張志健 王小虎

北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038

約束最大高度和再入傾角的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)

張志健 王小虎

北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038

針對固體助推滑翔彈主動段制導(dǎo)問題，提出一種滿足最大高度、再入傾角約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法。該方法基于開普勒定理和能量守恒定理，得到了滿足最大高度、再入傾角約束的自由軌道，并據(jù)射程、射向修正軌道，獲得導(dǎo)彈需用速度;然后以改進通用能量管理(GEM)方法對發(fā)動機剩余能量進行管理，實現(xiàn)了耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)。在地球旋轉(zhuǎn)橢球模型下，分別對定軌精度和主動段制導(dǎo)效果進行了數(shù)學(xué)仿真驗證，結(jié)果表明:1)修正軌道后，高度、再入傾角精度明顯提升，其中傾角誤差減小了2個數(shù)量級;2)可以高精度地實現(xiàn)不同高度、傾角約束彈道，制導(dǎo)指令姿態(tài)變化平緩，有利于控制實現(xiàn)。

閉路制導(dǎo);耗盡關(guān)機;多約束;助推滑翔

遠程助推滑翔彈可在臨近空間長距離無動力滑翔，具有很強的機動能力、突防能力、隱身性，被各國廣泛研究。作為一類新型飛行器，滑翔段射程優(yōu)化、能量管理和突防軌跡等被大量研究，而與之相適宜的助推段制導(dǎo)控制研究卻較少。相對于滑翔段，助推至再入段速度較小、彈道易被預(yù)測，隨著激光攔截技術(shù)、空射主動段攔截彈研究［1］的進步，以及隱身無人機、空天飛機等載體的實際應(yīng)用，使導(dǎo)彈面臨嚴峻的主動段攔截問題。因此進攻方急需研究適合助推滑翔導(dǎo)彈、強突防、滿足多約束條件的新型主動段制導(dǎo)方法。

助推滑翔彈為提高武器生存率、作戰(zhàn)效率，采用固體火箭、機動部署、即停即射方案，因此發(fā)射點、目標點的相對位置不確定。為攻擊不同位置目標，制導(dǎo)系統(tǒng)應(yīng)根據(jù)目標點在線規(guī)劃彈道，管理多余能量以滿足低彈道、再入傾角約束。目前研究中，朱建文［2］在傳統(tǒng)調(diào)姿能量管理(AEM)［3］基礎(chǔ)上，考慮空氣阻力影響，得到了低彈道條件耗盡關(guān)機方法，但該方法是開環(huán)能量管理，易受干擾;許衡、劉魯華等針對大氣層外飛行器，提出樣條式能量管理(SEM)［4-5］，得到滿足關(guān)機點速度大小、速度方向、零攻角約束的耗盡關(guān)機方法，但是該方法沒有考慮空氣阻力，且不具備高度約束;李新國［6］針對助推滑翔彈耗盡關(guān)機的特點，通過Newton算法離線優(yōu)化具有高度和速度約束的飛行程序角，但飛行中使用事先優(yōu)化的程序角，制導(dǎo)方式易受各種偏差干擾，精度不高。

針對上述不足，本文提出一種滿足高度、傾角約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法。該方法首先利用開普勒軌道和能量守恒得到滿足最大高度、再入傾角約束的彈道，并據(jù)射向、射程加以修正，以此獲得關(guān)機需要速度;然后通過管理發(fā)動機多余能量實現(xiàn)耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)。該方法可實現(xiàn)不同最大高度、再入傾角的自由段軌道，為助推滑翔類飛行器提供良好初始條件，具有結(jié)構(gòu)簡單、精度高和姿態(tài)角變化平緩的特點。

1 高度、再入傾角約束閉路制導(dǎo)

助推滑翔彈關(guān)機后至再入前只受重力影響，其運動學(xué)規(guī)律符合兩體假設(shè)，若關(guān)機速度滿足一定條件，彈道便可滿足最大高度、再入傾角約束。求解該速度是閉路制導(dǎo)重要內(nèi)容。本文方法運用了橢圓軌道和能量守恒定律，得到了簡潔的、滿足約束條件的解析解彈道;經(jīng)過高度修正，提高了彈道的精度。該方法原理清晰、計算簡單。

1.1 多約束閉路制導(dǎo)原理

假設(shè)地球為理想球體，且忽略關(guān)機后自由飛行段的氣動力影響，則自由段為開普勒橢圓，滿足能量守恒。

假設(shè)當前高度Hp，再入高度He，再入傾角θe，最大高度Hm已知，且滿足同一橢圓軌道。因最大高度出現(xiàn)在軌道遠地點，于是以遠地點作參考的開普勒橢圓軌道為:

其中，地球引力系數(shù)為fM=3．98600×1014;ξ為軌道上點與地心連線和遠地點長半軸間的夾角，θ*為當?shù)厮俣葍A角，R*為至地心的距離，V*為相應(yīng)速度，下標“* ”可取p，m，e，分別代表當前、最高點和再入點，且θe=0。

圖1 開普勒軌道

根據(jù)能量守恒，再入點和最高點滿足:

1.2 軌道修正及需用速度求取

由式(3)可見，計算軌道參數(shù)需要最高點和再入點的地心距離。已知條件是彈道最高點、再入點的地理高度。而真實地球為橢球，赤道和南北極地球半徑相差21km，故發(fā)射點、射向和射程的變化，將改變緯度值，從而影響地心距大小。為更精確地控制最高點和再入點的高度，必須根據(jù)彈道參數(shù)修正地心距。根據(jù)地球參考模型，φ緯度地心到地表距離可表示為［3］:

其中，地球長半軸aE=6．378137×106，第二偏心率e'2=6．73949677548×10-3。

當導(dǎo)彈自由飛行段射程較大時，最高點尤其是再入點的緯度變化較大，必須依據(jù)緯度修正最高點、再入點到地心的距離。如圖2所示，設(shè)A點緯度為φ0，其到B點方位角為α，地心角為β，則B點緯度可由下式確定:

圖2 射向、射程與緯度的關(guān)系

考慮到高度修正，可按如下步驟求取修正軌道和需用速度:

1)認為當前位置、最高點、再入點的地球半徑相等為R0，將高度約束轉(zhuǎn)換為地心距約束:

2)聯(lián)系再入傾角θe和式(3)可得軌道參數(shù)p，e。由于當前點到最高點和再入點的射程角分別為βm，βe，滿足 βm=ξp，βe=ξp+ξe，因此由式(1)中第1式可確定射程角:

3)將式(7)代入式(5)得到最高點、再入點對應(yīng)的緯度，再經(jīng)式(4)得到相應(yīng)緯度的地球半徑。從而得到修正后的地心距Rm，Re。再重復(fù)步驟1)和2)，可得修正后的軌道參數(shù)，設(shè)為p，e。

4)由橢圓軌道確定當前需用速度。先由最高點地心距Rm和式(1)第2式可得Vm，再據(jù)能量守恒式(2)和橢圓方程式(3)可得需用速度大小和傾角:

此Vp，θp即閉路制導(dǎo)期望值，可在每個制導(dǎo)周期計算，當導(dǎo)彈關(guān)機時刻達到該值，則自由段可滿足最大高度和再入傾角約束。下面介紹如何使導(dǎo)彈在耗盡關(guān)機時達到制導(dǎo)期望。

2 耗盡關(guān)機能量管理

耗盡關(guān)機能量管理的目的是在發(fā)動機剩余工作時間內(nèi)將速度矢量控制到期望值。由于在此過程中，速度和期望速度都在變化，因此能量管理可表示為:

其中，T為發(fā)動機推力，R為氣動力，g為重力加速度;V0，Vp0為t0時刻速度和期望速度。速度與期望值的偏差為:

注意到，當V0→Vp時，導(dǎo)彈逐漸進入期望軌道，因此有˙Vp→g;又因關(guān)機點附近高度已足夠大，可忽略空氣阻力，因此只要發(fā)動機能力足夠，必能實現(xiàn)期望速度。下面分析發(fā)動機剩余能力。

當燃料一定，發(fā)動機總沖固定，能提供的總視速度增量Wa為:

其中，ve為排氣速度，m0為點火質(zhì)量，mco為關(guān)機質(zhì)量，˙m為秒耗量。

在大氣層外飛行時，將總視速度增量減去視加速度積分便得到剩余值，而若起始階段大氣阻力不可忽略，則必須考慮空氣阻力對視加速度的影響。考慮氣動力時，視加速度為:

故由發(fā)動機推力產(chǎn)生的視加速度分量為:

因此，t時刻剩余視速度增量為:

其中ts為發(fā)動機開機時間。

耗盡關(guān)機能量管理制導(dǎo)有很多研究成果［3，5，7-9］，本質(zhì)是規(guī)劃Wl的空間路徑，使其末端與期望速度矢量重合。已有方法都未同時考慮高度和再入傾角約束，在能量管理階段會使高度超出限制。因此本文對通用能量管理(GEM)［8］加以改進，以適應(yīng)限高控制，該方法具有閉環(huán)、結(jié)構(gòu)簡單、精度高的特點。如圖3所示，GEM方法本質(zhì)為:當Wl大于速度偏差ΔV，則以圓弧軌跡管理能量，讓弦長等于速度需求。為滿足高度控制目的，本文對原有GEM做了相應(yīng)調(diào)整，將圓心置于軌跡上方。

圖3 能量管理角度示意

能量管理中各變量滿足如下幾何關(guān)系:

將正弦函數(shù)展開成兩階泰勒多項式，可得:

如圖3所示，η為偏差速度與水平面夾角，于是能量管理中俯仰角指令為:

GEM方法可在每個制導(dǎo)周期由ΔV和Wl計算指令姿態(tài)，因此控制偏差的影響不會積累，且對重力加速度偏差不敏感，制導(dǎo)精度遠高于開環(huán)方式。相比傳統(tǒng)GEM，改進型圓心在上方，故起始時刻推力指向下方，可減小垂直速度，從而避免最大高度超過限定。

3 仿真驗證

以Matlab語言對本文所述求取需用速度的步驟和能量管理方法進行數(shù)學(xué)仿真驗證，仿真中考慮地球旋轉(zhuǎn)橢球模型，所使用彈體參數(shù)見文獻［5］，飛行起點為赤道，射向為正北，再入點高度為80km。下面分2部分考察彈道計算偏差和耗盡關(guān)機制導(dǎo)方式的實現(xiàn)。

仿真中，針對A，B兩組不同約束彈道作了分析，其中A彈道最高點110km，再入傾角4°;B彈道最高點90km，再入傾角3°。

3.1 彈道計算偏差分析

由于地球為旋轉(zhuǎn)橢球，本文求取需用速度的步驟中，在解析解的基礎(chǔ)上，依據(jù)射程、射向做了一次高度修正，下面對修正前后的精度進行對比。分析中，以本文步驟求解確定赤道上方75km處滿足A，B彈道的關(guān)機速度，再以龍格庫塔法求自由段彈道，時間步長為2ms，結(jié)果如表1所示。

表1高度和再入傾角約束彈道偏差

A組中，未修正時高度偏差280m，再入傾角偏差0.104°，修正后高度偏差減小為150m，再入傾角偏差0.003°，高度偏差約減小一半，傾角偏差降低2個數(shù)量級。B組中，未修正時，高度偏差60m，傾角偏差0.053°，修正后偏差減小為50m，0.001°?？梢姴捎酶叨刃拚螅壍谰扔忻黠@提升，尤其是再入傾角偏差，提高了2個數(shù)量級。

3.2 耗盡關(guān)機制導(dǎo)分析

為驗證本文所提耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法的有效性，針對A，B兩種彈道，進行數(shù)學(xué)仿真。起點在赤道，高度55km，射向正北。為保證制導(dǎo)指令的可實現(xiàn)性，最大姿態(tài)角速度限制為10(°)/s。仿真結(jié)果如圖4～6所示。

由圖4可知，A，B彈道都是以負俯仰角飛行，導(dǎo)致y方向速度迅速減小，見圖5。相對于A彈道，B彈道的姿態(tài)角更小，這是因為B彈道最高點只有90km，需將垂直速度很快減下來。在關(guān)機點附近，發(fā)動機推力大小會快速變化，不利于姿態(tài)控制，所以制導(dǎo)設(shè)計中需將關(guān)機附近設(shè)計為小機動或無機動飛行。由圖4可知，本方法中A，B彈道姿態(tài)角此時基本為常值，有利于控制實現(xiàn)。圖6給出了耗盡關(guān)機制導(dǎo)下，導(dǎo)彈從助推至再入的射程、高程軌跡。其中A彈道高度偏差110m，傾角偏差0.03°;B彈道高度偏差70m，傾角偏差0.03°?？梢娖渚哂休^高的制導(dǎo)精度。注意到該誤差與軌道計算偏差不一致，這是由于以下2方面原因:1)制導(dǎo)指令中限制了姿態(tài)角速度;2)導(dǎo)彈實際的關(guān)機高度與軌道計算偏差分析時設(shè)定的75km不一致。

圖4 助推段姿態(tài)角變化曲線

圖5 助推段速度變化軌跡

圖6 射程與高度變化軌跡

4 結(jié)論

為實現(xiàn)助推滑翔彈耗盡關(guān)機條件下最大高度和再入傾角約束，本文提出一種新型耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法，利用開普勒定理和能量守恒確定彈道，并據(jù)射程、射向加以修正，由此得到需要速度;然后利用GEM方法管理發(fā)動機多余能量，實現(xiàn)了滿足高度、再入傾角約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)。該方法可實現(xiàn)不同高度、傾角約束彈道，具有精度高、結(jié)構(gòu)簡單、姿態(tài)角變化平緩，易于實現(xiàn)的特點。

［1］Zarchan P.Kill Vehicle Guidance and Control Sizing for Boost-phase Intercept［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2011，34(2):513-521.

［2］朱建文，劉魯華，湯國建，等.低彈道多約束固體火箭能量管理方法研究［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2012，32(5):121-123.(ZHU Jianwen，LIU Luhua，TANG Guojian，XU Mingliang.Research on Energy Management of Solid Rocket with Multi-constraints and Lower Trajectory［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2012，32(5):121-123.)

［3］陳世年，李連仲，王京武.控制系統(tǒng)設(shè)計［M］.北京 :中國宇航出版社，1996:216-229.

［4］Liu Luhua，Chen Kejun，Tang Guojian.Research of Multirestriction Energy Management of Solid Rocket［C］//5th International Conference on Recent Advances in Space Technologies，ístanbul，TüRKíYE ，2011.

［5］Xu Heng，Chen Wanchun.An Energy Management AscentGuidance Algorithm forSolid Rocket-Powered Launch［C］//17th AIAA International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference，San Francisco，USA，2011.

［6］李新國，王晨曦，王文虎.基于修正Newton法的固體火箭能量管理彈道設(shè)計［J］.固體火箭技術(shù)，2013，36(1):1-5.(LI Xinguo，WANG Chenxi，WANG Wenhu.Energy Management Trajectory Design of Solid Launch Vehicle Based on Modified Newton Method［J］.Journal of Solid Rocket Technology，2013，36(1):1-5.)

［7］周軍，潘彥鵬，呼衛(wèi)軍.固體火箭的魯棒自適應(yīng)耗盡關(guān)機制導(dǎo)方法研究［J］.航天控制，2013，31(3):34-39.(ZHOU Jun，PAN Yanpeng，HU Weijun.A Robust and Adaptive Depleted Shutdown Guidance Method of Solid Rocket［J］.Aerospace Control，2013，31(3):34-39.)

［8］Zarchan P.Tactical and Strategic Missile Guidance［M］.Fifth ed.AIAA Inc，2007:281-289.

［9］姚黨鼐，張力，王振國.姿態(tài)角單次調(diào)整的固體運載火箭耗盡關(guān)機能量管理方法［J］.國防科技大學(xué)學(xué)報，2013，35(1):39-42.(YAO Dangnai， ZHANG Li，WANG Zhenguo.Depleted Shutdown Energy Management Approach for Solid Launch Vehicle with Singular Attitude Angle Adjustment［J］，Journal of National University of Defense Technology，2013，35(1):39-42.)

Depleted Shutdown Closed Loop Guidance with Maximum Height and Reentry Angle Constraint

ZHANG Zhijian WANG Xiaohu
Beijing Institute of Control＆ Electronics Technology，Beijing 100038，China

According to satisfy the constraints of maximum height and reentry angle of boost glide missile，a depleted shutdown closed loop guidance is proposed．The required velocity to meet the constraints is obtained from the ballistic segment trajectory，which is based on theKepler'slaw and the law of conservation of energy and is modified according to its direction and range．And then，the closed loop depleted shutdown guidance is completed by using general energy management(GEM)method to waste excessive energy．Finally，based on the ellipsoid earth model，the precision and effect of proposed method is verified by computer simulation．The results show that the precision of maximum height and reentry angle are improved through modification and particularly the error of reentry angle is decreased by two orders of magnitude．Moreover，the high-precision trajectory of difference height and reentry angle can be achieved and is suitable to control system as the attitude angle command changes slowly．

Closed loop guidance;Depleted shutdown;Multi-constraints;Boost glide

V448.23

A

1006-3242(2014)02-0068-05

2013-08-22

張志健(1986-)，男，湖南人，博士研究生，主要研究方向為導(dǎo)航制導(dǎo)與控制;王小虎(1962-)，男，江蘇人，研究員，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為精確制導(dǎo)與控制。