李 超 王長(zhǎng)青 李愛軍 扎伯羅特諾夫.尤里

1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院國(guó)際空間系繩系統(tǒng)研究中心，西安 7100722.薩馬拉國(guó)立航空航天大學(xué)，俄羅斯薩馬拉

基于標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法的空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制*

李 超1王長(zhǎng)青1李愛軍1扎伯羅特諾夫.尤里2

1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院國(guó)際空間系繩系統(tǒng)研究中心，西安 710072
2.薩馬拉國(guó)立航空航天大學(xué)，俄羅斯薩馬拉

首先基于啞鈴模型建立空間系繩系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法進(jìn)行了介紹，在此基礎(chǔ)上提出了基于標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法的空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制算法，最后結(jié)合仿真實(shí)例對(duì)空間系繩系統(tǒng)的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制進(jìn)行了分析，并與線性最優(yōu)二次型設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了比較，同時(shí)還對(duì)系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行了研究。結(jié)果表明使用標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)不僅能夠達(dá)到控制要求，而且設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，所得出的控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法;空間系繩系統(tǒng);啞鈴模型;狀態(tài)保持;穩(wěn)定控制

空間系繩系統(tǒng)是指用柔性系繩將2個(gè)或2個(gè)以上的航天器連接在一起所構(gòu)成的空間飛行系統(tǒng)［1］。自1895齊奧爾科夫斯基提出“赤道通天塔”的設(shè)想以來，美國(guó)、俄羅斯、意大利等多個(gè)國(guó)家進(jìn)行了大量的研究和實(shí)驗(yàn)［2］。該系統(tǒng)具有廣闊的應(yīng)用前景［3-5］:從基站飛船上發(fā)射小衛(wèi)星、監(jiān)測(cè)高空大氣層、軌道機(jī)動(dòng)、依靠系繩返回艙從軌道上回收有效載荷、清理太空垃圾等。

系繩系統(tǒng)執(zhí)行的主要科學(xué)探測(cè)活動(dòng)大多是在狀態(tài)保持階段進(jìn)行的。但是復(fù)雜的太空環(huán)境會(huì)給系統(tǒng)帶來干擾，甚至?xí)绊懴到y(tǒng)正常工作。因此，需要一定的控制策略將系統(tǒng)快速控制到穩(wěn)定狀態(tài)。Larsen等設(shè)計(jì)了一套非線性控制器，并利用電動(dòng)繩注入阻尼的方法將系繩衛(wèi)星系統(tǒng)控制到一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡位置［6］。Mankala等設(shè)計(jì)了一套邊界控制器將系統(tǒng)控制到徑向相對(duì)平衡位置［7］。Pasca研究了系繩衛(wèi)星系統(tǒng)在狀態(tài)保持階段的運(yùn)動(dòng)，并提出了利用子星推力來控制系繩的面內(nèi)振蕩［8］。Fujii等人在不考慮系繩的徑向振動(dòng)時(shí)，提出了一種波動(dòng)合并控制方法來抑制系繩的橫向振動(dòng)［9］。國(guó)內(nèi)的Yong He等通過對(duì)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析推導(dǎo)出了一種速率控制方法［10］。劉麗麗等研究了系繩系統(tǒng)在狀態(tài)保持階段的混沌運(yùn)動(dòng)［11］。上述文獻(xiàn)主要針對(duì)如何將系繩系統(tǒng)控制到平衡位置以及研究狀態(tài)保持階段的運(yùn)動(dòng)。

本文采用在控制工程領(lǐng)域有較好應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法［12-13］來對(duì)空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制進(jìn)行研究。它避免了復(fù)雜的優(yōu)化算法，把控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

1 模型建立

采用啞鈴模型，假設(shè)系繩為剛性繩，質(zhì)量不計(jì)，忽略在拉力下產(chǎn)生的形變，將主星和子星看作質(zhì)點(diǎn)，主星、子星及系統(tǒng)總質(zhì)量分別為m1，m2，m=m1+m2，并且主星質(zhì)量m1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于子星質(zhì)量m2，所以認(rèn)為系統(tǒng)質(zhì)心在主星上。在軌道坐標(biāo)系下建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程［14］:

為了方便研究，不考慮面外角的影響。因此系統(tǒng)方程(1)可以簡(jiǎn)化為

其中，T為系繩的拉力。

2 標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法

目前主要的標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法有:牛頓二項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)型、ITAE標(biāo)準(zhǔn)型、Butterworth標(biāo)準(zhǔn)型以及各種標(biāo)準(zhǔn)型的改進(jìn)型。與其他標(biāo)準(zhǔn)型相比，ITAE標(biāo)準(zhǔn)型性能指標(biāo)具有較好的實(shí)用性和選擇性。因此，本文選擇采用ITAE標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)空間系繩系統(tǒng)進(jìn)行研究。

表1給出了ITAE標(biāo)準(zhǔn)型一到八階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式的形式。其中特征參數(shù)ω0的選擇具有較大的靈活性，通常是根據(jù)所要設(shè)計(jì)系統(tǒng)的性能要求來選擇。如果事先沒有給出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，ω0的選擇就有較大的范圍，可以根據(jù)具體情況而定。

表1 1～8階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式

3 空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制算法

基于標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法的空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制算法如下:

1)將空間系繩系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理，得出其狀態(tài)方程

把方程(2)量綱歸一化，并在平衡點(diǎn)附近線性化得:

把系統(tǒng)方程寫成狀態(tài)空間的形式，即:

2)寫出系統(tǒng)的開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)

系繩系統(tǒng)的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，令C為單位矩陣。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

3)將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成分式形式

將式(5)寫成如下分式形式:

代入數(shù)據(jù)，計(jì)算得系統(tǒng)特征多項(xiàng)式F(s)和分子多項(xiàng)式g(s)的系數(shù)矩陣F，G分別為:

4)寫出閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，選取標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)特征多項(xiàng)式

根據(jù)步驟2)的閉環(huán)傳遞函數(shù)式(6)，系統(tǒng)特征方程為:

將式(8)進(jìn)行通分，令分子等于標(biāo)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式H(s)，得到下面的關(guān)系式:

本系統(tǒng)為4階系統(tǒng)，在表1中選取標(biāo)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式H(s)，其系數(shù)矩陣H為:

5)選取ω0，求解控制器系數(shù)矩陣P

在式(9)中只有矩陣P是未知的。令關(guān)系式左右s相同指數(shù)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，得到一個(gè)方程組，選擇適當(dāng)?shù)摩?，解方程組就可以求出控制器系數(shù)矩陣P的所有元素。

本文取ω0=1．5，求解控制器系數(shù)矩陣P的代數(shù)方程組得:

4 仿真分析

取系統(tǒng)的初始面內(nèi)角θ=-0．1°，=0．1，系繩系統(tǒng)穩(wěn)定保持的動(dòng)態(tài)特性仿真結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，繩長(zhǎng)、繩長(zhǎng)變化率、面內(nèi)角和面內(nèi)角變化率都在6s內(nèi)回到穩(wěn)態(tài)值，此時(shí)系繩系統(tǒng)又穩(wěn)定到平衡狀態(tài)。在系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)時(shí)，雖然系統(tǒng)有一定的振蕩，但是振蕩都非常小，其最大振幅分別為 1.054，0.06，0.062，0.1665。

圖2 基于標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制

4.1 與線性二次型最優(yōu)控制方法的比較

針對(duì)空間系繩衛(wèi)星系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)附近的線性化模型，也可以采用線性二次型最優(yōu)控制來設(shè)計(jì)控制律。在該方法中狀態(tài)變量和輸入變量的加權(quán)矩陣Q，R的選擇非常重要。本文中取 Q=diag(5，5，30，30)，R=1，得最優(yōu)化反饋增益矩陣:

在相同的攝動(dòng)下，系繩系統(tǒng)穩(wěn)定保持的動(dòng)態(tài)特性仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 基于LQR方法的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制

由圖3可以看出，基于LQR方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)其繩長(zhǎng)、繩長(zhǎng)變化率、面內(nèi)角和面內(nèi)角變化率也都在6s內(nèi)回到穩(wěn)態(tài)值。在系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)過渡比較平穩(wěn)，沒有太大的振蕩，其最大振幅分別為 1.083，0.102，0.031，0.149。

圖4為2種設(shè)計(jì)方法控制效果比較圖，其中虛線表示采用標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)的控制效果圖;實(shí)線表示采用LQR方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)的控制效果圖。由圖4可以看出，使用標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠達(dá)到LQR設(shè)計(jì)方法的控制效果。

圖4 2種設(shè)計(jì)方法控制效果比較

4.2 魯棒性分析

系繩系統(tǒng)處于太空中，因此會(huì)受到太空碎片、極端溫度等各種外界因素的影響，所以系統(tǒng)參數(shù)會(huì)有一定的攝動(dòng)，這表現(xiàn)為系統(tǒng)方程中A，B陣的變化。當(dāng)系統(tǒng)初始面內(nèi)角為-0.1°時(shí)，研究系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持動(dòng)態(tài)特性的魯棒性。

圖5～7分別表示A陣、B陣以及A陣和B陣同時(shí)變化±20%時(shí)系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的被控變量θ的動(dòng)態(tài)特性曲線。其中實(shí)線表示系統(tǒng)具有+20%攝動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果，虛線表示系統(tǒng)沒有攝動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果，點(diǎn)線表示系統(tǒng)具有-20%攝動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果。由圖可以看出，當(dāng)系統(tǒng)受到+20%攝動(dòng)時(shí)，θ的最大振幅增加量在0.015°以內(nèi);當(dāng)系統(tǒng)受到-20%攝動(dòng)時(shí)，θ的最大振幅增加量在0.01°以內(nèi)。由此可見，基于標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖5 A陣變化±20%時(shí)系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的動(dòng)態(tài)特性

5 結(jié)論

在簡(jiǎn)化的系繩系統(tǒng)模型下，不考慮系繩的面外運(yùn)動(dòng)，通過標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)法來設(shè)計(jì)系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制器。仿真結(jié)果表明這種方法與線性二次型最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的控制效果相當(dāng)，但比二次型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單，且得出的結(jié)果具有良好的魯棒性。研究結(jié)果對(duì)未來空間系繩系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)提供了一定的參考。

圖6 B陣變化±20%時(shí)系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的動(dòng)態(tài)特性

圖7 A，B陣同時(shí)變化±20%時(shí)系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的動(dòng)態(tài)特性

［1］孔憲仁，徐大富.空間繩系研究綜述［J］.航天器環(huán)境工程，2010，27(6):0775-0783.(Kong Xianren，Xu Da fu.The Studies of Space Tether［J］.Spacecraft Environment Engineering，2010，27(6):0775-0783.)

［2］王長(zhǎng)青，董哲，李愛軍，張叢叢.空間系繩系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)研究綜述［C］.中國(guó)制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制學(xué)術(shù)會(huì)議，北京航空航天大學(xué)，2012.(Wang Changqing，Dong Zhe，Li Aijun，Zhang Congcong.The Overview of Space Tether System Experiments［C］.Chinese Gudiance，Navigation and Control Conference，Bei Hang University，2012.)

［3］鄭鵬飛，曹喜濱，張世杰.大氣阻力攝動(dòng)下的繩系輔助離軌系統(tǒng)的相對(duì)姿態(tài)跟蹤控制研究［J］.航天控制，2009，27(4):8-13.(ZHENG Pengfei，CAO Xibin，ZHANG Shijie.Relative Attitude Tracking Control of Tether-assisted Deorbit System Under Drag Perturbation［J］.Aerospace Control，2009，27(4):8-13.)

［4］張玉軍，馮書興.主動(dòng)式空間碎片清理研究［J］.裝備指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，21(6):78-82.(Zhang Yujun，F(xiàn)eng Shuxing.Research on Active Space Debirs Removal［J］.Journal of the Academy of Equipment Control＆ Technology，2010，21(6):78-82.)

［5］馮杰，鮮勇，雷剛，魏鵬濤.繩系衛(wèi)星實(shí)施安全捕獲的能量最優(yōu)控制［J］.航天控制，2011，29(4):66-70.(FENG Jie，XIAN Yong，LEI Gang，WEI Pengtao.Energy-optimal Control of Safe Capture by Using Tethered Subsatellite［J］.Aerospace Control，2011，29(4):66-70.)

［6］Larsen M B，Blanke M.Control by Damping Injection of Electrodynamic Tether System in an Inclined Orbit［C］.The 2009 American Control Conference，USA，2009.

［7］Mankala K K，Agrawal S K.A Boundary Controller Based on Linear Infinite Dimensional System for Station Keeping of a Tethered Satellite System［C］.The 2006 American ControlConference， Minneapolis， USA，2006.

［8］Pasca M.Nonlinear Control of Tethered Satellite System Oscillations［J］.Nonlinear Analysis:Theory，Methods and Applications，1997，30(6):3867-3878.

［9］Fujii H A，Watanabe T，Trivailo P M.Wave-absorbing Control of Transverse Vibration of Tether Systems［J］.Journal of the Astronautical Science，2003，51(3):249-259.

［10］He Yong，Liang Bin，Xu Wenfu.Study on the Stability of Tethered Satellite System ［J］.ActaAstronautica，2011，(68):1964-1972.

［11］劉麗麗，金棟平，胡海巖.狀態(tài)保持階段繩系衛(wèi)星的混沌運(yùn)動(dòng)［C］.全國(guó)非線性振動(dòng)學(xué)術(shù)會(huì)議，北京，2007.(Liu Lili，Jin Dongping，Hu Haiyang.Chaotic Oscillations of A Tethered Satellite in the Station Keeping Phase［C］.The Nonlinear Vibration of Academic Meeting，Beijing，2007.)

［12］王長(zhǎng)青，李愛軍，王偉.Butterworth濾波器在飛行控制系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.飛行力學(xué)，2009，27(1):74-76.(Wang Changqin，Li Aijun，WangWei.Application of Butterworth Filter to Design of Flight Control Systems［J］.Flight Dynamics，2009，27(1):74-76.)

［13］李晉堯，張明鳴，王燕.基于ITAE的高精度無超調(diào)溫度校驗(yàn)設(shè)備［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2008，29(4):497-500.(Li Jinyao，Zhang Mingming，Wang Yan.Hight Accuracy Non-overshooting Temperature Calibrator Based on ITAE［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2008，29(4):497-500.)

［14］扎伯羅特諾夫·尤里，著.空間系繩系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與控制導(dǎo)論［M］.王長(zhǎng)青，等.譯.北京:科學(xué)出版社，2013.

Stability Control for Station-Keeping Phase of Space Tether System Based on Standard Coefficient Method

LI Chao1WANG Changqing1LI Aijun1ZABOLOTNOV Yuriy2
1.International Research Center of Space Tether System，College of Automation，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China
2.Samara State Aerospace University，Samara，Russia

Firstly，the mathematical model of space tether system based on the dumbbell-shaped model is established．Then，the standard coefficient method is briefly described，and detailed discussion follows on how to design the controller．Finally，by employing simulation cases，the steady control of space tether system is analyzed，and also simulation results are given by comparing the method proposed in this paper with the well-known linear quadratic regulator method．At the same time，the robustness of the control system is studied．The simulation results show that the controller based on the standard coefficient method can achieve the requirement of control system while it is simpler than the linear quadratic regulator method and the control system also has good robustness．

Standard coefficient method;Space tether system;Dumbbell-shaped model;Station-keeping phase;Stability control

V448.2

A

1006-3242(2014)02-0073-05

*2011年度國(guó)家國(guó)際科技合作專項(xiàng)資助;陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2013KW09-02)

2013-09-24

李 超(1986-)，男，河南鶴壁人，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)轱w行器控制與仿真、空間系繩系運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與控制等;王長(zhǎng)青(1973-)，男，黑龍江富錦人，博士，副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)轱w行器控制與仿真、空間系繩系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與控制等;李愛軍(1972-)，男，黑龍江密山人，博士，教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)轱w行器控制與仿真、空間系繩系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與控制等;扎伯羅特諾夫·尤里(1952-)，男，俄羅斯宇航科學(xué)院院士，薩馬拉國(guó)航空航天大學(xué)教授，西北工業(yè)大學(xué)高端外國(guó)專家，主要研究領(lǐng)域?yàn)榭臻g系繩系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與控制。