王寶坤，毛范海，孫守林，王德倫

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

軸承載荷分布是描述其力學(xué)特性的重要方法。盡管軸承零件具有較高的制造精度，但依然存在誤差，使載荷分布產(chǎn)生差異，導(dǎo)致軸承承受沖擊載荷，降低軸承壽命。

國(guó)外學(xué)者已經(jīng)做了大量有關(guān)軸承的研究工作，文獻(xiàn)[1]建立了不考慮誤差情況下的軸承載荷分布模型；文獻(xiàn) [2]用有限元方法研究了圓柱滾子軸承套圈的應(yīng)力與變形分布；文獻(xiàn)[3]研究了滾動(dòng)體誤差對(duì)保持架回轉(zhuǎn)中心軌跡及軸承振動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[4]研究了軸承零件形狀誤差與軸心軌跡的關(guān)系。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)軸承做了深入研究。文獻(xiàn) [5]研究了軸承載荷與變形的關(guān)系，建立軸承載荷分布計(jì)算模型。文獻(xiàn) [6]研究了Hertz接觸理論，通過(guò)試驗(yàn)得到圓柱滾子與滾道接觸的修正公式。文獻(xiàn)[7-8]研究了基于套圈輪廓的軸承旋轉(zhuǎn)精度預(yù)測(cè)。

引入函數(shù)描述零件幾何誤差，建立考慮幾何誤差的軸承力學(xué)模型。研究單一誤差及多種誤差對(duì)載荷分布的影響，探討不同類(lèi)型誤差組合對(duì)軸承載荷分布的影響規(guī)律。

1 力學(xué)模型的假設(shè)與等效

1.1 模型假設(shè)

為簡(jiǎn)化計(jì)算,建立軸承力學(xué)模型時(shí)假設(shè):

(1)滾子僅存在直徑尺寸誤差；

(2)套圈滾道存在尺寸誤差與幾何形狀誤差；

(3)采用剛性套圈，即滾子與滾道的接觸作用不會(huì)引起套圈整體變形；

(4)將軸承三維模型簡(jiǎn)化為二維模型，不考慮零件軸向效應(yīng)及材料屬性(如晶粒不均勻等)的影響。

1.2 剛度等效

基于模型假設(shè)，將每個(gè)滾子等效為2根彈簧，2根彈簧通過(guò)滾子中心節(jié)點(diǎn)連接，彈簧剛度分別為滾子與內(nèi)、外圈滾道的接觸剛度。等效彈簧為非線性彈簧，彈簧剛度與接觸載荷有關(guān)。根據(jù)Hertz接觸理論，滾子與內(nèi)、外圈滾道的接觸關(guān)系為[6]

(1)

式中：Qi，Qe為內(nèi)、外圈滾道接觸載荷；δi，δe為內(nèi)、外圈滾道的接觸變形；K1，K2為滾子與內(nèi)、外圈接觸剛度系數(shù)。K1，K2計(jì)算式為[6]

(2)

(3)

式中：Ei，Er，Ee為內(nèi)圈、滾子、外圈的彈性模量；μi，μr，μe為內(nèi)圈、滾子、外圈的泊松比；Di，Dw，De為內(nèi)圈滾道直徑、滾子直徑、外圈滾道直徑；l為滾子的有效接觸長(zhǎng)度。

剛度是指產(chǎn)生單位變形量所需的外載荷，對(duì)于滾子與滾道之間的接觸剛度，可定義為產(chǎn)生單位彈性趨近量所需的接觸載荷。由于接觸作用是非線性的，根據(jù)(1)式接觸載荷與變形量的關(guān)系，接觸載荷對(duì)彈性趨近量求導(dǎo)，則得到滾子與內(nèi)、外圈滾道間的接觸剛度為

(4)

(5)

式中:Ki，Ke分別為滾子與內(nèi)、外圈接觸等效彈簧剛度。無(wú)載情況下彈簧長(zhǎng)度為滾子的實(shí)際半徑。接觸剛度公式體現(xiàn)了接觸載荷與變形量之間的關(guān)系，接觸剛度與接觸載荷有關(guān)，呈非線性變化關(guān)系。

2 等效模型的建立

2.1 零件幾何誤差

軸承零件幾何誤差具有不確定性，與制造精度有關(guān)。將滾子直徑尺寸誤差用離散的誤差值表示，各滾子具有獨(dú)立的直徑尺寸誤差。滾道形狀誤差用函數(shù)表示，函數(shù)表示輪廓上各點(diǎn)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圓的偏差值。滾道幾何形狀誤差有以下特點(diǎn)：

(1)滾道幾何形狀誤差具有徑向性，反映不同角度的半徑變化；

(2)滾道幾何形狀誤差相對(duì)于滾道半徑很小，滾道基本保持為圓形；

(3)滾道實(shí)際輪廓為具有一定周期的閉合曲線，各點(diǎn)徑向偏差不同。

滾道實(shí)際輪廓可用Fourier級(jí)數(shù)表示為

(6)

αk=arctan(ak/bk)，

式中：θ為滾道位置角；R(θ)為θ處的半徑值；D為滾道標(biāo)準(zhǔn)圓直徑；ak，bk為滾道實(shí)際輪廓Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)的第k階諧波分量的余弦項(xiàng)系數(shù)、正弦項(xiàng)系數(shù)；ck為滾道幾何形狀誤差幅值；k為滾道幾何形狀誤差階次；αk為滾道誤差函數(shù)初始相位；Ri,Re為內(nèi)、外圈滾道實(shí)際輪廓半徑。由(6)式可知滾道實(shí)際輪廓是由標(biāo)準(zhǔn)圓與若干個(gè)按不同周期變化的正弦波疊加形成。

2.2 坐標(biāo)系的建立

模型需建立2個(gè)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系1是以外圈滾道幾何中心為原點(diǎn)的固定坐標(biāo)系；坐標(biāo)系2是以內(nèi)圈滾道幾何中心為原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 模型坐標(biāo)系

Oe-xeye為固定坐標(biāo)系，Oi-xiyi為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，軸承在無(wú)載荷作用時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)Oe與Oi重合。固定坐標(biāo)系保持靜止，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系可移動(dòng)。運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系可繞其坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)計(jì)算內(nèi)圈在不同相位時(shí)的軸承載荷分布情況。

模型有2種狀態(tài)，第1種是初始狀態(tài)，即軸承未受外載荷作用，2坐標(biāo)系原點(diǎn)重合；第2種是受載狀態(tài)，即軸承受載荷作用，內(nèi)圈與受載滾子發(fā)生偏移，軸承達(dá)到力平衡。

2.3 初始狀態(tài)計(jì)算

初始狀態(tài)時(shí)，內(nèi)、外圈滾道幾何中心重合，滾子與外圈滾道接觸；軸承有正游隙；引入滾道形狀誤差函數(shù)表示滾道輪廓。滾子理想直徑為Dr，其直徑尺寸誤差為Δδ(t)。固定坐標(biāo)系中，將位于xe軸上的滾子定義為1號(hào)滾動(dòng)體，其位置角為0°，滾子按逆時(shí)針?lè)较蚍植?，滾子位置角為θ(t)，滾子與外圈滾道接觸處的滾道半徑Re[θ(t)]是滾道誤差函數(shù)，如(6)式所示。根據(jù)參數(shù)計(jì)算相關(guān)坐標(biāo)。

滾子實(shí)際直徑值為

Dw(t)=Dr+Δδ(t)。

(7)

滾子中心與固定坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為

Rw(t)=Re[θ(t)]-0.5Dw(t)。

(8)

固定坐標(biāo)系中，滾子中心節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為

(9)

2.4 受載狀態(tài)計(jì)算

軸承受載時(shí)，內(nèi)圈與受載滾子偏移，承載區(qū)等效彈簧發(fā)生變形，總的彈簧力與外載荷平衡。以內(nèi)圈與受載滾子為研究對(duì)象，計(jì)算內(nèi)圈與受載滾子的偏移量。固定坐標(biāo)系中，內(nèi)圈沿x，y方向偏移量為u，v。首先在滾子未偏移時(shí)，判斷滾子與內(nèi)圈是否接觸。運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中，滾子中心的坐標(biāo)分別為

(10)

滾子位置角為

θ1(t)=arctan[Y1(t)/X1(t)]，

(11)

滾子中心至Oi距離為

L1(t)=X1(t)/cosθ1(t)，

(12)

滾子中心與Oi的連線與內(nèi)圈滾道交點(diǎn)處的半徑Ri[θ1(t)]是滾道誤差函數(shù)，如(6)式所示。

內(nèi)圈與滾子的接觸情況可分為3種，分別為不接觸、臨界接觸和有效接觸。臨界接觸指內(nèi)圈與滾子剛好接觸但二者之間沒(méi)有力的作用；有效接觸指內(nèi)圈與滾子接觸且二者之間產(chǎn)生力的作用。

運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中，滾子與內(nèi)圈滾道臨界接觸時(shí)，滾子中心與Oi間的距離為

L2(t)=Ri[θ1(t)]+0.5Dw(t) 。

(13)

滾子與內(nèi)滾道有效接觸的判定條件為

L3(t)=L2(t)-L1(t) ，

(14)

若L3(t)大于零，表示滾子與內(nèi)圈滾道接觸，滾子的偏移量為ε(t)≠0；若L3(t)小于零，表示滾子與內(nèi)圈滾道不接觸，滾子的偏移量為ε(t)=0。滾子沿內(nèi)圈滾道半徑方向偏移，如圖2所示。

圖2 滾子接觸變形

滾子中心(彈簧中心)偏移量通過(guò)彈簧與內(nèi)、外圈間的接觸力計(jì)算確定

(15)

式中：δ為滾子總變形量，即2根彈簧總變形量L3；ε為滾子中心的偏移量。

滾子偏移后，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中，滾子中心至Oi距離為

L4(t)=L1(t)+ε(t) 。

(16)

彈簧Ki的變形量為

δi(t)=L2(t)-L4(t)=

(17)

從(17)式可看出，彈簧變形是關(guān)于零件誤差Δδ，Ri和Re的函數(shù)，可見(jiàn)零件幾何誤差影響滾子與滾道間的接觸變形。

軸承內(nèi)圈的平衡方程為

(18)

3 等效模型的求解與分析

3.1 求解方法

(18)式為內(nèi)圈平衡方程組，其求解可得內(nèi)圈的偏移量u和v，進(jìn)而可計(jì)算得到軸承內(nèi)部各滾子承受的載荷。

內(nèi)圈平衡方程為

(19)

方程未知量為內(nèi)圈沿x,y方向偏移量

δ=(u,v)T。

(20)

平衡方程分別對(duì)未知量求偏導(dǎo)，得到平衡方程組的雅克比矩陣J

(21)

利用Newton-Raphson法進(jìn)行迭代

δ(k+1)=δ(k)-J(x(k))-1f(x(k))，

(22)

當(dāng)計(jì)算精度滿足計(jì)算要求后，即為平衡方程的數(shù)值解。通過(guò)內(nèi)圈偏移量計(jì)算各個(gè)滾子與內(nèi)圈的接觸變形及接觸載荷。

3.2 不考慮零件誤差時(shí)軸承載荷分布計(jì)算

不考慮軸承零件幾何誤差(情況1)，計(jì)算軸承內(nèi)部載荷分布情況。采用文獻(xiàn)[2]中的算例，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料屬性及載荷見(jiàn)表1。

表1 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料屬性

根據(jù)所建立的力學(xué)等效模型，采用3.1節(jié)的求解方法，計(jì)算軸承載荷分布情況，提取各位置角處的滾子接觸載荷，并與文獻(xiàn)[2]中的計(jì)算結(jié)果對(duì)比(表2)。

表2 不考慮零件誤差的載荷分布計(jì)算結(jié)果 N

從表2可以看出，文中力學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果與Harris模型計(jì)算結(jié)果吻合度高；與有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合。有限元模型考慮了結(jié)構(gòu)剛度的影響，受載滾子接觸載荷差異為7.58%，3.76%，0.52%和1.41%。有限元計(jì)算需建立三維模型、劃分網(wǎng)格、施加邊界條件，而所建立的模型避免了有限元的大計(jì)算量，能夠準(zhǔn)確地計(jì)算各個(gè)滾子的接觸載荷，將零件幾何誤差引入到力學(xué)模型中，分析誤差對(duì)載荷分布的影響。

3.3 考慮零件誤差時(shí)軸承載荷分布計(jì)算

分析零件幾何誤差對(duì)載荷分布的影響規(guī)律具有重要意義。以表1軸承為例，將零件幾何誤差引入模型中。分別考慮滾子直徑尺寸誤差(情況2)、內(nèi)滾道形狀誤差(情況3)、外滾道形狀誤差(情況4)以及綜合誤差(情況5)。內(nèi)、外滾道的初始相位均為0°。另外，為從理論上說(shuō)明極端情況下誤差對(duì)載荷分布的影響，誤差值取大于實(shí)際軸承的誤差值。

滾子直徑尺寸誤差見(jiàn)表3，表中數(shù)據(jù)表示14個(gè)滾子的直徑尺寸誤差值，滾子從0°按逆時(shí)針?lè)较蚓?。考慮單一滾子與多個(gè)滾子直徑誤差是按照一定規(guī)律排列的，前4組為單一滾子直徑誤差，表示誤差滾子的實(shí)際尺寸逐漸增加；后4組為多個(gè)滾子直徑誤差，表示誤差滾子實(shí)際尺寸從0°向兩側(cè)逐漸增加或逐漸減小，能夠反映滾子不同排列順序?qū)d荷分布的影響。計(jì)算結(jié)果如圖3所示，載荷分布是關(guān)于0°對(duì)稱(chēng)的。

表3 滾子直徑幾何尺寸誤差 μm

圖3 考慮滾子直徑尺寸誤差的載荷分布

從單一滾子存在誤差的計(jì)算結(jié)果可看出，當(dāng)滾子直徑誤差為正時(shí)，且該滾子位于0°處，則其載荷將變大，并隨著誤差的增大滾子載荷增加，其他滾子載荷減小；當(dāng)滾子直徑誤差為負(fù)時(shí)，且該滾子位于0°處，其載荷減小，并隨著誤差的增大載荷降低，其他滾子載荷增加。當(dāng)單一誤差滾子位于0°處時(shí)，滾子直徑誤差對(duì)誤差滾子載荷影響較大，但承載滾子數(shù)目不變。當(dāng)誤差滾子未處于承載區(qū)域時(shí)，其載荷分布與不考慮零件誤差時(shí)的載荷分布情況一致。

從多個(gè)滾子存在誤差的計(jì)算結(jié)果可看出，情況2-h的分布順序，即誤差由0°向兩側(cè)逐漸增大，0°處滾子載荷減小，承載滾子數(shù)目增加；情況2-e的分布，即誤差由0°向兩側(cè)逐漸減小，0°處滾子載荷增大?？梢?jiàn)，滾子排列順序影響0°處滾子的載荷，并會(huì)改變承載滾子數(shù)目。

內(nèi)滾道形狀誤差見(jiàn)表4。前4組反映內(nèi)滾道形狀一定，形狀誤差幅值發(fā)生改變；后4組反映內(nèi)圈形狀誤差幅值一定，形狀改變，即階次改變。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

表4 內(nèi)滾道幾何形狀誤差

圖4 考慮內(nèi)滾道幾何形狀誤差的載荷分布

從計(jì)算結(jié)果可看出，改變形狀誤差幅值時(shí)，0°處滾子載荷增加120 N左右，不同誤差值所引起滾子載荷的變化不明顯。改變形狀階次時(shí)，0°處滾子載荷增加200 N左右，引起滾子載荷的變化較明顯。

外滾道形狀誤差見(jiàn)表5。前4組外滾道形狀一定，形狀誤差幅值改變；后4組內(nèi)圈形狀誤差幅值一定，形狀改變，即階次改變。計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 考慮外滾道幾何形狀誤差的載荷分布

表5 外滾道幾何形狀誤差

從結(jié)果可看出，改變形狀誤差幅值時(shí)，0°處滾子載荷減小80 N左右，不同誤差值所引起滾子載荷的變化不明顯。改變形狀階次時(shí)，載荷分布變化明顯，隨著形狀階次的增加，0°處滾子載荷逐漸減小，有改變承載滾子數(shù)目的趨勢(shì)。

為更加真實(shí)地分析幾何誤差與載荷分布的關(guān)系，研究多個(gè)零件幾何誤差對(duì)載荷分布的影響。零件誤差見(jiàn)表6。計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

表6 多個(gè)零件幾何誤差

圖6 考慮多個(gè)零件幾何誤差的載荷分布

從計(jì)算結(jié)果可看出，不同誤差組合對(duì)載荷分布的影響各異。情況5-a誤差組合能夠優(yōu)化載荷分布，減小0°處滾子載荷，增加承載滾子數(shù)目，避免內(nèi)部載荷沖擊。情況5-b誤差組合對(duì)載荷分布影響較小，0°處滾子載荷幾乎沒(méi)有變化，但承載滾子數(shù)目增加。

分析單一誤差對(duì)軸承載荷分布的影響，計(jì)算0°處滾子載荷變化規(guī)律，如圖7所示。不考慮誤差時(shí)，0°處滾子載荷為1 298.4 N。滾子載荷對(duì)單一滾子誤差敏感，變化幅度大，多個(gè)滾子誤差的影響與誤差排列有關(guān)；內(nèi)滾道形狀誤差使?jié)L子載荷增大；外滾道形狀誤差使?jié)L子載荷下降，但幅度不大。與形狀誤差幅值的影響相比，形狀誤差階次對(duì)峰值載荷的影響更大。零件誤差對(duì)載荷分布的影響，與誤差類(lèi)型、大小及誤差組合有關(guān)。

圖7 峰值載荷變化曲線

4 結(jié)論

(1)單一滾子直徑誤差為正時(shí)，隨著誤差增大，峰值載荷增加；滾子直徑誤差為負(fù)時(shí)，隨誤差增大，載荷分布出現(xiàn)波谷，承載滾子數(shù)目增加，誤差增加到一定程度，滾子將不承受載荷，即出現(xiàn)“搭橋”現(xiàn)象。

(2)多個(gè)滾子存在誤差時(shí)，滾子由中間位置向兩邊逐漸變大時(shí)，承載滾子數(shù)目增加，峰值載荷減??；滾子由中間位置向兩邊逐漸減小時(shí)，承載滾子數(shù)減少，峰值載荷增加。

(3)內(nèi)滾道存在形狀誤差時(shí)，隨著誤差幅值的增大，峰值載荷增加，但增加幅度很小，承載滾子數(shù)幾乎不改變；隨著誤差階次的增加，峰值載荷增加，并有改變承載滾子數(shù)目的趨勢(shì)。誤差階次的影響大于誤差幅值。

(4)外滾道存在形狀誤差時(shí)，隨誤差幅值的增加，峰值載荷小幅減小，承載滾子數(shù)目變化不明顯；隨著誤差階次的增加，峰值載荷減小，改變承載滾子數(shù)目的趨勢(shì)明顯。

(5)各零件誤差通過(guò)一定的組合，可優(yōu)化載荷分布，降低峰值載荷、增加承載滾子數(shù)目。