丁俊　梁英波

摘 要： 文章針對信號與系統(tǒng)課程中的周期信號進(jìn)行頻域分解與合成分析時公式推導(dǎo)多、求解復(fù)雜、吉布斯現(xiàn)象不直觀等問題，提出借助MATLAB仿真處理，得到直觀的合成圖形，加深學(xué)生對傅立葉級數(shù)和吉布斯現(xiàn)象的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞： MATLAB仿真 吉布斯現(xiàn)象 傅里葉級數(shù)

以傅里葉級數(shù)表達(dá)方波會出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象，非理想方波中的振鈴現(xiàn)象被證明與此現(xiàn)象有關(guān)。振鈴效應(yīng)是影響復(fù)原圖像質(zhì)量的眾多因素之一[1]，其典型表現(xiàn)是在圖像灰度劇烈變化的鄰域出現(xiàn)類吉布斯分布，下面筆者以周期方波信號展開成三角形式的傅里葉級數(shù)為例具體說明傅里葉級數(shù)如何展開和什么是吉布斯現(xiàn)象。

1.周期方波信號展開為傅里葉級數(shù)

我們對周期信號進(jìn)行頻域分析，把周期方波信號展開成傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式，用計算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，改變諧波分量的項(xiàng)數(shù)，可以演示信號分析中的吉布斯現(xiàn)象。一個信號f（t）的三角函數(shù)型的傅里葉級數(shù)明確地表示出f（t）的正弦分量?？梢酝ㄟ^將f（t）頻譜中的正弦相加合成f（t）下面合成周期方波信號，通過逐步將其頻譜中的連續(xù)諧波相加，觀察其結(jié)果與信號f（t）的相似性（見圖1）。

由上面的分析知道，周期方波信號的分解僅含有一、三、五、七等奇次諧波分量。

2.周期方波信號的合成

傅里葉級數(shù)的分解中含有大量數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，學(xué)生不易理解和掌握。故筆者嘗試將仿真軟件MATLAB引入到傅立葉分解傳統(tǒng)的教學(xué)中，利用MATLAB軟件的強(qiáng)大的仿真功能，把計算結(jié)果以圖的形式形象直觀地顯示出來[3]，借助MATLAB仿真軟件，用有限項(xiàng)傅里葉級數(shù)逼近方波信號的情況如圖2所示。

其中圖中的N表示三角形式的傅里葉分解的級數(shù)。由仿真波形可以清楚地看到第一項(xiàng)是粗略方波的近似，級數(shù)所取項(xiàng)數(shù)愈多，合成波形（除間斷點(diǎn)外）愈接近于原方波信號，其均方誤差越小，可以進(jìn)一步說明：低頻成分表示的是合成波形的主體輪廓。高頻成分表示的是合成波形的細(xì)節(jié)部分。同時，由仿真波形好可以看出：級數(shù)所取項(xiàng)數(shù)愈多，在間斷點(diǎn)附近，尖峰愈靠近間斷點(diǎn)。

由仿真波形和上表可以進(jìn)一步看出，從圖中可以看出，在不連續(xù)點(diǎn)附近，部分有起伏，其峰值幾乎與N無關(guān)。隨著N的增加，部分和的起伏就向不連續(xù)點(diǎn)壓縮，但是對有限的N值，起伏的峰值大小保持不變而趨于一個常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，即使n→∞，在間斷點(diǎn)處尖峰仍不能與之吻合，存在9%左右的偏差。并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別，這種現(xiàn)象叫吉伯斯（J.Gibbs）現(xiàn)象。為了消除Gibbs現(xiàn)象，在取有限項(xiàng)傅里葉級數(shù)的時候可加平滑譜窗進(jìn)行處理。

當(dāng)我們學(xué)習(xí)圖像的傅里葉變換，由于其變換本身有多種成熟的快速傅里葉變換算法，而且性能接近于最佳，從而獲得較早的也比較廣泛的研究。它的不足之處在于：相鄰子圖像數(shù)據(jù)在各個邊界不連續(xù)造成的所謂Gibbs現(xiàn)象。這是由于圖像數(shù)據(jù)的二維傅里葉變換實(shí)質(zhì)上是一個二維圖像的傅里葉展開式。當(dāng)然這個二維圖像應(yīng)被認(rèn)為是周期性的。由于子圖像的變換系數(shù)在邊界不連續(xù)，而將造成復(fù)原的子圖像在其邊界也不連續(xù)，于是由復(fù)原子圖像構(gòu)成的整幅復(fù)原圖像將呈現(xiàn)隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結(jié)構(gòu)，影響整個圖像質(zhì)量，當(dāng)子圖像尺寸較小時情況更嚴(yán)重。

3.結(jié)語

筆者借助MATLAB仿真軟件實(shí)現(xiàn)了周期方波信號的合成，在合成中直觀地驗(yàn)證和演示吉布斯現(xiàn)象，該方法計算量大大降低、效果直觀，不僅可以很好地加深學(xué)生對這一部分知識的理解，更好地將理論和實(shí)踐相結(jié)合，而且對信號分析和處理的基本方法有更深一層的理解，更重要的是為學(xué)生提供用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的一種新方法，這將對以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)提供寶貴經(jīng)驗(yàn)，該方法可以推廣到信號與系統(tǒng)的其他章節(jié)的教學(xué)中，同時能為后續(xù)的數(shù)字圖像處理課提供借鑒。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳定允，張利紅.一種改進(jìn)的圖像盲復(fù)原算法[J].周口師范學(xué)院學(xué)報，2011，28（2）：52-54.

[2]吳大正，楊林耀，張永瑞，王松林，郭寶龍.信號與線性系統(tǒng)分析[M].高等教育出版社，2009.

[3]程鈴，徐冬冬.Matlab仿真在通信原理教學(xué)中的應(yīng)用[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2010，29（2）：117-120.