郭飛鵬，李 婧，鞏 瓊，劉紅釗，秦 怡

引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的高速發(fā)展，圖像信息的非法竊取與傳播成為了目前最引人關(guān)注的信息安全問(wèn)題之一。為了應(yīng)對(duì)這個(gè)問(wèn)題，基于各種原理的圖像加密與隱藏技術(shù)被先后提出。其中，基于光學(xué)信息處理技術(shù)的圖像加密與解密系統(tǒng)尤為引人關(guān)注［1－9］，這是因?yàn)楣鈱W(xué)信息技術(shù)具有并行處理二維復(fù)數(shù)場(chǎng)的能力，并且，在加密過(guò)程中可以融合各種參數(shù)，例如光波的波長(zhǎng)、衍射距離以及偏振態(tài)等，因而具有極高的安全性。光學(xué)信息安全技術(shù)的代表性成果是由Refregier和Javidi在1995年提出的雙隨機(jī)相位編碼系統(tǒng)（double random phase encoding，DRPE），盡管該系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗暴力攻擊性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)［10］，但是其固有的缺陷限制了它的廣泛應(yīng)用。例如，該系統(tǒng)要求兩個(gè)隨機(jī)相位板必須在空間位置上精確對(duì)準(zhǔn)，解密時(shí)二者的相對(duì)偏差為兩個(gè)像素大小時(shí)即導(dǎo)致解密失敗［11］；其次，該系統(tǒng)的加密結(jié)果為復(fù)分布，必須采用全息裝置進(jìn)行記錄。相比之下，由 Nomura等人提出的基于光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)結(jié)構(gòu)（joint transform correlator，JTC）的光學(xué)加密系統(tǒng)則克服了上述缺點(diǎn)［12］。相比于DRPE系統(tǒng)，該系統(tǒng)由于明文和密鑰共享一個(gè)輸入平面，結(jié)構(gòu)更為緊湊。同時(shí)，其加密密文與解密結(jié)果均可以使用CCD等強(qiáng)度傳感器件直接記錄，因而受到了廣泛的重視，但是，JTC也逐漸暴露出一些嚴(yán)重的安全性問(wèn)題［13－15］。最近，E.Rueda等人引入了一個(gè)附加密鑰來(lái)提高JTC光學(xué)加密系統(tǒng)的安全性［16］。本文在E.Rueda所提出的改進(jìn)的JTC系統(tǒng)中，提出一種使用附加密鑰復(fù)用來(lái)實(shí)現(xiàn)彩色圖像加密的方法。利用本方法可以將一幅彩色圖像隱藏于一幅強(qiáng)度圖像之中，方便了密文的傳輸與管理。同時(shí)，計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果也表明，本方法具有較高的安全性。

1 使用附加密鑰的光學(xué)聯(lián)合相關(guān)變換加密系統(tǒng)

1.1 光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)加密系統(tǒng)

圖1（a）和圖1（b）分別描述了基于JTC結(jié)構(gòu)的圖像加密和解密的過(guò)程。

圖1 基于光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)的圖像加密系統(tǒng)Fig.1 Optical encryption using ajoint transform correlator architecture（encryption system and decryption system）

為了便于分析，采用一維的數(shù)學(xué)描述來(lái)分析。首先分析圖像的加密過(guò)程，如圖1（a）所示。原始明文圖像（字符“a”）g（x）和相位掩模a（x）重疊后置于輸入面上x(chóng)＝a處，復(fù)值密鑰h（x）則置于輸入面x＝b處，其為一純隨機(jī)相位板H（v）的傅里葉逆變換，且與a（x）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。這里v表示空間頻率。同時(shí)，整個(gè)輸入平面位于透鏡L的前焦平面上。加密時(shí)，輸入面被單色平面光波照明，經(jīng)過(guò)透鏡L的變換，透鏡L的后焦面上得到輸入函數(shù)的聯(lián)合功率譜，即：

式中：F［］為傅里葉變換算符；G（v）、A（v）分別為g（x）、α（x）的傅里葉變換；前面已經(jīng)提到，H（v）是一純相位函數(shù)，因而可知｜H（v）｜2＝1；符號(hào)?和＊分別表示卷積和取共軛運(yùn)算；JPS（v）為加密后的圖像，即密文。若直接對(duì)JPS（v）作傅里葉逆變換，則得到的解密結(jié)果為

式中：δ（x）表示狄拉克函數(shù)；·表示相關(guān)運(yùn)算。（2）式中的第一項(xiàng)為g（x）α（x）的自相關(guān)函數(shù)，位于坐標(biāo)x＝0處。由于隨機(jī)相位板α（x）的存在，該項(xiàng)表現(xiàn)為噪聲圖樣，在α（x）未知的情況下，無(wú)法由該項(xiàng)恢復(fù)出原始圖像g（x）。同理，（2）式中的第三項(xiàng)和第四項(xiàng)表示g（x）α（x）與h（x）的互相關(guān)函數(shù)，分別位于坐標(biāo)x＝b－a與x＝a－b處，也是一個(gè)噪聲圖像，因而在不知α（x）與h（x）的情況下無(wú)法恢復(fù)出原始圖像。

解密時(shí)所用的系統(tǒng)為一個(gè)光學(xué)4f系統(tǒng)，密鑰h（x）置于4f系統(tǒng)輸入平面，聯(lián)合功率譜則置于頻譜平面，由2個(gè)透鏡進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算后，得到的結(jié)果可表示為

在合理參數(shù)a、b情況下，解密的四項(xiàng)結(jié)構(gòu)可以在空間分開(kāi)。（3）式中的第四項(xiàng)位于x＝a處，給出了原始圖像的解密結(jié)果，用CCD等強(qiáng)度探測(cè)器件進(jìn)行觀察時(shí)，可以除去相位α（x）而恢復(fù)圖像g（x）。

1.2 改進(jìn)的光學(xué)聯(lián)合相關(guān)變換圖像加密系統(tǒng)

圖2 改進(jìn)的基于光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)的圖像加密系統(tǒng)Fig.2 Modified joint transform correlator architecture for optical encryption（encryption system and decryption system）

盡管基于JTC的光學(xué)加密系統(tǒng)有突出的優(yōu)點(diǎn)，但是目前已經(jīng)暴露出不少內(nèi)在的安全性問(wèn)題，例如該系統(tǒng)可被已知明文攻擊以及選擇明文攻擊破解［14－15］。為了提高安全性，E.Rueda等人在JTC結(jié)構(gòu)中引入一個(gè)附加的隨機(jī)相位板，將照射輸入平面的光波由平面波改換為被隨機(jī)相位板調(diào)制后的光波，系統(tǒng)的安全性得到了較大提高。該系統(tǒng)的加密和解密過(guò)程如圖2所示。入射的平面光波首先被附加密鑰（additional key，AK）所調(diào)制，經(jīng)過(guò)距離為d的衍射之后變?yōu)檎穹拖辔痪鶠榘自肼暤碾S機(jī)光波場(chǎng)，用該隨機(jī)光波前來(lái)照射輸入平面，進(jìn)而再用透鏡L做傅里葉變換得到輸入平面的聯(lián)合功率譜，因?yàn)樵撓到y(tǒng)引入了一個(gè)附加密鑰AK，我們把這種加密系統(tǒng)稱(chēng)為采用附加密鑰的光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)系統(tǒng)（additional key joint transform correlator，ARJTC）。

2 利用AKJTC實(shí)現(xiàn)彩色圖像加密

彩色圖像由3個(gè)獨(dú)立分量組成，如在RGB空間，由R、G、B三個(gè)分量組成，在HIS空間由H、I、S三個(gè)分量組成等，下面以RGB空間為例進(jìn)行討論，如圖3所示。假設(shè)待加密的原始彩色圖像為g（x），先將其分解成 R、G、B 3個(gè)分量gr（x）、gg（x）、gb（x）。首先利用 AKJTC系統(tǒng)分別對(duì)這3幅原始圖像進(jìn)行加密，并假設(shè)3個(gè)附加密鑰分別為AKr，AKg，AKb。得到3個(gè)聯(lián)合功率譜 AKJPSr、AKJPSg、AKJPSb，將這三者進(jìn)行數(shù)學(xué)疊加，得到復(fù)合聯(lián)合功率譜MAKJPS，該過(guò)程可表示為

此時(shí)，MAKJPS即最終的加密結(jié)果，即密文。原始圖像的三基色分量gr（x）、gg（x）、gb（x）的信息就隱藏在這一個(gè)強(qiáng)度圖像之中。需要說(shuō)明的是，在分別對(duì)3個(gè)原始圖像使用AKJTC系統(tǒng)進(jìn)行加密時(shí)，除了附加密鑰之外，所有其他參數(shù)，例如光波波長(zhǎng)λ、相位掩模板α（x）以及復(fù)值密鑰h（x）均相同。

在AKJTC結(jié)構(gòu)中，附加密鑰用來(lái)直接對(duì)平面光波進(jìn)行調(diào)制，所產(chǎn)生的散斑場(chǎng)用來(lái)照射輸入平面來(lái)產(chǎn)生聯(lián)合功率譜，由于不同的附加密鑰所產(chǎn)生的散斑場(chǎng)相互獨(dú)立，因而可以預(yù)期，附加密鑰對(duì)解密結(jié)果是非常敏感的，使用不正確的附加密鑰得到的是類(lèi)似于噪聲的解密結(jié)果。這種現(xiàn)象提供了利用附加密鑰復(fù)來(lái)實(shí)現(xiàn)多圖像加密的可能。解密時(shí)，采用的附加密鑰不同，則得到的應(yīng)該是不含有混疊項(xiàng)的、對(duì)應(yīng)的該附加密鑰的原始圖像。這就是我們所提方法的基本原理。

圖3 基于附加密鑰復(fù)用的彩色圖像加密系統(tǒng)Fig.3 Color image encryption by additional key multiplexing（encryption system and decryption system）

3 計(jì)算機(jī)模擬

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，在PC機(jī)上使用MATLAB 7.0進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。模擬中，附加密鑰至輸入平面的距離d＝30mm，照明所用光波波長(zhǎng)λ＝632.8mm，圖4（a）中給出了原始彩色圖像。圖4（b）～（d）給出了原始圖像的R、G、B分量，即gr（x）、gg（x）、gb（x）。原始圖像和分量圖像的大小為256pixel×256pixel。圖4（e）、（f）、（g）則表示在對(duì)三幅原始密圖像進(jìn)行加密時(shí)所采用的三個(gè)附加密鑰，即圖3中所示的AKr、AKg、AKb，均為隨機(jī)分布于［0，2π］的隨機(jī)相位板。圖4（h）、（i）、（j）即采用AKJTC方法對(duì)gr（x）、gg（x）、gb（x）加密所得的功率譜，圖4（k）則為 AKJPSr、AKJPSg、AKJPSb的疊加結(jié)果，即復(fù)合功率譜密度MAKJPS。

圖4 所提加密方法的加密結(jié)果Fig.4 Encryption results with proposal

利用圖3（b）所示的結(jié)構(gòu)對(duì)圖4（k）中的復(fù)合聯(lián)合功率譜進(jìn)行解密，相應(yīng)的解密結(jié)果在圖5中給出。圖5（a）、（b）、（c）是分別使用附加密鑰 AKr、AKg、AKb進(jìn)行解密的結(jié)果，可以看出，原始圖像的R、G、B分量被正確地解密出來(lái)。為了定量描述解密結(jié)果的質(zhì)量，此處引入相關(guān)系數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，其定義為

圖5 所提加密系統(tǒng)的解密結(jié)果Fig.5 Decryption results with proposed method

為了進(jìn)一步證實(shí)該方法的安全性，我們考慮攻擊者通過(guò)某種途徑竊取到了這3個(gè)附加密鑰，但是無(wú)法得知附加密鑰與R、G、B分量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。此時(shí)，所有可能錯(cuò)誤的組合情況在圖6中給出?？梢钥闯觯藭r(shí)雖然各個(gè)通道均被正確解密，但是均得到了不正確的原始圖像的重建結(jié)果，獲取了不正確的圖像信息。因此，本方法既要求攻擊者掌握3個(gè)附加密鑰，同時(shí)也須掌握密鑰與R、G、B分量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具有較高的安全性。

圖6 解密出的R、G、B分量顏色搭配錯(cuò)誤時(shí)的結(jié)果Fig.6 Color decrypted images corresponding to example of figure 4（a），showing cases of possible wrong reconstruction

相比于先前的的彩色圖像加密算法，本方法的優(yōu)點(diǎn)可總結(jié)如下：首先，由于JTC結(jié)構(gòu)的特性，使得本方法的加密過(guò)程對(duì)環(huán)境的要求更為寬松。在以往基于DPRE系統(tǒng)的彩色圖像加密方法中，無(wú)論是加密還是解密均要求兩個(gè)隨機(jī)相位板必須在空間位置上精確對(duì)準(zhǔn)，解密時(shí)二者的相對(duì)偏差為兩個(gè)像素大小時(shí)即導(dǎo)致解密失?。?1］，而本方法則無(wú)此苛刻的要求。其次，由于本方法只需要記錄強(qiáng)度，避免了在記錄復(fù)數(shù)密文時(shí)所需要的干涉結(jié)構(gòu)，因而提高了加密的效率，同時(shí)節(jié)省了昂貴的額外光學(xué)器件［12］。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的彩色圖像加密方法，可將一幅彩色圖像隱藏于一個(gè)實(shí)值目標(biāo)圖像（復(fù)合功率譜）之中。該方法基于改進(jìn)光學(xué)聯(lián)合變換相關(guān)結(jié)構(gòu)中的附加密鑰復(fù)用。在加密過(guò)程中，要求除了附加密鑰和原始圖像，加密系統(tǒng)的其他密鑰和參數(shù)均完全相同。理論分析和計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果表明，附加密鑰可作為一個(gè)有效的參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)彩色圖像加密。本方法的有效性已經(jīng)被計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果證實(shí)。

［1］ Qin Yi，Gong Qiong，Lyu Xiaodong，et al.Double image encryption system based on principles of interference［J］.Journal of Applied Optics，2013，34（2）：260－266.

秦怡，鞏瓊，呂曉東，等.基于干涉原理的雙圖像加密系統(tǒng)［J］.應(yīng)用光學(xué)，2013，34（2）：260－266.

［2］ Qin Yi，Wang Hongjuan，Wang Li，et al.Virtual optical image encryption based on random amplitudephase encoding［J］.Opto－Electronic Engineering，2012，39（7）：126－131.

秦怡，王紅娟，王麗，等.隨機(jī)振幅－相位編碼虛擬光學(xué)加密系統(tǒng)［J］.光電工程，2012，39（7）：126－131.

［3］ Gai Qi，Wang Mingwei，Li Zhilei，et al.Doubled random phase encryption based on discrete quaternion Fourier transforms［J］.Acta Physica Sinica，2008，57（11）：6955－6961.

蓋琦，王明偉，李智磊，等，基于離散四元數(shù)傅里葉變換的雙隨機(jī)相位加密技術(shù)［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，57（11）：6955－6961.

［4］ Liu Zhengjun，Liu Shutian.Double image encryption based on iterative fractional Fourier transform［J］.Optics Communications，2007，275（2）：324－329.

［5］ Liu Zhengjun，Dai Jingmin，Sun Xiaogang，et al.Triple image encryption scheme in fractional Fourier transform domains［J］.Optics Communications，2009，282（4）：518－522.

［6］ Zhou Nanrun，Wang Yixian，Gong Lihua，et al.Novel single－channel color image encryption algorithm based on chaos and fractional Fourier transform［J］.Optics Communications，2011，284（12）：2789－2796.

［7］ SiTu Guohai，Zhang Jingjuan.Multiple－image encryption by wavelength multiplexing［J］.Optics Letters，2005，30（11）：1306－1308.

［8］ Zhang Yan，Wang Bo.Optical image encryption based on interference［J］.Optics Letters，2008，33（21）：2443－2445.

［9］ Wang Xiaogang，Zhao Daomu.Security enhancement of a phase－truncation based image encryption algorithm［J］.Optics Letters，2011，50（36）：6645－6651.

［10］ Refregier P，Javidi B.Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding［J］.Optics Letters，1995，20（7）：767－769.

［11］ Wang Bor，Sun Chingcherng，Su Weichia，et al.Shift－tolerance property of an optical double－random phase－encoding encryption system［J］.Optics Letters，2000，39（26）：4788－4793.

［12］ Nomura T，Javidi B.Optical encryption using ajoint transform correlator architecture［J］.Optical Engineering，2000，39（8）：2031－2035.

［13］ Qin Wan，Peng Xiang，Meng Xiangfeng.Cryptanalysis of optical encryption schemes based on joint transform correlator architecture［J］.Optical Engineering，2011，50（2）：0282011－0282013.

［14］ Barrera J F，Vargas C，Tebaldi M，et al.Chosenplaintext attack on a joint transform correlator encrypting system［J］.Optics Communications，2010，283（20）：3917－3921.

［15］ Barrera J F，Vargas C，Tebaldi M，et al.Knownplaintext attack on a joint transform correlator encrypting system［J］.Optics Letters，2010，35（21）：3553－3555.

［16］ Rueda E，Tebaldi M，Torroba R，et al.Three－dimensional key in a modified joint transform correlator encryption scheme［J］.Optics Communications，2011，284（19）：4321－4326.

［17］ Wu Kenan，Hu Jiasheng，Lin Yong.A novel meth

od of key design in optical encryption system based on JTC architecture［J］.Optics and Precision Engineering，2007，15（4）：577－581.

吳克難，胡家升，林勇.基于JTC的光學(xué)加密系統(tǒng)密鑰設(shè)計(jì)新方法［J］.光學(xué)精密工程，2007，15（4）：577－581.