●陳華忠
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思想是一切行為的原動力。 學(xué)科思想是經(jīng)過分析、抽象、提煉,形成的對學(xué)科發(fā)展和學(xué)科學(xué)習(xí)最具有影響力且能夠遷移的一些觀點(diǎn)、思想和見解;學(xué)科方法是根據(jù)學(xué)科內(nèi)在的規(guī)律和特點(diǎn),總結(jié)歸納出的思維方法、研究方法和學(xué)習(xí)方法等。 學(xué)科思想指導(dǎo)引領(lǐng)學(xué)科方法,學(xué)科方法則是學(xué)科思想的具體化,有時二者也會融合為一。 本期選取的五篇文章,都是從學(xué)科思想與方法的角度來探討學(xué)科學(xué)習(xí)的價值與意義,以期能引起讀者的思考。
《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出:“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí), 學(xué)生應(yīng)獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識,以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。 由此可見,數(shù)學(xué)思想與方法的滲透是新課程改革的一個新的視角。 新教材蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想與方法,因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知水平適當(dāng)?shù)厍擅畹貪B透基本的數(shù)學(xué)思想與方法。
如果課前教師對教材內(nèi)容適合滲透哪些思想方法一無所知,那么課堂教學(xué)就不可能有的放矢。由于受篇幅的限制,教材只能較多的呈現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論,而對數(shù)學(xué)結(jié)論里面所隱含的數(shù)學(xué)思想與方法,往往在教材里沒有明顯地體現(xiàn)。在備課時,我們教師不應(yīng)只看見直接寫在教材上的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與技能,而是要認(rèn)真挖掘蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想,有意識地把掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法整合到教學(xué)目標(biāo)之中,并把數(shù)學(xué)思想與方法恰當(dāng)?shù)厝谌虢虒W(xué)的各個環(huán)節(jié)。 為此,我們教師要深入鉆研教材,努力挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,對于每一節(jié)課的教學(xué),都應(yīng)該考慮如何滲透數(shù)學(xué)思想與方法。 每節(jié)課的課堂教學(xué)中可以滲透哪些數(shù)學(xué)思想與方法,應(yīng)做到心中有數(shù)。 如,在教學(xué)“圓的面積”這節(jié)課時,先把圓分成相等的兩部分,再把兩個半圓分成若干等分,然后把它剪開,再拼成近似于長方形的圖形。如果把圓等分的份數(shù)越多,拼成的圖形越接近于長方形。這時長方形的面積就越接近圓的面積了。 這部分內(nèi)容應(yīng)讓學(xué)生體會用“無限逼近”的方法來求得圓的面積,這樣,既有機(jī)地滲透了“極限思想”,也滲透了“轉(zhuǎn)化思想”。又如,在備“雞兔同籠”一節(jié)課時,教師要有意識地向?qū)W生滲透并落實(shí)以下數(shù)學(xué)思想與方法: 用容易探究的小數(shù)量替代 《孫子算經(jīng)》 原題中的大數(shù)量的“替換法”解決問題,滲透化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想和方法;用“列表法”解決問題,滲透函數(shù)的思想和方法;用“算術(shù)法”解決問題,滲透假設(shè)的思想和方法;用“方程法”解決問題,滲透代數(shù)的思想和方法等等,這些思想方法為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。 由于數(shù)學(xué)思想與方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體,又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法,因此,在分析教材時,應(yīng)挖掘隱藏在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想與方法,明確所要滲透的數(shù)學(xué)思想方法。
數(shù)學(xué)是知識與思想方法的有機(jī)結(jié)合,沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識,也沒有游離于數(shù)學(xué)知識之外的數(shù)學(xué)思想方法。為此,數(shù)學(xué)思想方法滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中,要著重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會與感悟。在探究活動中,教師要創(chuàng)設(shè)情境,營造民主氛圍,讓學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程,并依據(jù)學(xué)生親身的體驗(yàn),逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。 教學(xué)中,可通過以下途徑向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想與方法。
在概念教學(xué)時,“引導(dǎo)學(xué)生對新概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程”等等,這些都是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法的極好機(jī)會。如,教學(xué)“三角形分類”一課時,教師預(yù)先給學(xué)生提供了許多三角形學(xué)具,放手讓學(xué)生在小組合作中嘗試對三角形進(jìn)行分類, 學(xué)生從關(guān)注三角形的角與邊的特征入手,借助學(xué)具操作,通過看一看、比一比、量一量、想一想、議一議、分一分等手段,尋找它們的特征、抽象共性,在比較中將具有相同特征的三角形歸為一類, 在分類中抽象出圖形的共同特征。 這樣讓學(xué)生經(jīng)歷了三角形分類的過程, 豐富了分類活動的經(jīng)驗(yàn), 形成分類的基本策略,也有機(jī)地滲透了分類、集合的思想。
計(jì)算教學(xué)往往是把新知轉(zhuǎn)化成舊知, 并借助舊知來學(xué)習(xí)新知。 如:教學(xué)“除數(shù)是小數(shù)除法”一節(jié)課時,其關(guān)鍵就是把除數(shù)是小數(shù)的除法“轉(zhuǎn)化”成除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算, 知識基礎(chǔ)是除數(shù)為整數(shù)的除法計(jì)算法則, 教學(xué)中只要將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù),問題就迎刃而解。 為此,新課前教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧“商不變性質(zhì)”,完成除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法有關(guān)鋪墊練習(xí)。 再出示例題:“奶奶編‘中國結(jié)’,編一個要用 0.85 米絲繩。 有 7.65 米絲繩,可以編幾個‘中國結(jié)’?”首先讓學(xué)生讀題,分析題意并列出算式,然后放手讓學(xué)生獨(dú)立嘗試,學(xué)生探索時發(fā)現(xiàn)算式中除數(shù)是小數(shù),這種除法沒有學(xué)過,怎么辦? 學(xué)生思路受阻。 這時教師適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)撥:能否根據(jù)以前學(xué)過的知識解決現(xiàn)在的問題呢? 學(xué)生從前面的復(fù)習(xí)中很快地感受到只要把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)就可以進(jìn)行計(jì)算了。待學(xué)生完成計(jì)算時,教師讓學(xué)生想一想,在解這道題的過程中,得到了什么啟發(fā)? 使學(xué)生感悟到:新知識看起來很難,但只要將所學(xué)的新知識與已學(xué)過的知識聯(lián)系起來, 并運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)思想方法,就能順利地解決問題。這種解決問題的方法就是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想, 轉(zhuǎn)化就是未知的向已知的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜的向簡單的轉(zhuǎn)化,從而讓學(xué)生感悟到轉(zhuǎn)化思想的作用。
小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)圖形的學(xué)習(xí), 是先學(xué)習(xí)直線型圖形,如長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形以及長方體等,再學(xué)習(xí)曲線型圖形:圓、圓柱等。在學(xué)習(xí)曲線型圖形有關(guān)知識時,就可利用轉(zhuǎn)化方法,將曲線型圖形轉(zhuǎn)化為直線型的圖形, 利用直線型的相關(guān)知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決。如,教學(xué)“圓面積的計(jì)算”一節(jié)課時,首先,教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)習(xí)過的平行四邊形、三角形、梯形面積的計(jì)算的推導(dǎo)過程,讓學(xué)生思考這些圖形的面積計(jì)算方法是怎么推導(dǎo)出來的;其次,教師引導(dǎo)學(xué)生猜想今天所學(xué)習(xí)的圓能否也轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的圖形來推導(dǎo)出它的面積計(jì)算公式,讓學(xué)生在舊知的驅(qū)動下積極地思考如何轉(zhuǎn)化;最后,教師放手讓學(xué)生動手操作,可以將圓轉(zhuǎn)化為什么圖形,怎么轉(zhuǎn)化,通過剪一剪、拼一拼、議一議,讓學(xué)生進(jìn)行小組合作交流,通過討論交流得出結(jié)論:將圓分割成若干等份,拼成近似的長方形或平行四邊形,由圓的半徑與面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為長方形的長、 寬或平行四邊形的底、高與面積的關(guān)系,再由長方形或平行四邊形的面積公式,推導(dǎo)出圓的面積的公式。在圓的面積公式的推導(dǎo)過程中,學(xué)生經(jīng)歷化生為熟、化難為易、化曲為直、化繁為簡的探索過程,感悟到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化、極限思想。
在“問題解決”教學(xué)時,引導(dǎo)學(xué)生動手操作,合作交流,自主探究,并用圖表、教具、學(xué)具、課件展示等,讓學(xué)生逐步感悟數(shù)學(xué)思想與方法。 如,在教學(xué)“植樹問題”時,教師先出示“在200 米公路一側(cè)植樹的現(xiàn)實(shí)問題情境, 若兩端都種, 每5 米種一棵, 能種幾棵?”面對這一挑戰(zhàn)性的問題,學(xué)生紛紛猜測,有的說:“能種 40 棵。 ”有的說:“能種 41 棵。 ”還有的說:“能種39 棵?!苯又處焼l(fā)學(xué)生思考:“到底能種幾棵?你有什么好辦法呢?”隨著教師的質(zhì)疑。 學(xué)生提出:“我們可以試著種一種,就知道誰說的對了! ”“就用你的辦法, 接下來我們利用課件模擬在200 米的線段上種樹。 ”教師及時肯定了學(xué)生的回答,接著利用課件演示,“每隔5 米種一棵,每隔5 米種一棵,一棵一棵不停地種。 同學(xué)們有什么想說的?”伴隨著課件演示教師質(zhì)疑,學(xué)生們紛紛回答:“很麻煩。”“要用很長時間。”教師針對學(xué)生的回答提出問題:“那怎么辦呢?” 有的學(xué)生說:“我們可以將 200 米換成20米。 ” 還有的同學(xué)說:“換成短一點(diǎn)的距離, 進(jìn)行探究。 ”師:“好! 我們先來研究 20 米的種樹規(guī)律,再用所得到的規(guī)律去解決其他復(fù)雜的問題,這是一個好的辦法,那么大家愿意自己來試試看嗎?”這樣就自然而然地滲透了化繁為簡的數(shù)學(xué)思想。然后,學(xué)生通過擺一擺、畫一畫、議一議,發(fā)現(xiàn)了在兩端都種時棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系(即:棵數(shù)=間隔數(shù)+I),并順利地解決了問題。 教師又將問題改為“只種一端、兩端都不種時種的棵數(shù)又是多少”,學(xué)生運(yùn)用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。以上問題的解決過程,給學(xué)生體會到當(dāng)遇到復(fù)雜問題時, 不妨退到簡單問題,然后從簡單問題的研究中去尋找規(guī)律,再利用規(guī)律去解決復(fù)雜問題。 從而讓學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建?!钡葦?shù)學(xué)思想。
巴甫洛夫指出:“任何一個新的問題的解決都是利用主體經(jīng)驗(yàn)中已有的舊工具實(shí)現(xiàn)的?!币簿褪钦f各種新知識都是從舊知識中發(fā)展出來的。 小學(xué)數(shù)學(xué)知識是一個整體, 前后教學(xué)內(nèi)容都有一定的內(nèi)在的必然聯(lián)系,新知識往往是舊知識的延伸和補(bǔ)充。根據(jù)心理學(xué)的遷移規(guī)律,通過對舊知識的復(fù)習(xí),特別是對新舊知識密切聯(lián)系的問題加以概括, 從新舊知識的緊密聯(lián)系中,抓住新舊知識的不同點(diǎn),合乎邏輯地導(dǎo)出即將研究的問題,實(shí)現(xiàn)知識的正遷移。從而在知識的遷移過程中,讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法,運(yùn)用思想方法解決問題。
如,教學(xué)“梯形的面積”時,學(xué)生可以借助“三角形的面積計(jì)算公式”推導(dǎo)的方法,把計(jì)算梯形的面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的計(jì)算平行四邊形的面積, 這就是滲透數(shù)學(xué)思想方法——“轉(zhuǎn)化思想”的大好時機(jī)。 在小學(xué)教材中, 平面圖形的面積計(jì)算公式都是通過原來的圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過知識推導(dǎo)出來的。 轉(zhuǎn)化的思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用, 將原圖形通過旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等途徑加以“變形”,使新知轉(zhuǎn)變成舊知,“求解”也水到渠成。
任何一種數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和掌握, 絕非一朝一夕的事,它需要有計(jì)劃、有意識地進(jìn)行訓(xùn)練。 通過訓(xùn)練這一途徑來滲透數(shù)學(xué)思想方法, 不愧為是一個明智的選擇。用訓(xùn)練的方式來滲透數(shù)學(xué)思想方法,應(yīng)屬于我們教師的創(chuàng)造性勞動。如,有一位教師在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法后,設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)題,組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練,既鞏固了知識技能,又有機(jī)地滲透了數(shù)學(xué)思想方法,一舉兩得。
練習(xí)過程中,教師利用下圖幫助學(xué)生理解:
又如:一位教師在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)解決問題之后,設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)題,組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。即:養(yǎng)雞場分三次把一批肉雞投放市場, 第一次賣出的比總數(shù)的2/7 多 100 只, 第二次賣出的比總數(shù)的 3/7少120 只,第三次賣出320 只。 這批雞共有多少只?
這道題的特點(diǎn)是分率后面還有個具體數(shù)量,給我們的思考帶來麻煩。 可以假設(shè)沒有后面的具體數(shù)量,去零為整,這樣便于思考。 假設(shè)第一次正好賣出總數(shù)的2/7,把多的100 只放在第三次賣出,即第三次要多賣出100 只;假設(shè)第二次正好賣出總數(shù)的3/7,那么少的120 只需要從第三次取來,即第三次要少賣出120 只。 這樣,第三次多賣出的只數(shù)是320+100-120=300(只)。由此可求出這批雞共有 300÷(1-2/7-3/7)=1050(只)。
訓(xùn)練則是在形成技能的基礎(chǔ)上向能力轉(zhuǎn)化,提高學(xué)生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力, 發(fā)展學(xué)生的思維能力,同時,也滲透數(shù)學(xué)思想方法。 在練習(xí)訓(xùn)練中不僅要有具體知識、技能訓(xùn)練的要求,而且也要有明確的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求, 從這兩道練習(xí)題中,至少滲透了數(shù)形結(jié)合、抽象、類比、極限以及假設(shè)等數(shù)學(xué)思想。
在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的小結(jié)或總結(jié)時,可以對所滲透的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行適時概括和提升。這樣,不僅可以使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律,而且可使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)思想方法對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。如在幾何形面積教學(xué)中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,將原圖形通過割補(bǔ)、分割、平移、翻折等途徑加以“變形”,把未知的面積計(jì)算問題轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積計(jì)算問題,可使題目變難為易,求解也水到渠成。 教材中, 除了長方形的面積計(jì)算公式之外, 其他平面圖形的面積計(jì)算公式都是通過變換原來的圖形而得到的。 即:平行四邊形通過割補(bǔ)、平移轉(zhuǎn)化成長方形, 三角形和梯形也都可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形來求出面積。 圓也可以通過分割轉(zhuǎn)化成長方形。 為此,在總結(jié)時,引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)學(xué)習(xí)過程應(yīng)用到哪些數(shù)學(xué)的思想與方法, 這些的思想與方法對于今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是經(jīng)常用到的。這樣,不僅使學(xué)生明確不同圖形面積計(jì)算的方法, 而且領(lǐng)悟到了比面積計(jì)算公式更重要的東西,就是數(shù)學(xué)的思想與方法。
總之,“思想是數(shù)學(xué)的靈魂, 方法是數(shù)學(xué)的行為?!睌?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩個方面, 沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法,也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。因此,教學(xué)中,讓學(xué)生親身經(jīng)歷、感受、體驗(yàn)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法, 才能真正地讓數(shù)學(xué)思想方法在與知識能力形成的過程中共同生成。