劉保國, 孟華

(河南工業(yè)大學(xué)，鄭州 450000)

隨著機械工業(yè)的發(fā)展，對滾動軸承的精度、性能、壽命和可靠性要求越來越高，其中對軸承動態(tài)性能的研究尤為重要，為此，下文對軸承動力學(xué)模型研究進展進行論述。

1 軸承動力學(xué)模型研究

1.1 發(fā)展歷程

軸承力學(xué)模型經(jīng)歷靜力學(xué)分析模型、擬靜力學(xué)分析模型、動力學(xué)分析模型3個發(fā)展階段。早期僅根據(jù)理想的運動狀態(tài)和簡單的運動關(guān)系建立靜力學(xué)分析模型，很難準(zhǔn)確預(yù)測和描述軸承運動狀態(tài)。擬靜力學(xué)分析模型相對完善，可有效預(yù)測滾動體轉(zhuǎn)速、軸承疲勞壽命、軸承變形和剛度等運動參數(shù)，可基本滿足工程需要，但不能分析軸承瞬態(tài)不穩(wěn)定現(xiàn)象，也不能完整描述軸承動態(tài)性能。動力學(xué)分析模型不僅可有效分析軸承的載荷和轉(zhuǎn)速隨時間變化時的工作狀態(tài)及滾動體和保持架的穩(wěn)定性等，而且可更真實準(zhǔn)確地描述軸承的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)運動，所以近些年動力學(xué)分析方法的研究開始得到重視。

高速軸承動態(tài)性能分析始于20世紀(jì)60年代，文獻[1-2]最早對軸承擬靜力學(xué)問題進行討論和分析，在傳統(tǒng)靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上提出套圈滾道控制理論，假設(shè)滾動體的運動狀態(tài)是純滾動，無自旋運動，同時在對高速轉(zhuǎn)動下的軸承進行受力分析時考慮陀螺力矩和離心率的作用，但模型中未考慮彈性潤滑的作用，不能正確預(yù)測軸承的內(nèi)部滑動。隨著彈流理論的發(fā)展，文獻[3]在擬靜力學(xué)模型的基礎(chǔ)上考慮潤滑和慣性力的作用，建立軸承擬動力學(xué)分析模型，可分析軸承的變形、滾動體的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度等穩(wěn)定性參數(shù)，但仍不能分析軸承瞬時不穩(wěn)定性及時變參數(shù)的影響等動態(tài)性能，故在此基礎(chǔ)上研究和探索軸承動力學(xué)模型。文獻[4]最早建立4自由度球軸承動力學(xué)模型，對球軸承各組件間的相互作用力進行適當(dāng)簡化，隨后建立6自由度軸承保持架模型，開創(chuàng)性地分析保持架與滾動體的動態(tài)變化，利用四階Runge-Kutta法計算滾動體與保持架的瞬時位移、轉(zhuǎn)速及軸承的內(nèi)部滑動等，但模型中未考慮油膜潤滑和保持架的彈性問題。文獻[5-6]考慮潤滑狀態(tài)下軸承載荷變化及保持架上的滑移，建立3自由度軸承保持架動力學(xué)模型，但由于當(dāng)時對彈流潤滑理論的研究不夠成熟，模型有待完善。文獻[7-12]較全面地分析影響軸承動態(tài)性能的各種因素，系統(tǒng)地研究滾動體的運動和受力狀態(tài)，建立6自由度軸承動力學(xué)模型，并分別建立軸承各零部件的運動微分方程，此模型適用于各類軸承，主要用于分析軸承在變速和變載時的瞬時動態(tài)特性。

1.2 典型模型

文獻[11]將軸承-雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的中介軸承簡化為彈簧和阻尼，利用傳遞矩陣法研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速振型和不平衡響應(yīng)問題。文獻[11]建立的軸承模型如圖1所示。圖中，e為偏心距；Fu為不平衡力；Nb為滾動體個數(shù)；ωc為保持架轉(zhuǎn)速；t為時間；W為垂直方向上的恒定力。

圖1 軸承模型

此模型假設(shè)滾動體等距分布在軸承內(nèi)部進行純滾動運動，不考慮潤滑油膜的作用。通過分析得

Fx=K∑(xcosθi+ysinθi-γo)1.5+cosθi，

(1)

Fy=K∑(xcosθi+ysinθi-γo)1.5+sinθi，

(2)

式中：Fx為x向分量的復(fù)合彈簧力；Fy為y向分量的復(fù)合彈簧力；K為Hertz接觸剛度；θi為第i個滾動體處的角位置；γo為軸承徑向游隙。

以此建立軸承-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的二階非線性微分方程為

cosθi=W+Fucos(ωt)，

(3)

sinθi=Fusin(ωt)，

(4)

式中：m為由軸承支承的轉(zhuǎn)子及軸承內(nèi)圈質(zhì)量；C為阻尼；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

圖2 軸承簡化模型

此模型假設(shè)滾動體的質(zhì)心在保持架軌道中心線上滑動，將其簡化為一個黏性滑動阻尼，將滾動體與保持架間的相互作用簡化為接觸表面的法向力和滑動摩擦力作用的阻尼彈簧系統(tǒng)。

軸承的滑動摩擦力為

(5)

(6)

力平衡方程為

(7)

力矩平衡方程為

(8)

此模型可用于軸承流體潤滑分析，但對軸承內(nèi)部各零部件間的潤滑及作用力分析較少，模型相對較簡單。文獻[7-16]介紹3自由度圓柱滾子軸承模型建立方法，并建立6自由度和3自由度的滾子、套圈、保持架的碰磨模型，提出建立軸承動力學(xué)模型的一般方法和步驟。文獻[17]提出6自由度深溝球軸承動力學(xué)模型，模型中考慮Hertz接觸變形、彈性流體動力學(xué)及軸承徑向游隙等因素，還考慮軸承缺陷的影響，如內(nèi)、外圈的波紋度和局部缺陷等。文獻[18-19]提出一種建立含徑向游隙參數(shù)的深溝球軸承支承的平面多體系統(tǒng)動力學(xué)模型的一般方法，模型中對深溝球軸承引入非線性動態(tài)力，考慮球與溝道之間接觸剛度及接觸體的幾何變形和材料變形的影響，并將建立的深溝球軸承模型應(yīng)用于曲柄滑塊機構(gòu)中驗證，為軸承動力學(xué)模型的研究提供有益參考。

1.3 缺陷軸承動力學(xué)模型

軸承在制造和使用過程中難免會出現(xiàn)各種缺陷，有時雖不影響使用，但在運轉(zhuǎn)過程中會對系統(tǒng)的振動響應(yīng)和力學(xué)性能產(chǎn)生一定影響。文獻[20]分析軸承打滑引起的接觸表面損傷及有關(guān)軸承零部件間相互作用的動力學(xué)特性，建立軸承動力學(xué)模型。文獻[21]建立軸承-轉(zhuǎn)子多體系統(tǒng)的動力學(xué)模型，模型中考慮軸承各零部件間的接觸剛度，同時研究缺陷軸承的振動頻率問題，對含徑向游隙及內(nèi)、外圈局部缺陷的軸承進行建模，并利用模型對缺陷軸承進行分析和試驗驗證。文獻[22]研究存在局部表面缺陷的軸承的載荷分布、油膜特性、結(jié)構(gòu)彈性及軸承零部件間的滑動摩擦等問題，建立軸承的3自由度耦合模型，用于局部缺陷對軸承產(chǎn)生激勵響應(yīng)的分析。文獻[23]建立內(nèi)、外圈表面存在多個表面缺陷的深溝球軸承動力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法求解耦合運動控制方程，分析含表面缺陷的保持架、套圈和球的瞬時振動頻率，該模型在分析軸承缺陷振動時得到廣泛應(yīng)用。文獻[24]改進球軸承的二維振動模型，考慮離心載荷、徑向游隙及非線性Hertz接觸問題，采用Newmark時域積分方法對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程求解，研究表面缺陷和局部變形對軸承的影響。文獻[25]為得到缺陷軸承的振動響應(yīng)，提出一種可用于診斷軸承多種缺陷的3自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型，此模型中假設(shè)軸承的油膜潤滑作用是線性的，可用于診斷內(nèi)、外圈及滾動體上的局部缺陷。文獻[25]建立的軸承動力學(xué)簡化模型如圖3所示。圖中，KOR，KOF，KIF，KIR，COF和CIF分別為軸承各零部件間的剛度和阻尼；MIR和MOR分別為內(nèi)、外圈質(zhì)量；MB為滾動體質(zhì)量。

圖3 軸承動力學(xué)簡化模型

2 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型的研究及應(yīng)用

軸承不再作為單獨的研究個體，而是同轉(zhuǎn)子之間的相互作用共同研究，即可更真實可靠地描述軸承性能。軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)又分為軸承-單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和軸承-多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在軸承-單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中軸承主要起支承作用，而在軸承-多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中軸承還起連接作用，比如航空發(fā)動機的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低壓轉(zhuǎn)子與高壓轉(zhuǎn)子間是由軸承連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

2.1軸承-單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

文獻[26]對深溝球軸承支承的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行簡化，并對比分析支承系統(tǒng)分別為剛性支承和柔性支承時對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)性能的影響，并且考慮非線性Hertz接觸力、球的離心載荷、角接觸力及軸向力對模型的影響。文獻[27]提出一種用于研究軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的軸承動力學(xué)模型，主要針對軸承的內(nèi)部游隙和波紋度而建立，重點討論波紋度、徑向游隙和預(yù)緊力對保持架速度的影響。文獻[28-29]在之前研究的基礎(chǔ)上進一步考慮轉(zhuǎn)子不平衡力對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，將軸承單元簡化為質(zhì)量-彈簧模型，滾動體和內(nèi)、外圈間的接觸被認(rèn)為是非線性的彈性接觸，其剛度運用Hertz接觸變形理論得到，建立軸承支承的高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)振動分析模型。在建立動力學(xué)模型時，假設(shè)軸承的塑性變形小到可忽略，僅考慮Hertz理論下的彈性變形的影響，假設(shè)保持架的角速度為常量，內(nèi)、外圈及轉(zhuǎn)子在同一平面內(nèi)運動，軸承各零部件及轉(zhuǎn)子均為剛體，文獻[28-29]建立的軸承質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)簡化模型如圖4所示。圖中，R為外圈半徑；r為內(nèi)圈半徑；min和mout分別為內(nèi)、外圈質(zhì)量；rin和rout分別為內(nèi)、外圈質(zhì)量中心位置；ρj為滾動體徑向位置；θj為滾動體角位置；θx為滾動體與軸承內(nèi)圈接觸點的角位置；χj為第j個滾動體中心與軸承內(nèi)圈中心的偏角；(kin)j和(kout)j分別為滾動體與內(nèi)、外圈的剛度。

圖4 軸承的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)簡化模型

波紋度是影響軸承性能的重要因素，文獻[28-29]建立的軸承內(nèi)、外圈波紋度動力學(xué)模型如圖5所示。圖中，∏0為波紋度的原始振幅；∏p為波紋度的最大振幅；j為轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的滾動體個數(shù)；ωc為內(nèi)圈角速度；ωy為滾動體公轉(zhuǎn)角速度。

圖5 軸承內(nèi)、外圈波紋度動力學(xué)模型

軸承內(nèi)、外圈波紋度的振幅為

(9)

式中：L為弧長；λ為波長。

2.2軸承-雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

作為連接航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的中介軸承，其運動狀態(tài)及受力與普通支承軸承有所不同。文獻[30-32]在軸承動力學(xué)和轉(zhuǎn)子動力學(xué)的基礎(chǔ)上考慮中介軸承處的耦合特性，建立雙轉(zhuǎn)子Hertz軸承耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，用Newmark-β積分法和Newton-Raphson迭代法對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)微分方程求解，分析轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、中介軸承游隙和滾子個數(shù)及支承軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻[33-40]深入研究航空發(fā)動機的雙轉(zhuǎn)子模型，把軸承作為航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要零部件，建立其動力學(xué)模型，充分考慮軸承游隙、滾動體與滾道的非線性Hertz接觸力及變?nèi)嵝哉駝拥纫蛩兀瑢S承-雙轉(zhuǎn)子耦合動力學(xué)問題研究作出貢獻，并且建立軸承-轉(zhuǎn)子-機匣間耦合作用的動力學(xué)模型，在航空發(fā)動機軸承動力學(xué)模型方面取得一系列成果。文獻[41]建立一個4自由度航空發(fā)動機主軸雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析模型，該系統(tǒng)中雙轉(zhuǎn)子由2套角接觸球軸承和2套深溝球軸承支承，在建立模型時考慮軸承的接觸力、非線性位移和彈性變形等因素，并將其與文獻[11]建立的3自由度模型及文獻[42]建立的5自由度動力學(xué)模型相比，闡述軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由度對非線性動力學(xué)模型及系統(tǒng)動態(tài)仿真結(jié)果的影響。文獻[43]在研究球軸承支承的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)時，研究帶浮環(huán)的擠壓油膜阻尼器的球軸承動力學(xué)模型，此模型假設(shè)內(nèi)圈固定于軸上，外圈與擠壓油膜阻尼器或帶浮環(huán)的擠壓油膜阻尼器相連，并對基于這2種油膜阻尼模型建立的不同的軸承-轉(zhuǎn)子模型進行對比分析。

3 軸承動力學(xué)分析軟件

利用計算機仿真技術(shù)對軸承動力學(xué)進行分析研究非常有效。仿真技術(shù)用于軸承性能分析始于20世紀(jì)50年代末，至今已取得很大進展。

目前在三維軸承零部件間相互作用力瞬態(tài)動力學(xué)分析方面取得重大進展，F(xiàn)AG, NSK和SKF等均為公司內(nèi)部的軸承開發(fā)和設(shè)計提供驗證的程序包，如BEAST三維分析軟件[44]是SKF開發(fā)的軸承動力學(xué)模擬軟件，可分析保持架上的力及其運動、滾子歪斜與球上的摩阻力等，并用實例驗證軟件的可靠性。SKF又與PELAB合作開發(fā)BEAST軸承仿真軟件包，采用每個滾動體都有6個自由度的全三維模型，該軟件包可進行大多數(shù)類型軸承的動力學(xué)仿真試驗，使軸承動力學(xué)仿真設(shè)計成為現(xiàn)實[45-46]。文獻[47]參考SKF美國技術(shù)中心SHABERTH的分析模型，建立油潤滑球軸承動力學(xué)分析模型，利用VB和Fortran 77 語言開發(fā)高速陶瓷球軸承的動力學(xué)分析程序，可計算軸承的變形、剛度、壽命、發(fā)熱和摩擦力矩等動態(tài)性能參數(shù)。文獻[15]使用Fortran 90編寫軸承動力學(xué)分析軟件包BA的程序架構(gòu)，運用此軟件包可得到滾子的運動速度，滾子與內(nèi)、外圈間的接觸載荷與保持架質(zhì)心的運動軌跡等，但是分析結(jié)果建立在很多假設(shè)的基礎(chǔ)上，所以對滾子的受力和瞬態(tài)運動分析存在很大誤差。

4 存在的問題和發(fā)展趨勢

研究軸承動力學(xué)必須考慮彈性流體動力學(xué)問題，早期由于彈性流體動力學(xué)理論研究不夠成熟，制約軸承動力學(xué)的研究和發(fā)展。文獻[48]簡化彈性流體動力學(xué)模型，使模型更緊湊和簡便，計算速度較快，可廣泛應(yīng)用于含彈流問題的復(fù)雜機械系統(tǒng)中，將對軸承動力學(xué)研究產(chǎn)生較大影響。

隨著旋轉(zhuǎn)裝備朝高速、重載方向發(fā)展，軸承與高速、重載轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合振動、非線性動力學(xué)、故障診斷都是今后值得重點關(guān)注的研究課題。

軸承動力學(xué)仿真結(jié)果目前與實際差距較大，國內(nèi)的仿真分析軟件主要針對擬靜態(tài)分析模型，可參考一些較成熟的仿真軟件開發(fā)經(jīng)驗，利用智能優(yōu)化計算理論、并行設(shè)計及虛擬現(xiàn)實技術(shù)等當(dāng)代前沿技術(shù)，使仿真結(jié)果更精確。