周小娥

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?70228)

設(shè)a，b，c是正整數(shù)，指數(shù)丟番圖方程

的全部整數(shù)解是丟番圖方程求解中的一個(gè)十分重要的研究課題［1－2］.中外學(xué)者對(duì)方程(1)的研究主要集中在2種特殊情形:(1)a，b，c是商高數(shù)組，此時(shí)方程(1)與著名的Jesmanowicz猜想有關(guān);(2)a，b，c取不同素?cái)?shù).

1958年NAGELL首先給出了max{a，b，c}≤7時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.此后直到1976年國(guó)外數(shù)學(xué)家僅給出了max{a，b，c}≤17時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.1984年孫琦、周小明給出了max{a，b，c}≤19時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.1985年楊曉卓給出了max{a，b，c}≤23時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.上述結(jié)果都是將方程(1)化為一個(gè)個(gè)具體的丟番圖方程進(jìn)而求解得到的，用此方法很難將max{a，b，c}推進(jìn)到100.1986—1990年曹珍富［3－5］把方程(1)化為2個(gè)指數(shù)丟番圖方程

與

通過(guò)先對(duì)p，q進(jìn)行一些定性分析，使得求解速度得到很大提高，并得到了29≤max{a，b，c}≤97時(shí)2個(gè)方程的全部非負(fù)整數(shù)解.1991年曹珍富等［6］又給出了當(dāng)100＜max{a，b，c}＜200時(shí)丟番圖方程px－qy=2z的全部正整數(shù)解.2013年文獻(xiàn)［7］給出了丟番圖方程px－qy=2當(dāng)200＜max{a，b，c}＜300時(shí)的全部正整數(shù)解，其中p，q為素?cái)?shù).雖然先對(duì)p，q進(jìn)行一些定性分析，可使求解速度得到很大提高，但是在200＜max{p，q}＜300時(shí)，計(jì)算量仍然非常大.若借助計(jì)算機(jī)，則計(jì)算時(shí)間將大大減少［8－9］.筆者借助計(jì)算機(jī)，用初等方法和高等方法的結(jié)果給出200＜max{p，q}＜300時(shí)方程(3)的全部非負(fù)整數(shù)解.

1 引理及證明

為了求出指數(shù)丟番圖方程

的所有非負(fù)整數(shù)解，由于方程(4)中p，q的對(duì)稱(chēng)性，只需給出方程(4)當(dāng)1＜p＜q＜300時(shí)的所有正整數(shù)解與y=0當(dāng)?shù)姆秦?fù)整數(shù)解.先給出下面2個(gè)引理.

引理 1 設(shè)(p，q，x，y，z)是方程(4)的任一解，且

則滿足1≤x0，y0≤36，4≤z0≤39 的所有(p，q，x0，y0，z0)由表1 和表2 給出.

證明 由于考慮的是方程(4)的正整數(shù)解，則顯然有z≥4.假設(shè)x，y同時(shí)為偶數(shù)，則方程(4)可化為

對(duì)上述方程取模4，得2≡0(mod 4)，這不可能.故x，y不可能同時(shí)為偶數(shù).

設(shè) m≡min{4，z0}，n≡min{3，z0}. 則對(duì)于任意的奇素?cái)?shù) a≠3，有

于是當(dāng) p=3，200＜q＜300時(shí)，有

當(dāng)3＜p＜200，200＜q＜300時(shí)，有

編寫(xiě)了由變量p，q，x0，y0，z0的5重循環(huán)構(gòu)成的簡(jiǎn)單UBASIC程序，分別在

的范圍內(nèi)，對(duì)式(5)和(6)在計(jì)算機(jī)上檢驗(yàn)得到由表1和表2給出的(p，q，x0，y0，z0).其中表1中的(p，q，x0，y0，z0)是方程(4)滿足1 ＜p＜q＜300 的正整數(shù)解，表2 中的(p，q，x0，y0，z0)不是方程(4)的解，稱(chēng)之為方程(4)的非解的同余解.證畢.

表1 方程(4)滿足1＜p＜q＜300的正整數(shù)解

表2 方程(4)滿足1＜p＜q＜300的非解的同余解

引理2［10］對(duì)給定的不同奇素?cái)?shù)p，q，方程(3)至多有一組正整數(shù)解.

2 定理及證明

定理1 方程(4)的滿足1＜p＜q＜300的全部正整數(shù)解(p，q，x0，y0，z0)由表1給出.

證明 假設(shè)(p，q，x，y，z)是方程(4)的解，由引理 1，令

則方程(4)可化為

分2種情形來(lái)證明.

(1)(p，q，x0，y0，z0)為表 1 中任一組數(shù). 此時(shí)，由引理 2 有 i=j=k=0.

(2)(p，q，x0，y0，z0)為表2 中任一組數(shù). 依次用 s［t］(1≤t≤6)表示奇素?cái)?shù)17，97，193，257，577，769，再分別用 p［t］，q［t］，r［t］表示 p36，q36，236對(duì)模 s［t］的最小正剩余，依次對(duì)式(7)取模 s［t］可得

由費(fèi)馬小定理知，對(duì)奇素?cái)?shù) p，(a，p)=1 時(shí) ap－1≡1(mod p). 因?yàn)?57 －1=4·64，769 －1=3·4·64，于是 p36，q36對(duì)模17，97，193，257，577，769 的次數(shù)均不超過(guò) 64. 因此，只要在 1≤i，j，k≤64 的范圍內(nèi)，對(duì)模s［1］，…，模 s［6］檢驗(yàn)同余式(8)是否均成立. 對(duì)表2 中任一組數(shù)(p，q，x0，y0，z0)，經(jīng)計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)沒(méi)有這樣的(i，j，k)存在 . 由此可知相應(yīng)的(p，q，x，y，z)不是方程(4)的解 .

綜合(1)與(2)，定理1得證.

注:UBASIC是適合數(shù)論研究的一種軟件.UBASIC可計(jì)算的整數(shù)范圍從－65 536542到65 536542，因而同余式(5)，(6)和(8)可以方便的在計(jì)算機(jī)上得到檢驗(yàn).

定理2 當(dāng)y=0時(shí)，方程(4)的非負(fù)整數(shù)解除了以下5種情形外無(wú)其他解

證明 由題意可知，只需證明當(dāng)x＞1時(shí)，方程

無(wú)解.

假設(shè)x為偶數(shù)，則方程(9)可化為(p2)x/2+1=2z.對(duì)方程(9)取模4，得2≡0(mod 4)，這不可能，故x為奇數(shù)，因此方程(9)可化為

于是 p+1=2k，2≤k≤z. 由于1 ＜p＜300 且 p為素?cái)?shù)，可推出 p{3，7，31，127}.

當(dāng)p=3時(shí)，顯然z＞2，對(duì)方程3x+1=2z取模8，得3+1≡0(mod 8)，這不可能.

當(dāng) p=7 時(shí)，顯然 z＞3，對(duì)方程7x+1=2z取模48，得8≡zz(mod 48)，而 zz≡32(mod 48)，矛盾.

當(dāng) p=31 時(shí)，顯然 z＞5，對(duì)方程 31x+1=2z取模 960，得 32≡2z(mod 960)，而 2z≡64，128，256，512(mod 960)，矛盾.

當(dāng) p=127 時(shí)，顯然 z＞7，對(duì)方程127x+1=2z取模16 128，得 128≡2z(mod 16 128)，而 2z≡256，512，1 024，2 048，4 096，8 192(mod 16 128)，矛盾. 證畢.

［1］曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012.

［2］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2013.

［3］曹珍富.關(guān)于 Diophantus 方程 ax+by=cz(Ⅱ)［J］.科學(xué)通報(bào)，1987，32(3):237.

［4］曹珍富.方程 x2+2m=yn和 Hugh Edgar問(wèn)題［J］.科學(xué)通報(bào)，1986，31(7):555 －556.

［5］曹珍富.關(guān)于方程 axm－byn=2［J］.科學(xué)通報(bào)，1990，35(7):558 －559.

［6］曹珍富，佟瑞洲，王鎮(zhèn)江.關(guān)于指數(shù)Diophantus方程的一個(gè)猜想［J］.自然雜志，1991，14(11):872－873.

［7］周小娥，鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程 px－ qy=2［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，31(2):100 －102，105.

［8］劉靜，鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程2x+2y+3z11u=3v11w［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29(6):723－726.

［9］陳小燕，鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程1+5x11y+2z5u11v=2w［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，32(1):23－27.

［10］CAO Zhenfu，CHU C I，SHIU Waichee.The exponential Diophantine equation AX2+BY2= λkZand its applications［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2008，12(5):1015 －1034.