設(shè)定檢測(cè)時(shí)間間隔為105次。以下分析元件與系統(tǒng)任意時(shí)刻的剩余壽命。

圖2 應(yīng)力s1(1)下C1在t100時(shí)刻剩余壽命概率密度Fig.2 Probability density function(PDF)of residual life of C1under s1(1)at t100

圖3 應(yīng)力s1(1)下C1在t200時(shí)刻剩余壽命概率密度Fig.3 Probability density of residual life of C1under s1(1)at t200

圖4 應(yīng)力s1(1)下C1在t500時(shí)刻剩余壽命概率密度Fig.4 Probability density of residual life of C1under s1(1)at t500

1)根據(jù)表1中第1、2列數(shù)據(jù),構(gòu)造元件組的當(dāng)量應(yīng)力幅值發(fā)生函數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)分別在元件組應(yīng)力水平向量S(1),…,S(5)下的剩余壽命發(fā)生函數(shù)。

5)根據(jù)表1中第1列數(shù)據(jù),對(duì)系統(tǒng)在各應(yīng)力水平下的剩余壽命發(fā)生函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均,由(19)式計(jì)算該系統(tǒng)在t100=100×105次的剩余壽命發(fā)生函數(shù),得到相應(yīng)的概率密度(見(jiàn)圖5).

圖5 可修系統(tǒng)t100時(shí)刻剩余壽命概率密度Fig.5 Probability density of residual life of repairable system at t100

5 結(jié)論

1)在可修系統(tǒng)剩余壽命分析中引入U(xiǎn)GF法,針對(duì)機(jī)電裝備面向多生命周期設(shè)計(jì)、制造與服役的典型問(wèn)題,構(gòu)造各類UGF并定義相關(guān)復(fù)合算子,突破傳統(tǒng)二階矩法不能完成的更新過(guò)程分析時(shí)常出現(xiàn)的非單峰(見(jiàn)圖2)、非正態(tài)概率密度隨機(jī)變量多次復(fù)合運(yùn)算的技術(shù)瓶頸,實(shí)現(xiàn)可修系統(tǒng)剩余壽命概率建模。

2)UGF法基于載荷離散化思想,根據(jù)元件組在等效恒幅應(yīng)力各離散值下的壽命數(shù)據(jù)構(gòu)建元件條件壽命發(fā)生函數(shù),由自定義復(fù)合算子分別計(jì)算相應(yīng)的系統(tǒng)條件剩余壽命發(fā)生函數(shù),經(jīng)統(tǒng)計(jì)平均得系統(tǒng)剩余壽命分布,由此建立的系統(tǒng)剩余壽命概率模型反映了各元件因等效恒幅應(yīng)力不確定引發(fā)失效相關(guān)的內(nèi)在機(jī)理。

3)UGF法適用于元件壽命為任意分布隨機(jī)變量的一般場(chǎng)合,克服了傳統(tǒng)模型較多依賴概率分布類型的缺陷,減小了概率分布假設(shè)導(dǎo)致的主觀誤差,同時(shí)也避免了Monte Carlo方法導(dǎo)致的計(jì)算復(fù)雜度,可為裝備系統(tǒng)剩余壽命精細(xì)化分析開(kāi)辟新途徑。

4)UGF法暫未考慮隨機(jī)載荷歷程恒幅當(dāng)量化對(duì)元件壽命分散性造成的影響,有待進(jìn)一步深入研究和完善。

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Residual Life Analysis of Repairable Systems Based on Universal Generating Function Approach

ZHOU Jin-yu1,XIE Li-yang2,HAN Wen-qin1,ZHU Fu-xian1
(1.Hi-tech Key Laboratory of Equipment Remanufacture,Jiangsu University of Technology,Changzhou 213001,Jiangsu,China; 2.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110004,Liaoning,China)

The residual life of systems is an important analysis index for multi-lifecycle-based design, manufacture and service of mechanical and electrical equipment.Based on the renewal process theory,a practical method for residual life probability analysis of components and the whole system in a finite time interval is put forward by means of the universal generating function(UGF).For systems undergoing stationary stochastic load process with global uncertainty,the conditional life UGFs of components are constructed according to failure data under all constant-amplitude stress levels,and the corresponding conditional residual life UGFs of the whole system can be figured out by using self-defined composition operators of UGFs.Statistical average of UGFs is employed to obtain the residual life distribution of the repairable system.When the composition operators are executed,the computational costs can be reduced by a big margin by means of collecting like terms.The new model is suitable for random variables with arbitrary distributions and embodies the failure dependence attributed to the uncertainty of equivalent stress amplitude of each component.

TH122;TB114.3

A

1000-1093(2014)07-1103-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.07.026

2013-09-27

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275221);國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2012ZX04007-011)

周金宇(1973—),男,教授,碩士生導(dǎo)師。E-mail:yuhangyuan888@sina.com