關(guān)于確定錐面上一條準(zhǔn)線方程的兩個(gè)誤區(qū)

安佰玲，黃保軍，杜翠真

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

1 引言

在空間曲面一般理論中，曲面可以看作一族曲線沿其準(zhǔn)線運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡，對(duì)曲線族生成曲面而言，準(zhǔn)線就是和曲線族中的每一條曲線均相交的空間曲線.準(zhǔn)線方程的確定對(duì)于研究曲面的幾何特征和形狀有著重要的價(jià)值.一方面，確定一條準(zhǔn)線的方程是建立曲面方程的前提，另一方面對(duì)于給定方程的曲面的幾何特征也可通過其上的一條準(zhǔn)線方程研究.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生對(duì)錐面準(zhǔn)線的幾何特征的描述比較清晰，但就具體一個(gè)錐面的方程，如何確定其一條準(zhǔn)線這一問題，存在兩個(gè)誤區(qū)：任一個(gè)不過頂點(diǎn)的平面與錐面的交線均可作為錐面的準(zhǔn)線；對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面為其一條準(zhǔn)線.本文主要針對(duì)上述兩個(gè)誤區(qū)，分析其錯(cuò)誤根源，并給出確定一般錐面上一條準(zhǔn)線方程的一般方法，在此基礎(chǔ)上給出二次錐面準(zhǔn)線方程的特征.

下面給出本文所需要的相關(guān)結(jié)論與約定記號(hào).

定義1．1［1］對(duì)于空間中的一條曲線Γ和不在曲線Γ 上的一點(diǎn)A，通過點(diǎn)A并與曲線Γ 相交的一族直線構(gòu)成的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，曲線Γ 稱為錐面的準(zhǔn)線.

引理1.1［2］一個(gè)關(guān)于x-a,y-b,z-c的n(n＞0)次齊次方程表示一個(gè)以A(a,b,c)為頂點(diǎn)的錐面.

引理1.2［1］k≠0 為準(zhǔn)線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面方程為

引理1.3錐面與過錐面頂點(diǎn)的平面的交線或者為頂點(diǎn)或者為直線.

為下文敘述方便，約定：

λ1,λ2,λ3為A的特征值，q1,q2,q3為A的屬于λ1,λ2,λ3的相互正交的單位特征向量，記

2 一般錐面準(zhǔn)線方程的特征

由定義1可知，空間中任意一條不過頂點(diǎn)且與錐面每一條直母線相交的曲線均可作為錐面的準(zhǔn)線，于是特別地，取一個(gè)不過頂點(diǎn)，且與每條直母線均相交的平面，其與錐面的交線可作為錐面的準(zhǔn)線.下面的定理結(jié)合準(zhǔn)線的幾何特征，給出一種準(zhǔn)線的解析式.

定理2.1設(shè)錐面S:F(x,y,z)=0，P0(x0,y0,z0)為S的頂點(diǎn)，則為S的一條準(zhǔn)線?Ax0+By0+Cz0+D≠0,且

不表示直線（或者說只表示一個(gè)點(diǎn)）.

證明設(shè)平面 π:Ax+By+Cz+D=0，由定義1 可知，為S的一條準(zhǔn)線?P0(x0,y0,z0)?Γ，且S上不存在與 π 平行的直線 ?P0(x0,y0,z0)? π，且S與 πP0的交線不是直線，其中πP0為過P0且與 π 平行的平面 ?Ax0+By0+Cz0+D≠0,且不表示直線.

由引理3，方程組（*）不表示直線，意味著方程組（*）只表示一個(gè)點(diǎn)即頂點(diǎn).

推論1設(shè)S:F(x,y,z)=0 為頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面，則為S的一條準(zhǔn)線?D≠0,且方程組

證明推論1的證明由定理2.1即得.

推論2設(shè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面S:F(x,y,z)=0，F(xiàn)(x,y,z)=0 可變形為，則為S的一條準(zhǔn)線?F(x,y,0)=0 只有零解.

證明由定理2.1及推論1即得.

根據(jù)定理1及推論1，2可以發(fā)現(xiàn)，并不是任取一個(gè)不過頂點(diǎn)的平面π，其與錐面S的交線Γ 均可作為錐面的一條準(zhǔn)線，如果將該平面平移使其經(jīng)過頂點(diǎn)，其與錐面交于直線，那么S上存在與Γ 不交的直線，因此Γ 不能作為S的準(zhǔn)線.同理，雖然引理2表明以

未必是S的一條準(zhǔn)線，因?yàn)榉匠探M有可能表示直線.

3 二次錐面準(zhǔn)線方程的特征

由高等代數(shù)中實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化理論可知，

若λ1,λ2,λ3均不為零，上式配方為

于是

于是當(dāng)λ1λ2λ3≠0,且λ1,λ2,λ3中有兩個(gè)是同號(hào)時(shí)（不妨設(shè)λ3與λ1,λ2的符號(hào)不同），則二次曲面S:Φ(x,y,z)=0 表示一個(gè)頂點(diǎn)為的錐面，且，為S上的一條準(zhǔn)線.

于是得到下面的定理

定理3.1二次曲面S:Φ(x,y,z)=0 表示一個(gè)頂點(diǎn)為的錐面 ?λ1λ2λ3≠0,λ1,λ2,λ3中有兩個(gè)是同號(hào)

對(duì)于滿足定理3.1的二次錐面S:Φ(x,y,z)=0，若λ1,λ2符號(hào)相同，則，為S上的一條準(zhǔn)線，特別的若為S上的一條準(zhǔn)線.

4 應(yīng)用舉例

例1下列哪些方程表示錐面，若是錐面，則請(qǐng)指出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)及一條準(zhǔn)線的方程：

（1）解 由于方程2x2+y2-z2=0 可變形為，具備的形式特點(diǎn)，k=1，且F(x,y,0)=2x2+y2=0 只有零解.由推論2可知為S的一條準(zhǔn)線.

（2）解 由引理1可知，3x2=2yz表示一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面，由于均為錐面的母線，于是坐標(biāo)面與錐面的交線一定是直線，亦即任意一個(gè)不過原點(diǎn)且與坐標(biāo)面平行的平面與錐面的交線均不可作為其準(zhǔn)線.此時(shí)推論2對(duì)應(yīng)的確定錐面準(zhǔn)線方程的方法失效.根據(jù)推論1，可選取一個(gè)過原點(diǎn)且和錐面只交于原點(diǎn)的平面π:y+z=0，由于方程組只有零解，于是均可作為錐面的一條準(zhǔn)線.

例2試證明表示一個(gè)錐面，并求出錐面的頂點(diǎn)與其上的一條準(zhǔn)線的方程.

證明由，解得λ1,2=-1,λ3=5，且

由定理3.1 可知，曲面S為一以(0 ,0,頂點(diǎn)的錐面，又因?yàn)棣?＞0 與λ1,λ2的符號(hào)不同，且，于是得到S上的一條準(zhǔn)線的方程

［1］鄭崇友.幾何學(xué)引論［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

［2］李養(yǎng)成.空間解析幾何［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［3］呂林根.解析幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2005.