黃 阜，周 凱，凌同華

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué)橋梁工程安全控制省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙 410004）

隨著中國(guó)城市化進(jìn)程的加速，大量人口向城市聚集，造成城市人口密度日益增大，建設(shè)用地越來(lái)越緊張。為了解決這一問(wèn)題，地下空間的開(kāi)發(fā)與利用得到了各級(jí)規(guī)劃部門的廣泛重視，越來(lái)越多的淺埋地下建筑也出現(xiàn)在市政建設(shè)中。由于這些淺埋地下結(jié)構(gòu)上部覆蓋的土體很薄，在開(kāi)挖過(guò)程中易出現(xiàn)由支護(hù)措施不當(dāng)導(dǎo)致的地表塌陷。因此，淺埋硐室的穩(wěn)定性問(wèn)題引起了許多學(xué)者的關(guān)注。楊峰［1］等人利用極限分析上限有限元理論，建立了粘性土地層不排水條件下淺埋隧道的穩(wěn)定性分析模型，繪制了淺埋隧道發(fā)生破壞時(shí)的速度場(chǎng)，得到了淺埋隧道極限狀態(tài)下的破壞模式。張成平［2］等人基于普氏平衡拱理論，通過(guò)對(duì)淺埋暗挖隧道施工引起的地表塌陷進(jìn)行深入分析，揭示了地表塌陷的發(fā)生機(jī)理，并結(jié)合地層條件和施工情況得出了誘發(fā)地表塌陷的原因。針對(duì)軟巖淺埋大跨隧道開(kāi)挖易導(dǎo)致地表建筑發(fā)生過(guò)大沉降，覃衛(wèi)民［3］等人采用數(shù)值模擬與現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)相結(jié)合的方法，對(duì)隧道開(kāi)挖過(guò)程中地表建筑的安全性進(jìn)行了全面、深入的研究。黃阜［4］等人根據(jù)土體的非線性破壞特征，構(gòu)建了淺埋硐室拱頂圍巖的曲線形破壞機(jī)制，將孔隙水壓力所做的功率作為一個(gè)外力功率引入極限分析上限定理的虛功率方程中，得到了孔隙水壓力作用下淺埋硐室頂部塌落面的上限方程，并分析了孔隙水壓力對(duì)淺埋硐室塌落面的影響。這些針對(duì)淺埋硐室穩(wěn)定性的研究均采用的是二維平面分析方法。而在實(shí)際工程中，巖體的破壞過(guò)程是一個(gè)三維演化過(guò)程，二維平面分析僅能反映圍巖破壞面的二維尺寸，無(wú)法真實(shí)地表現(xiàn)實(shí)際工程中的三維破壞特征。因此，針對(duì)巖土工程中二維分析方法的缺陷，許多學(xué)者開(kāi)始運(yùn)用三維分析方法來(lái)對(duì)各種巖土工程問(wèn)題進(jìn)行研究。Lam［5］等人將基于極限平衡法的二維邊坡模型拓展成了一種三維模型，并采用三維有限元方法，研究了這個(gè)模型的柱間應(yīng)力函數(shù)，得到了該三維計(jì)算模型的安全系數(shù)。Anagnostou［6］等人構(gòu)筑了一種土壓盾構(gòu)隧道開(kāi)挖面的三維滑動(dòng)機(jī)制，采用極限平衡法，研究了排水條件下隧道開(kāi)挖面的穩(wěn)定性?；跇O限分析上限定理，Leca［7］等人提出了經(jīng)典的淺埋隧道開(kāi)挖面的三維圓錐體型破壞機(jī)制。這種破壞機(jī)制不但清晰地描述了淺埋隧道開(kāi)挖面的破壞形式，而且為淺埋隧道開(kāi)挖面支護(hù)力提供了精確的上限解。

考慮到三維分析方法有諸多的優(yōu)點(diǎn)，作者擬構(gòu)建一種淺埋硐室頂部圍巖的三維旋轉(zhuǎn)體形破壞機(jī)制，根據(jù)極限分析上限定理中內(nèi)能耗散功率和外力功率計(jì)算，得到包含該三維破壞面方程的目標(biāo)函數(shù)，然后利用變分法推導(dǎo)出淺埋硐室頂部圍巖塌落體曲面方程的上限解，以期為淺埋硐室頂部圍巖潛在塌方范圍的預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)。

1 極限分析上限定理

極限分析上限定理［8］可以表述為：在一個(gè)假設(shè)滿足速度邊界條件和應(yīng)變與速度相容條件的機(jī)動(dòng)許可速度場(chǎng)中，荷載Ti和Xi均大于或等于真實(shí)的極限荷載，并由虛功率方程確定。

2 Hoek－Brown非線性破壞準(zhǔn)則

根據(jù)極限分析上限定理，在地下硐室圍巖的破壞機(jī)制中，由于塌落體與圍巖產(chǎn)生了相對(duì)滑移，造成了塌落面上的速度不連續(xù)，因而該塌落面也可稱為速度間斷面。Fraldi［9］等人的研究成果表明，速度間斷面上，任一點(diǎn)的內(nèi)能耗散功率可由切向應(yīng)力產(chǎn)生的耗散功率和法向應(yīng)力產(chǎn)生的耗散功率迭加得到。因此，本研究采用由主應(yīng)力和切應(yīng)力表示的Hoek－Brown破壞準(zhǔn)則來(lái)計(jì)算速度間斷面上的內(nèi)能耗散功率。由主應(yīng)力和切應(yīng)力表示的Hoek－Brown破壞準(zhǔn)則［10］為：

式中：A和B均為無(wú)量綱的材料參數(shù)；τ為切應(yīng)力；σn為有效主應(yīng)力；σci為巖體的單軸抗壓強(qiáng)度；σtm為巖體拉伸強(qiáng)度。

3 淺埋硐室頂部圍巖三維塌落體上限分析

3.1 淺埋硐室頂部圍巖塌落體三維破壞機(jī)制

Fraldi［9］等人提出了一種由任意曲線構(gòu)成的曲線形深埋隧道頂部圍巖二維破壞機(jī)制。由于這種破壞機(jī)制很好地反映了巖土體的非線性破壞特性，而且推導(dǎo)出的塌落面形狀與實(shí)際工程中發(fā)生的塌落面形狀十分吻合，因而在隧道圍巖塌落面研究中得到了廣泛的應(yīng)用［11－12］。但是，這種二維破壞機(jī)制僅能反映塌落面的寬度和高度，不能真實(shí)地反映塌落面的三維尺寸，因而在地下結(jié)構(gòu)拱頂圍巖塌落范圍的研究中存在著一定的不足。基于這個(gè)原因，作者擬將Fraldi［9］等人提出的二維破壞機(jī)制擴(kuò)展到三維空間中，構(gòu)建一種三維破壞機(jī)制來(lái)描述淺埋矩形硐室頂部圍巖的破壞模式。該三維破壞機(jī)制的構(gòu)建過(guò)程為：假設(shè)矩形硐室頂部有兩條關(guān)于z軸對(duì)稱的速度間斷線沿曲線f（x）延伸到地表，構(gòu)成了一個(gè)上窄下寬的塌落面；然后令f（x）繞z軸旋轉(zhuǎn)360°，形成了一個(gè)“倒漏斗”型塌落體；這個(gè)塌落體由半徑分別為L(zhǎng)1和L2的圓和以f（x）為母線的旋轉(zhuǎn)曲面組成。由此塌落體的構(gòu)建過(guò)程可知，該塌落體的體積和側(cè)面積均采用解析數(shù)學(xué)方法求出。因此，在極限分析上限定理的能耗計(jì)算中，可根據(jù)塌落體的體積和側(cè)面積，計(jì)算出該三維破壞機(jī)制的外力功率和內(nèi)能耗散功率。

圖1 淺埋硐室頂部圍巖塌落體的三維破壞模式Fig.1 Three－dimensional failure mechanism of rock mass above shallow cavity

3.2 基于三維破壞機(jī)制的淺埋硐室能耗計(jì)算

將由切向應(yīng)力產(chǎn)生的耗散功率和法向應(yīng)力產(chǎn)生的耗散功率進(jìn)行迭加，三維塌落體外表面上任意一點(diǎn)的耗散功率［9］為：

將式（3）沿著整個(gè)塌落體側(cè)面積進(jìn)行分解，可以得到塌落體側(cè)表面上由切向應(yīng)力和法向應(yīng)力產(chǎn)生的耗散功率。

在速度場(chǎng)中，重力功率由塌落體體積求得。

式中：γ為巖體的容重，kN／m3。

隧道支護(hù)力q的功率為：

與深埋隧道不同，由于淺埋隧道的破壞面延伸到了地面，地表荷載會(huì)對(duì)破壞面的形狀產(chǎn)生重大的影響，因此，在對(duì)淺埋隧道破壞面進(jìn)行研究時(shí)，必須考慮地表荷載的功率Pσs。該功率可根據(jù)塌落體延伸到地表的面積和地表荷載σs求出。

為了求出塌落體表達(dá)式的上限解，利用耗散功率和外力功率之差，構(gòu)建了一個(gè)包含曲線f（x）的目標(biāo)函數(shù)ξ。

將PD，Pγ，Pq和Pσs的表達(dá)式代入式（8），可得：

式（10）為一個(gè)常系數(shù)非齊次二階線性微分方程，可采用解析方法求出f（x）的解析式。

將式（11）代回式（10），可求出泛函ψ的極值。

將式（12）代入式（9）中，得到目標(biāo)函數(shù)：

對(duì)于淺埋隧道來(lái)說(shuō)，埋深H是已知的。由于塌落體都延伸到地表，因此根據(jù)圖1所示的幾何條件，可得：

將式（11）代入式（14），得：

根據(jù)極限分析上限定理，塌落面上的耗散功率等于總外力功率，即ξ＝0，可以得到另外一個(gè)關(guān)于L1和L2等式：

聯(lián)立式（15）和（16），得到了一個(gè)關(guān)于L1和L2的非線性方程組。采用數(shù)值方法，可以解出關(guān)于L1和L2的數(shù)值解。將L1和L2代回式（11）后，得到了f（x）繞z軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程：

根據(jù)該曲面方程，利用數(shù)值軟件Matlab中的三維繪圖命令，即可繪制出淺埋硐室頂部圍巖塌落體的三維形狀。

4 不同參數(shù)對(duì)淺埋硐室頂部塌落體形狀的影響

為了分析不同參數(shù)對(duì)淺埋硐室頂部圍巖塌落體形狀的影響，根據(jù)旋轉(zhuǎn)體曲面方程的表達(dá)式，繪制了當(dāng)參數(shù)分別為A＝0.35，0.5和2／3，B＝0.5，0.6和q＝0，10和20kPa，σs＝0，50和100kPa，H＝10m時(shí)，隧道塌落體的三維形狀，分別如圖2～7所示。

圖2 不同的B時(shí)，淺埋硐室頂部塌落體的形狀Fig.2 Effect of values of the parameter Bon the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

圖3 不同的A時(shí)，淺埋硐室頂部塌落體的形狀Fig.3 Effect of values of the parameter Aon the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

從圖2～7中可以看出，淺埋隧道頂部圍巖的塌落體為一個(gè)由曲線f（x）繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體，其形狀類似于一個(gè)上窄下寬的倒置“漏斗”。在Hoek－Brown破壞準(zhǔn)則中，參數(shù)A，B，σtm及γ均對(duì)隧道頂部塌落體的形狀和塌落范圍有較大的影響；隨著參數(shù)A和σtm的減小，塌落體的上、下底面半徑L1和L2均減小，塌落體的體積相應(yīng)地減小；與此相反，隨參數(shù)B和γ的增大，塌落體的上、下底面半徑L1和L2均減小，塌落體的體積相應(yīng)地減小。另一方面，由于淺埋隧道的塌落體延伸到了地表，因此地表荷載σs對(duì)塌落體形狀也產(chǎn)生了較大的影響，塌落體的體積隨地表荷載σs的增大而增大，隨支護(hù)力q的增大而減小。因此，對(duì)于淺埋隧道而言，當(dāng)?shù)乇砗奢d較小而支護(hù)力較大時(shí)，隧道頂部圍巖的塌落范圍減小，有利于隧道的穩(wěn)定。

圖7 不同的σs時(shí)，淺埋硐室頂部塌落體的形狀Fig.7 Effect of values of the parameterσson the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

5 結(jié)論

1）根據(jù)極限分析上限定理和Hoek－Brown非線性破壞準(zhǔn)則，構(gòu)建了淺埋硐室頂部圍巖塌方的三維破壞機(jī)制。采用能耗計(jì)算和變分法，繪制出了淺埋硐室頂部圍巖塌落體的三維圖像。研究成果可以為淺埋硐室頂部圍巖潛在塌落范圍研究提供理論依據(jù)。

2）巖體參數(shù)A，B，σtm及γ均對(duì)隧道頂部塌落體的形狀和塌落范圍有較大的影響；隨著A和σtm的減小、B和γ的增大，塌落體體積減小。因此，較小的A和σtm及較大的B和γ使得地下硐室頂部圍巖的潛在塌落范圍減小，有利于硐室穩(wěn)定性的提高。

3）當(dāng)?shù)乇砗奢dσs較大且支護(hù)力q較小時(shí)，隧道頂部圍巖的塌落范圍較大，對(duì)于淺埋硐室的穩(wěn)定較為不利。因此，在地表建筑物較多、地表荷載較大的城市中心地帶修建地下硐室時(shí)，需要采用強(qiáng)度更高的支護(hù)結(jié)構(gòu)，以降低地下硐室的頂部圍巖發(fā)生垮塌的風(fēng)險(xiǎn)。

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