基于趨勢(shì)外推法曲線智能延伸模型及實(shí)例應(yīng)用

楊國(guó)太，劉有余

安徽工程大學(xué)先進(jìn)數(shù)控和伺服驅(qū)動(dòng)技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽蕪湖 241000

基于趨勢(shì)外推法曲線智能延伸模型及實(shí)例應(yīng)用

楊國(guó)太，劉有余

安徽工程大學(xué)先進(jìn)數(shù)控和伺服驅(qū)動(dòng)技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽蕪湖 241000

為解決眾多CAD軟件不具備非圓曲線延伸功能，引入趨勢(shì)外推原理，研究非圓曲線智能延伸技術(shù)。建立了二次和三次多項(xiàng)式曲線延伸、指數(shù)曲線延伸、戈珀茲曲線延伸三類智能延伸模型，分別給出趨勢(shì)外推模型的識(shí)別與選擇方法，可據(jù)曲線特征點(diǎn)合理選用。提供了智能延伸實(shí)例，闡述了智能延伸的步驟及方法，分析了它們的延伸精度，指出模型使用范圍。解決了CAD軟件共性核心難題，可應(yīng)用于現(xiàn)有CAD軟件的核心升級(jí)或二次開發(fā)，以增加或完善非圓曲線延伸功能。

非圓曲線；趨勢(shì)外推法；智能延伸；數(shù)學(xué)模型

1 引言

現(xiàn)代CAD技術(shù)蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了眾多界面友好、功能強(qiáng)大的二維及三維的優(yōu)秀設(shè)計(jì)軟件，如AutoCAD、CAXA、Pro/E、UG、CATIA等。這些軟件都具備“延伸”這一基本功能，可將直線或圓弧延伸相交于指定對(duì)象，且保持原特性（直線或圓?。┎蛔儯@些軟件的“延伸”功能對(duì)非圓曲線的延伸無(wú)能為力。若對(duì)非圓曲線使用“延伸”指令，有些軟件（如AutoCAD）不執(zhí)行任何動(dòng)作；有些軟件（如CAXA）雖進(jìn)行了延伸，但是以直線方式進(jìn)行，改變了曲線原有特性，誤差較大。趨勢(shì)外推法[1]是一種對(duì)科技、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)的技術(shù)，基本假設(shè)是未來(lái)系過(guò)去和現(xiàn)在連續(xù)發(fā)展的結(jié)果，目前主要用于情報(bào)研究，如：預(yù)報(bào)帶鋼冷軋過(guò)程輥系徑向變形[2]，股指的分析與預(yù)測(cè)[3]，水質(zhì)預(yù)測(cè)[4]等。基于曲線延伸與情報(bào)研究趨勢(shì)外推相似性，在文獻(xiàn)[5]中引入趨勢(shì)外推原理，在極坐標(biāo)系下建立了一些曲線延伸模型，但是，相關(guān)研究尚膚淺，實(shí)用性不強(qiáng)。本文基于直角坐標(biāo)系，全面研究非圓曲線智能延伸技術(shù)，具有更強(qiáng)的應(yīng)用性；并且，結(jié)合實(shí)例給出智能延伸的步驟及方法，分析模型的延伸精度，指出使用范圍，以解決CAD軟件不能延伸非圓曲線這一共性關(guān)鍵難題。

2 曲線智能延伸模型

除直線和圓弧外，CAD軟件中待延伸曲線一般是樣條曲線，由若干個(gè)特征點(diǎn)控制其線形[6]。趨勢(shì)外推根據(jù)連續(xù)性原理，依據(jù)特征點(diǎn)序列的變化趨勢(shì)，選擇合適的曲線模型，對(duì)后續(xù)趨勢(shì)進(jìn)行外推延伸。原曲線特征不同，應(yīng)使用不同的延伸模型。本文開發(fā)幾種典型延伸模型，可據(jù)原曲線特征進(jìn)行選用。

2.1 多項(xiàng)式延伸模型

2.1.1 二次曲線延伸模型

離散型二次曲線方程為[7]：

式中，yi為第i點(diǎn)y坐標(biāo)值；xi為第i點(diǎn)x坐標(biāo)值；i=1，2，…，m；a、b、c為常系數(shù)。

若xi為等差數(shù)列離散點(diǎn)，二次曲線上特征點(diǎn)序列{yi}的二階差分▽2yi[8]見(jiàn)式（2），為常數(shù)。

因此，當(dāng)離散型曲線的二階差分為常數(shù)時(shí)，可使用二次曲線延伸模型，見(jiàn)式（3）：

式中，xi為第i延伸點(diǎn)x坐標(biāo)值；為第i延伸點(diǎn)y坐標(biāo)值；i=m+1，m+2，…，n。

用最小二乘法確定待定參數(shù)[9]。由式（3）得：

式中，ei為第i點(diǎn)的離差；Q為離差平方和。

根據(jù)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)采用式（8）計(jì)算待定參數(shù)，依據(jù)延伸模型式（3）進(jìn)行延伸。

2.1.2 三次曲線延伸模型

離散型三次曲線方程為[7]：

式中，d為常系數(shù)；其余參數(shù)含義同前述。

三次曲線上，與等差數(shù)列離散點(diǎn)xi相對(duì)應(yīng)的特征點(diǎn)序列{yi}的三階差分▽3yi[10]見(jiàn)式（10），為常數(shù)。

因此，當(dāng)離散型曲線的三階差分為常數(shù)時(shí)，可使用三次曲線延伸模型，見(jiàn)式（11）：

式中，xi為第i延伸點(diǎn)x坐標(biāo)值；為第i延伸點(diǎn)y坐標(biāo)值；i=m+1，m+2，…，n。

如前所述，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列離散點(diǎn)xi的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，式（11）中待定參數(shù)采用最小二乘法確定為：

根據(jù)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)采用式（12）計(jì)算待定參數(shù)，依據(jù)延伸模型式（11）進(jìn)行延伸。

2.2 指數(shù)曲線延伸模型

離散型指數(shù)曲線方程為[11]：

式中，a、b為常系數(shù)，i=1，2，…，m。

若xi為等差數(shù)列離散點(diǎn)，指數(shù)曲線上特征點(diǎn)序列{yi}的對(duì)數(shù)一階差分▽lnyi[12]見(jiàn)式（14），為常數(shù)。

因此，當(dāng)離散型曲線的對(duì)數(shù)一階差分為常數(shù)時(shí)，可使用指數(shù)曲線延伸模型，見(jiàn)式（15）：

式中，xi為第i延伸點(diǎn)x坐標(biāo)值；為第i延伸點(diǎn)y坐標(biāo)值；i=m+1，m+2，…，n；、為模型參數(shù)。

對(duì)式（15）兩邊取對(duì)數(shù)：

即：指數(shù)曲線延伸模型式（15）轉(zhuǎn)化為式（17）所示的直線延伸模型。

用最小二乘法確定待定參數(shù)。由式（17）得：

式中，ei為第i點(diǎn)的離差；Q為離差平方和。

2.3 戈珀茲曲線延伸模型

離散型戈珀茲曲線方程為[13]：

式（23）變形為：

式中，a、b、k為常系數(shù)，i=1，2，…，3m。

若xi為等差數(shù)列離散點(diǎn)，戈珀茲曲線上特征點(diǎn)序列{yi}的對(duì)數(shù)一階差分▽lnyi的環(huán)比系數(shù)[12]見(jiàn)式（25），為常數(shù)。

當(dāng)離散型曲線的對(duì)數(shù)一階差分環(huán)比系數(shù)為常數(shù)時(shí)，可使用戈珀茲曲線延伸模型，見(jiàn)式（26）：

式中，xi為第i延伸點(diǎn)x坐標(biāo)值；為第i延伸點(diǎn)y坐標(biāo)值；i=3m+1,3m+2,…，n；為漸進(jìn)線；、為模型參數(shù)。

選取M=3m組特征點(diǎn)，其中m是特征點(diǎn)分成3組后，各組特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)。若起初M不等于3m，可舍棄離延伸位置較遠(yuǎn)的若干點(diǎn)，使M=3m。將特征點(diǎn)代入式（27）：

由式（27）計(jì)算戈珀茲模型所需參數(shù)，見(jiàn)式（28）。

3 曲線智能延伸實(shí)例

為評(píng)估曲線智能延伸模型的有效性，本文給出幾種方程已知的曲線，從前述幾種延伸模型中選取合適模型進(jìn)行延伸，分析延伸曲線與理論曲線之間的誤差。延伸流程如圖1所示，四種延伸模型都要求原曲線特征點(diǎn)的xi為等差數(shù)列，如不滿足，首先擬合原特征點(diǎn)[14]，然后在樣條曲線上選取若干新特征點(diǎn)，使xi為等差數(shù)列，以此選擇延伸模型。

圖1 曲線智能延伸流程圖

如表1所示，4組特征點(diǎn)分別規(guī)定了4個(gè)非圓曲線的特征，這些曲線不同于延伸模型方程。應(yīng)用上述方法對(duì)4個(gè)曲線進(jìn)行延伸，分析延伸曲線與理論曲線間的誤差，檢驗(yàn)延伸的有效性。

表1 近似智能延伸曲線特征點(diǎn)

分別擬合上述4組特征點(diǎn)，在擬合曲線上選取xi為等差數(shù)列的新特征點(diǎn)，分別計(jì)算4組新特征點(diǎn)延伸模型應(yīng)用條件，如表2所示。曲線A的▽2yi最大差值最小，接近于常數(shù)，選用二次曲線智能延伸模型；曲線B的▽3yi最大差值最小，選用三次曲線智能延伸模型；曲線C的▽lnyi最大差值最小，選用指數(shù)曲線智能延伸模型；曲線D的(▽lnyi+1-▽lnyi)/▽lnyi最大差值最小，選用戈珀茲曲線智能延伸模型。

表2 近似智能延伸模型選擇

圖2 曲線A的延伸及誤差圖

圖3 曲線B的延伸及誤差圖

對(duì)曲線C，r=1.000，k1=0.800，k2=0.140。經(jīng)運(yùn)算，待定參數(shù)為：=0.210，=2.030。將（0.281，0.351）作為起始點(diǎn)，利用模型式（15）對(duì)曲線進(jìn)行延伸，延伸圖及與理論曲線誤差圖見(jiàn)圖4，可見(jiàn)，在距起始點(diǎn)較近（x<0.75）的區(qū)域內(nèi)延伸曲線與理論曲線吻合性較好；距起始點(diǎn)較遠(yuǎn)，誤差較大。

對(duì)曲線D，k1=5.500，k2=2.700經(jīng)運(yùn)算，待定參數(shù)為：=5.500，=0.500，=3.600。將（2.200，5.217）作為起始點(diǎn)，利用模型式（26）對(duì)曲線進(jìn)行延伸，延伸圖及與理論曲線誤差圖見(jiàn)圖5，可見(jiàn)，在距起始點(diǎn)較近（x<7）的區(qū)域內(nèi)延伸曲線與理論曲線吻合性較好；距起始點(diǎn)較遠(yuǎn)，誤差較大。

圖4 曲線C的延伸及誤差圖

圖5 曲線D的延伸及誤差圖

4 結(jié)論

（1）采用趨勢(shì)外推原理，建立多項(xiàng)式延伸、指數(shù)曲線延伸、戈珀茲曲線延伸三類智能延伸模型，可根據(jù)曲線特征點(diǎn)合理選用，實(shí)現(xiàn)了非圓曲線的智能延伸。

（2）曲線智能延伸實(shí)例表明：用所建立的延伸模型延伸任意形狀非圓曲線，在距起始點(diǎn)較近的區(qū)域內(nèi)延伸曲線與理論曲線吻合性較好，但距起始點(diǎn)較遠(yuǎn)，誤差較大。對(duì)精度要求不高曲線可在短距離內(nèi)進(jìn)行延伸。

（3）本文解決了通用CAD軟件非圓曲線不能延伸的共性關(guān)鍵難題，可應(yīng)用于現(xiàn)有CAD軟件的核心升級(jí)，也可用于對(duì)其進(jìn)行二次開發(fā)，增加或完善現(xiàn)有CAD軟件非圓曲線延伸功能。

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YANG Guotai,LIU Youyu

Anhui Key Lab of Advanced NC&Servo Technology,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China

Lots of CAD software has no function of extension for non-circular curves.Intelligent extension-technology for non-circular curves is studied based on the principles of trend extrapolation.Four kinds of intelligent extension-models, including quadratic extension-model,cubic extension-model,exponential extension-model and Gompertz extension-model, are built.Moreover,the methods of identifying and choosing extension-models are discussed separately.Several applications of intelligent extension for non-circular curves are offered,which shows us that the extension-models can be available for approximate extension for a short distance if the shapes of non-circular curves are arbitrary.The theories in this paper,a kind of core technologies and generic key problems,can be used for upgrading or secondary development of existing CAD software. Key words：non-circular curves;trend extrapolation;intelligent extension;mathematical models

A

TP391.72

10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0515

YANG Guotai,LIU Youyu.Intelligent extension models and their applications for non-circular curves based on trend extrapolation.Computer Engineering and Applications,2014,50（6）：46-50.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.51175001）；蕪湖市2012年度專利產(chǎn)業(yè)化項(xiàng)目（No.2012ZL10）。

楊國(guó)太（1963—），男，副教授，研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造。E-mail：ygtahwh@163.com

2013-10-08

2013-11-23

1002-8331（2014）06-0046-05