范永青, 劉 瑾

(西安郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710121)

一類混沌系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

范永青, 劉 瑾

(西安郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710121)

針對(duì)一類混沌系統(tǒng)中平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的問(wèn)題，提出一種新型自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)方法。該方法基于輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性理論及小增益定理，采用線性反饋控制與非線性自適應(yīng)控制相結(jié)合的設(shè)計(jì)思想，在所設(shè)計(jì)線性反饋增益滿足一定取值條件，且非線性控制器部分中的參數(shù)滿足所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律時(shí)，使得一類混沌系統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)快速實(shí)現(xiàn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。算例數(shù)值仿真驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的有效性。

混沌系統(tǒng)；自適應(yīng)控制；輸入狀態(tài)穩(wěn)定；全局漸進(jìn)穩(wěn)定

混沌現(xiàn)象廣泛存在于許多實(shí)際工程系統(tǒng)中[1]。近年來(lái)，如何控制或利用混沌現(xiàn)象已經(jīng)成為非線性系統(tǒng)研究的一個(gè)熱點(diǎn)[2]。由于混沌系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)的初始值具有較強(qiáng)的敏感性[3]，因此，如何控制混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性是一個(gè)值得研究的問(wèn)題?；煦缦到y(tǒng)可看作是非線性系統(tǒng)的一種特例，對(duì)混沌系統(tǒng)控制亦可借鑒非線性系統(tǒng)的控制方法去研究。當(dāng)考慮非線性系統(tǒng)的全局性質(zhì)時(shí)，系統(tǒng)的輸入-輸出穩(wěn)定優(yōu)于系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定，所以系統(tǒng)的有界輸入-有界輸出和系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定(Input-to-state stability，ISS)十分相似[4-5]。有關(guān)非線性系統(tǒng)輸入-狀態(tài)穩(wěn)定的研究受到了眾多學(xué)者的青睞，并涌現(xiàn)出大量的科研成果[6-11]。這些成果為具有混沌現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性研究提供了新的思路與方法。

由于ISS系統(tǒng)本身具有一個(gè)特征，即當(dāng)不考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)時(shí)，只要輸入量小，那么系統(tǒng)的狀態(tài)最終必定是小的[4]。根據(jù)這一特征，得出ISS系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的結(jié)論。如果采用ISS系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)思想，對(duì)混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)設(shè)計(jì)使其穩(wěn)定的控制器，則混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)鎮(zhèn)定問(wèn)題就不會(huì)因?yàn)槌跏贾档拿舾卸绊懣刂破鞯脑O(shè)計(jì)。

鑒于以上分析ISS系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，本文采用ISS控制器設(shè)計(jì)方法，對(duì)一類混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性問(wèn)題，基于輸入到狀態(tài)穩(wěn)定和小增益定理，提出一種簡(jiǎn)單的反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法。

1 問(wèn)題概述

設(shè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)

(1)

其中x∈n為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u∈m為控制輸入，且u:[0,∞)→m為分段連續(xù)有界函數(shù)，其范數(shù)為

‖x(t)‖≤

max{β(‖x0‖,t),γ(‖u(·)‖∞)},

(2)

則式(1)是輸入狀態(tài)穩(wěn)定的，函數(shù)γ(·)稱為增益函數(shù)。

(3)

‖x‖≥χ(‖u‖)?

(4)

成立，則稱V(·)為式(1)的一個(gè)ISS-Lyapunov函數(shù)。

‖x(·)‖∞≤

max{γ0(‖x0‖),γ(‖u(·)‖∞)},

(5)

(6)

定理2(小增益定理)[12]如果γ1(γ2(r))0都成立，則把x=(x1,x2)看作狀態(tài)變量，把u看作輸入變量時(shí)，式(1)是ISS穩(wěn)定的。

考慮混沌系統(tǒng)為

(7)

其中a>0,b>0,c>0為控制參數(shù)，式(7)有5個(gè)平衡點(diǎn)，分別為

E0=(0,0,0),

(8)

對(duì)式(7)實(shí)施控制作用，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后為

(9)

由此設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器u=(u1,u2,u3)T,可使式(7)在平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

2 ISS控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)控制器

(10)

其中

參數(shù)k1,k2為待設(shè)計(jì)的參數(shù)。參數(shù)調(diào)節(jié)律為

(11)

其中λ>0，且

(12)

參數(shù)θ,λ,δ,ε為設(shè)計(jì)的正實(shí)數(shù)。

針對(duì)式(7)的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定問(wèn)題，給出主要結(jié)論及證明。

定理3 在控制器式(10)和自適應(yīng)律式(11)、式(12)的控制作用下，當(dāng)假設(shè)1成立且控制增益參數(shù)滿足

存在足夠小的正數(shù)σ滿足條件

c1=c-2σ,

則式(9)在原點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明 針對(duì)控制任務(wù)，分兩種情形。

‖。

容易驗(yàn)證此情形滿足s>0?？紤]關(guān)于s的正定函數(shù)

采用開(kāi)環(huán)控制，則V沿式(9)的軌道導(dǎo)數(shù)為

(13)

由定理3，則成立不等式

(14)

式(14)意味著式(9)的狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)曲面s=0[13]。

(15)

(16)

(17)

V1沿式(16)的導(dǎo)數(shù)為

(18)

則有不等式

(19)

由式(18)和式(19)可知

(20)

若控制增益參數(shù)滿足

則可以找到足夠小的正數(shù)σ，對(duì)于某一正數(shù)μ，滿足不等式

(21)

由式(20)和式(21)可知，成立不等式

(22)

K∞函數(shù)取為

α(r)=μr2,

考慮第二個(gè)子系統(tǒng)

(23)

(24)

式(24)沿式(23)的導(dǎo)數(shù)為

(25)

由自適應(yīng)律式(11)和式(12)可知，成立不等式

(26)

因?yàn)橛胁坏仁?/p>

成立時(shí)，則有不等式

(27)

(28)

由不等式式(26)，式(28)可得

(29)

記c1=c-2σ，因?yàn)?/p>

(30)

由式(29)和式(30)，可得

(31)

在式(31)中，由定理3中的條件

則有

(32)

取K∞函數(shù)為

由式(6)可知，增益函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為

(33)

從式(33)中可以看出，增益函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是一個(gè)壓縮映射，因此式(15)是ISS穩(wěn)定的, 其原點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 仿真算例

對(duì)受控系統(tǒng)式(9)，由定理3中的控制增益k1，k2參數(shù)需要滿足的取值條件，取參數(shù)

k1=-40,k2=-25,

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

自適應(yīng)參數(shù)初始值取為

自適應(yīng)律式(11)，式(12)中的參數(shù)為

θ=20,λ=200,

δ=0.05,ε=0.001。

根據(jù)系統(tǒng)的參數(shù)取兩組值分別討論其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

實(shí)驗(yàn)1 令式(9)中的參數(shù)取值為

a=4.5, b=12, c=5。

系統(tǒng)的5個(gè)平衡點(diǎn)分別為

對(duì)平衡點(diǎn)實(shí)施控制時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況分別如圖1至圖5所示。

實(shí)驗(yàn)2 令式(9)中的參數(shù)取值為

a=0.4, b=12, c=5。

系統(tǒng)的5個(gè)平衡點(diǎn)分別為

對(duì)平衡點(diǎn)實(shí)施控制時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況分別如圖6至圖10所示。

從參數(shù)取兩組情形的仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)可以在自適應(yīng)控制器式(10)、式(11)和式 (12)的控制作用下，很好地到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，且控制器中自適應(yīng)參數(shù)是一致有界的。

圖1 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖2 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖3 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖4 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖5 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖6 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖7 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖8 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖9 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

圖10 平衡點(diǎn)的狀態(tài)響應(yīng)與自適應(yīng)律的時(shí)間響應(yīng)

4 結(jié)論

研究了一類混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)鎮(zhèn)定問(wèn)題，利用ISS系統(tǒng)和小增益定理，提出一種狀態(tài)反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方案，該設(shè)計(jì)方法避免了其它控制器設(shè)計(jì)中由于初值的敏感性所導(dǎo)致的控制器設(shè)計(jì)困難的問(wèn)題。通過(guò)理論分析，證明了閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是全局穩(wěn)定的。

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[責(zé)任編輯:祝劍]

Stabilization control design of input-to-state stability for a class of chaotic systems

FAN Yongqing, LIU Jin

(School of Automation, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

A new adaptive controller method is proposed for unstable equilibria of a class of chaotic systems. The method is designed by using linear feedback control combining with nonlinear adaptive control, and based on input-to-state stability and small-gain theorem. When the linear feedback control gain is satisfied at certain condition, and some parameters in the nonlinear control are satisfied with adaptive laws, the all equilibria are globally asymptotically stable by employing the proposed controller. The design and analysis are validated by numerical simulation.

chaotic system, adaptive control, ISS(Input-to-state stability), globally asymptotically stability

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.06.017

2014-05-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61305098);陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013JK0197,14JK1671);西安郵電大學(xué)青年教師科研基金資助項(xiàng)目(ZL2013-32)

范永青(1978-)，女，博士，講師，從事非線性系統(tǒng)控制研究。E-mail: fanyonqqing@xupt.edu.cn 劉瑾(1978-),女，碩士，講師，從事教育管理研究。E-mail:Liuj@xupt.edu.cn

TP273

A

2095-6533(2014)06-0086-06