余 玲，王浩華

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?70228)

近二十年來，由于受經(jīng)濟(jì)全球化、金融一體化、現(xiàn)代金融理論、信息技術(shù)和金融創(chuàng)新等因素的影響，一方面全球金融市場迅猛發(fā)展，越來越多的國家和地區(qū)享受經(jīng)濟(jì)一體化與創(chuàng)新所帶來的好處，另一方面一體化與創(chuàng)新把原先局限于異地的風(fēng)險(xiǎn)帶到了世界經(jīng)濟(jì)這一更廣闊的舞臺(tái)，全球范圍內(nèi)匯率、利率、股票價(jià)格以及商品價(jià)格呈現(xiàn)出前所未有的波動(dòng).2008 年深受華爾街金融海嘯的影響，全球風(fēng)險(xiǎn)投資行業(yè)都處于半停滯的狀態(tài)，但對于風(fēng)險(xiǎn)投資機(jī)構(gòu)來說，中國卻是為數(shù)不多的避風(fēng)港. 因此，不得不正視國內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)投資的現(xiàn)狀，隨著中國入世，充滿生機(jī)和活力的中國金融市場同樣充滿著困惑與風(fēng)險(xiǎn).

目前，國內(nèi)外有關(guān)CVaR 的研究日趨成熟，已有許多成熟的理論，但仍有待發(fā)展深化. RFLUNG 于2000 年從定義、性質(zhì)及計(jì)算方面對資本配置進(jìn)行了檢測分析;NIKOLAS 利用CVaR 對資本配置進(jìn)行了分析與實(shí)證研究;ROCKAFELLAR［1］等對CVaR 的優(yōu)化算法和應(yīng)用做了較詳細(xì)的綜述;秦璇［2］等國內(nèi)學(xué)者在此基礎(chǔ)上也對CVaR 的概念及優(yōu)化進(jìn)行了簡單的研究;王建華、李楚霖［3］等則利用CVaR 研究了度量和控制金融風(fēng)險(xiǎn)的新方法. 由于，方差描述的風(fēng)險(xiǎn)既包括損失的不確定性，也包括收益的不確定性，因此投資者的風(fēng)險(xiǎn)感受在期望收益兩側(cè)事實(shí)上是不對稱的. 這是方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量所固有的缺陷，但若用半方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量卻可以避免類似問題. 于是，筆者主要以風(fēng)險(xiǎn)管理下的投資策略為研究對象，分別建立了基于方差、半方差的投資組合效用最大化決策模型，并進(jìn)行了對比和分析，最終得出結(jié)論:當(dāng)面臨資產(chǎn)選擇決策時(shí)，用半方差模型所得到的組合種類要比使用均值－方差模型得到的組合種類多，即半方差模型的投資結(jié)果要優(yōu)于均值－方差模型.

1 基于CVaR 的投資組合優(yōu)化模型

CVaR［2］是指在一定的時(shí)間T 內(nèi)置信度為α 的情況下，投資者對收益分布尾部1－α部分的期望值.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

CVaR 具有以下性質(zhì)

1)平移不變性

2)正齊性

3)凸性 對任意隨機(jī)變量y1，y2，當(dāng)時(shí)0 ＜λ ＜1，

定義1 假設(shè)k 種證劵組成的投資組合中，各種證劵所占的投資比例為x = (x1，…，xk)T，其中投資組合的回報(bào)為其中γi表示各項(xiàng)投資的回報(bào)率.

若用c 表示要求的最低回報(bào)率，則CVaR 模型可以表示為

2.1 均值－方差模型的有效前沿 投資者在選擇最優(yōu)證劵組合時(shí)會(huì)同時(shí)追求2 個(gè)目標(biāo):1)最大期望收益率;2)最小不確定性(風(fēng)險(xiǎn)). 投資者在t=0 作購買證券的決策時(shí)，必須在這2 個(gè)矛盾的目標(biāo)中權(quán)衡取舍(trade-off). 此時(shí)有2 種最優(yōu)準(zhǔn)則:當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)值(如方差)給定時(shí)，組合的期望收益率最大;當(dāng)期望收益率給定時(shí)，組合的風(fēng)險(xiǎn)值最小. 由此得到關(guān)于均值－方差有效期前沿的定義［3］.

定義2 組合X*屬于β(0 ＜β ＜1)置信水平下的均值－方差有效前沿?不存在組合X＊＊X 使得E(rX＊＊)≥E(rX*)和σ(rX＊＊)≤σ(rX*)同時(shí)成立，且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式，而且對應(yīng)為有效前沿曲線上的點(diǎn).

推論1 設(shè)E(rX)=r0，則方差最小的證劵組合在前沿上，從而由求前沿上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性約束二次規(guī)劃問題

其中，e 代表分量為1 的n 維向量，n 為股票數(shù).

定理1 前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

當(dāng)r0= r1時(shí)，證劵組合的方差

即

的上半支就是均值－ 方差模型為有效前沿.

證明 對于問題的求解，首先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

從而有

顯然，V 是正定矩陣. 解方程組(1)，可以得到λ = (Cr0－ A)/D，μ = (B － Ar0)/D，其中A = eTVTR =

將λ，μ 代入方程組(1)，得到在指定收益r0下方差最小的證劵組合

類似的，指定另外一個(gè)收益r1，在前沿上的證劵組合為

由式(2)和(3)得到前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

在以標(biāo)準(zhǔn)差為橫軸，均值為縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)系中，其圖像是以(0，A/C)為中心，E(rX)= A/C ±為漸近線的開口向右的雙曲線，如圖1 所示.

圖1 中，雙曲線的頂點(diǎn)在所有證劵組合中是方差最小的點(diǎn)，即最小方差證劵組合. 對于2 個(gè)不同的投資者I1，I2，用無差異曲線描述其可以接受的均值與相應(yīng)的所愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的無差異組合，如圖2 所示，其所對應(yīng)的最佳投資策略分別是圖中點(diǎn)M 與點(diǎn)N.

圖1 均值-方差模型有效前沿曲線

圖2 投資者選擇證劵組合示意圖

2 半方差風(fēng)險(xiǎn)

馬柯威茨均值－方差模型的一個(gè)重要前提是以資產(chǎn)收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的參數(shù)，然而方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量不能區(qū)別對待期望兩側(cè)投資者的不同感受. 因而對風(fēng)險(xiǎn)度量準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn)，得到半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的概念. 在刻畫資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)方面，半方差優(yōu)于方差.均值－方差模型與均值－半方差模型可行域的區(qū)別分別如圖3 和圖4 所示［4］.

圖3 均值-方差模型可行域

圖4 均值-半方差模型可行域

顯然圖4 的可行域包含了圖3 的可行域. 從集合的角度看，在一個(gè)更大的集合中所得到的最優(yōu)解一般要優(yōu)于在一個(gè)較小的集合里所得到的最優(yōu)解，至少不會(huì)比后者差.

定義3［5］設(shè)ri表示第i 個(gè)證劵投資，Ri表示其期望收益，則對于單個(gè)投資而言投資組合的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)

其中

定義4 用風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)度量因子，用xi表示第i 項(xiàng)投資i = 1，2，…，n，則投資組合的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為其中H－= (hij)n×n為半方差風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)矩陣［6］，hij為矩陣中各元素.這種風(fēng)險(xiǎn)度量下的風(fēng)險(xiǎn)模型表示為

2.1 均值－半方差模型的有效前沿

定理2 前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

當(dāng)R0= R1時(shí)證劵組合半方差為

即

的上半支就是均值－半方差模型為有效前沿.

證明 研究模型(4)的有效邊界，仿均值－方差模型構(gòu)造拉格朗日乘子的方法來求解. 其拉格朗日函數(shù)為

從而有

顯然，H－也是正定陣，解此方程組，可以得到λ = (Cr0－ A)/D，μ = (B － Ar0)/D，其中，A = eTHT，

將λ，μ 代入方程組(5)，得到在指定收益R0下方差最小的證劵組合

類似的，指定另外一個(gè)收益R1，在前沿上的證劵組合為

由式(6)和(7)得到前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

在以風(fēng)險(xiǎn)度量為橫軸，以均值為縱軸的坐標(biāo)系中，其圖像是以C(1/C，A/C)為頂點(diǎn)的開口向右的拋物線，如圖5 所示.

圖5 均值-半方差模型的有效前沿

從圖5 可以看出，點(diǎn)C 在所有證劵組合中是風(fēng)險(xiǎn)最小的點(diǎn)，即最小風(fēng)險(xiǎn)投資組合，有效前沿為曲線在最小方差投資組合的上半部分.

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)的收集 從國泰安數(shù)據(jù)庫中股票市場系列—CSMAR 中國股票市場交易數(shù)據(jù)庫中選取了5 支股票作為實(shí)證來考察收益情況，分別是中國工商銀行(601398)、天山股份(000877)、蘭花科創(chuàng)(600123)、貴州茅臺(tái)(600519)、中國平安(601318). 考察時(shí)間跨度為2010 年1 月—2012 年12 月共計(jì)36 個(gè)月的現(xiàn)金紅利在投資的月個(gè)股回報(bào)率.

表1 股票的月收益率數(shù)據(jù) (%)

表2 5 支股票的平均收益 (%)

3.2 數(shù)據(jù)分析與結(jié)果 首先，用jbtest 檢驗(yàn)法對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明5 組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，再考察投資組合的2 種風(fēng)險(xiǎn)條件下的投資策略，并進(jìn)行比較.

1)按照均值－方差模型來求解，得到其協(xié)方差矩陣為

利用Matlab 軟件求解，得到其權(quán)重為XT=(0.334 0，0，0.137 9，0.325 6，0.212 5).

2)按照均值－半方差模型來求解，得到其協(xié)方差矩陣為

利用Matlab 軟件求解，得到其權(quán)重為XT=(0.344 6，0，0.133 3，0.337 0，0.185 1).

2 種不同的模型下，5 支股票的投資比例發(fā)生了微小變化. 雖然在各自的準(zhǔn)則下都達(dá)到了風(fēng)險(xiǎn)最小，但是按照均值－半方差模型來投資發(fā)生損失的概率比按照均值－方差模型來投資小. 因而，均值－半方差模型更能表現(xiàn)出投資者的投資意愿.

組合投資的期望收益rx率從－0.008 開始，每次遞增步長為0.000 01，到0.012 為止，共201 個(gè)點(diǎn)，用以計(jì)算有效邊界，所取的開始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)基本符合要求. 利用Matlab(附錄1)軟件通過求解線性規(guī)劃得到其基于半方差準(zhǔn)則下的有效邊界曲線，如圖6 所示.

圖6 股票的有效前沿

［1］王周偉，姚亞偉.投資組合管理［M］.上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2010，8 －31.

［2］秦璇.基于CDaR 模型有效前沿的研究［D］.武漢:華中科技大學(xué)，2006.

［3］王建華，李楚霖.度量和控制金融風(fēng)險(xiǎn)的新方法［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào):信息與管理工程版，2002，4(2):60 －63.

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附錄:

ExpReturn =［0.002178 0.003841 0.011157 0.009427 0.006330］;

ExpCovariance =0.01* ［

0.000 8 0.001 7 0.001 1 0.000 7 0.000 7

0.001 7 0.008 3 0.004 8 0.002 5 0.002 7

0.001 1 0.004 8 0.006 9 0.002 3 0.002 2

0.000 7 0.002 5 0.002 3 0.004 1 0.001

0.000 7 0.002 7 0.002 2 0.001 0.003 7］;

NumPorts =50;

［Portrisk，PortReturn，PortWts］=frontcon(ExpReturn，ExpCovariance，NumPorts)

plot(Portrisk，PortReturn)

xlabel(‘半方差風(fēng)險(xiǎn)’);

ylabel(‘期望收益’);