朱元元　趙久軍

每到中考結束，學生都會感覺到數學試題“難”，憑筆者多年的教學經驗，“難”的原因可能有這么幾個：（1）時間不夠用。知識準備不充分，答題不流暢，時間不夠用，就說是試卷難。（2）策略失誤。學生在答題時，沒有做到先易后難，以至于后面有的題目沒來得及做，于是說試卷難。（3）心理調整不到位。中考試卷本來就有難題，學生應該有心理準備，但平時訓練不到位，缺失了自信心，影響了答題的質量，于是就說試卷難。（4）解題方法缺失。

細想下來，做試卷，時間消耗最多的就是在審題上。讀題后，如何迅速找準思維點，是解題的關鍵，也是能否節(jié)省時間的關鍵。其實，有時在解題時，跟著感覺走一走，也能很快地找到問題解決的切入點。

數學中跟著感覺走，就是所謂的“憑直覺”，而實際生活中，直覺是經常用到的。布魯納認為直覺就是一種直接的、非漸進的、以視覺形象為思維媒介的、對問題的飛躍式的直接把握和解決。因而，這種思維方式在操作上是內隱的，表現上是頓悟的，常常能迸發(fā)出新異的思維成果，帶有創(chuàng)新性，是進行創(chuàng)造性活動的重要思維方式。數學最初的概念都是基于直覺，在數學發(fā)展史上的一些重大發(fā)現，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，高斯對代數學基本定理的證明，等等，無一不是直覺思維的杰作。數學問題的解決有時需要跟著感覺走。

從答案看，k1的求法自不必說，但k2的求法在新課標對演繹推理降低“難度”的前提下，出現通過添兩條輔助線構造常見圖形來求解的情況，對學生來講，要求有點高了。下面，筆者從直覺思維的角度，就求解來談一下與命題人不同的思路。

憑感覺：求k2的關鍵是求點D的橫坐標n，這時，我們不妨依圖2作y軸的垂線DN，則可知DN=n，ON=2。

于是，我們從圖中可提取出兩個相似的常見圖形（圖3和圖4），作為教師和學生對于兩個圖形及其所蘊含的知識點應該是很熟悉的。

當然，從直覺思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學生能有這方面的知識儲備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式，這對于求點E的坐標來得就更快了。從中考閱卷反饋的信息看，有學生是這樣做的。

【分析第（2）問】

憑感覺：由提取出的圖3，我們知道，∠OBE=∠ACE（如圖6），理論上，點B和點C應該是對應頂點，但由題目中要說明△BDF∽△ACE，可知點B與點A對應，是不是題目錯了呢？是不是只要給個“不存在”的結論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學生直接寫了個“不存在”。當然，這時是我們的感覺錯了。

經驗豐富的學生也由這個“感覺”發(fā)現解決問題的切入點：是否存在點F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求點F（這樣就不走彎路了）；如果不等，則自然不存在。有了上述思路的學生當然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點，而直接用對應邊成比例求解了。雖然結果也對了，但還是不能得到滿分。

由這一問的分析可知，在看到直覺思維在解題方面的重要性的同時，我們還必須認識到直覺思維的兩面性，即直覺思維的結論不一定都是正確的，還需要經過我們的論證。

直覺思維運用于一些諸如選擇題、填空題等小分值問題時，也常會使分數來得易如反掌。

面對如此標準的圖形，學生“憑直覺”也能猜出答案是多少，而無需懷疑自己。理由是：求角的度數，但題目中沒有給出任一角的度數，這只能說明所求的這個角所在圖形是特殊的，諸如正多邊形、等腰直角三角形、長方形等，而此題中的∠DEC是△DEC的一個內角，那么，這個三角形要么是等邊三角形，要么是等腰直角三角形，因為規(guī)范的試卷的圖形是標準的，所以學生自然想到∠DEC是等邊△DEC的一個內角，即為60°。

通過以上分析，我們知道：通過對所要解決的數學問題的結構特征、數據特征、圖形特征等方面觀察和分析后，啟動直覺思維，進行合情的推理，是可以快速而有效地解決問題的。

直覺思維不僅只存在于數學學科中，同樣也存在于其他學科中。在物理學中，1900年德國物理學家普朗克摒棄了經典物理學的觀點，靠直覺思維的幫助，大膽地提出了“量子論”的假說；1934年日本物理學家湯川秀樹完成了“介子學說”的論文，當時也沒有進行系統(tǒng)的論證，而是靠直覺思維的導引而產生的一種“假想”?？v觀近現代化學發(fā)展史，許多重要的發(fā)現都是建立在直覺思維的基礎之上的，如1869年俄國化學家門捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麥物理學家玻爾提出的原子模型，還有凱庫勒發(fā)現苯環(huán)結構，等等。因此，愛因斯坦認為，在科學研究和創(chuàng)造發(fā)明中，“真正可貴的是直覺思維”。

當然，我們同時也要認識到，在沒有經過嚴格的推理論證和計算之前，就能夠對問題作出判斷，得出結論或者預見解題途徑，這并不是主觀臆斷，而是以對學科知識的深刻理解為基礎，以對事物的敏銳觀察為前提的。教師應在教學中多關注學生直覺思維的培養(yǎng)，它是創(chuàng)新型人才的必備素質。

（作者單位：江蘇省連云港市朐山中學；江蘇省連云港市海州區(qū)教育局教科室）

每到中考結束，學生都會感覺到數學試題“難”，憑筆者多年的教學經驗，“難”的原因可能有這么幾個：（1）時間不夠用。知識準備不充分，答題不流暢，時間不夠用，就說是試卷難。（2）策略失誤。學生在答題時，沒有做到先易后難，以至于后面有的題目沒來得及做，于是說試卷難。（3）心理調整不到位。中考試卷本來就有難題，學生應該有心理準備，但平時訓練不到位，缺失了自信心，影響了答題的質量，于是就說試卷難。（4）解題方法缺失。

細想下來，做試卷，時間消耗最多的就是在審題上。讀題后，如何迅速找準思維點，是解題的關鍵，也是能否節(jié)省時間的關鍵。其實，有時在解題時，跟著感覺走一走，也能很快地找到問題解決的切入點。

數學中跟著感覺走，就是所謂的“憑直覺”，而實際生活中，直覺是經常用到的。布魯納認為直覺就是一種直接的、非漸進的、以視覺形象為思維媒介的、對問題的飛躍式的直接把握和解決。因而，這種思維方式在操作上是內隱的，表現上是頓悟的，常常能迸發(fā)出新異的思維成果，帶有創(chuàng)新性，是進行創(chuàng)造性活動的重要思維方式。數學最初的概念都是基于直覺，在數學發(fā)展史上的一些重大發(fā)現，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，高斯對代數學基本定理的證明，等等，無一不是直覺思維的杰作。數學問題的解決有時需要跟著感覺走。

從答案看，k1的求法自不必說，但k2的求法在新課標對演繹推理降低“難度”的前提下，出現通過添兩條輔助線構造常見圖形來求解的情況，對學生來講，要求有點高了。下面，筆者從直覺思維的角度，就求解來談一下與命題人不同的思路。

憑感覺：求k2的關鍵是求點D的橫坐標n，這時，我們不妨依圖2作y軸的垂線DN，則可知DN=n，ON=2。

于是，我們從圖中可提取出兩個相似的常見圖形（圖3和圖4），作為教師和學生對于兩個圖形及其所蘊含的知識點應該是很熟悉的。

當然，從直覺思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學生能有這方面的知識儲備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式，這對于求點E的坐標來得就更快了。從中考閱卷反饋的信息看，有學生是這樣做的。

【分析第（2）問】

憑感覺：由提取出的圖3，我們知道，∠OBE=∠ACE（如圖6），理論上，點B和點C應該是對應頂點，但由題目中要說明△BDF∽△ACE，可知點B與點A對應，是不是題目錯了呢？是不是只要給個“不存在”的結論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學生直接寫了個“不存在”。當然，這時是我們的感覺錯了。

經驗豐富的學生也由這個“感覺”發(fā)現解決問題的切入點：是否存在點F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求點F（這樣就不走彎路了）；如果不等，則自然不存在。有了上述思路的學生當然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點，而直接用對應邊成比例求解了。雖然結果也對了，但還是不能得到滿分。

由這一問的分析可知，在看到直覺思維在解題方面的重要性的同時，我們還必須認識到直覺思維的兩面性，即直覺思維的結論不一定都是正確的，還需要經過我們的論證。

直覺思維運用于一些諸如選擇題、填空題等小分值問題時，也常會使分數來得易如反掌。

面對如此標準的圖形，學生“憑直覺”也能猜出答案是多少，而無需懷疑自己。理由是：求角的度數，但題目中沒有給出任一角的度數，這只能說明所求的這個角所在圖形是特殊的，諸如正多邊形、等腰直角三角形、長方形等，而此題中的∠DEC是△DEC的一個內角，那么，這個三角形要么是等邊三角形，要么是等腰直角三角形，因為規(guī)范的試卷的圖形是標準的，所以學生自然想到∠DEC是等邊△DEC的一個內角，即為60°。

通過以上分析，我們知道：通過對所要解決的數學問題的結構特征、數據特征、圖形特征等方面觀察和分析后，啟動直覺思維，進行合情的推理，是可以快速而有效地解決問題的。

直覺思維不僅只存在于數學學科中，同樣也存在于其他學科中。在物理學中，1900年德國物理學家普朗克摒棄了經典物理學的觀點，靠直覺思維的幫助，大膽地提出了“量子論”的假說；1934年日本物理學家湯川秀樹完成了“介子學說”的論文，當時也沒有進行系統(tǒng)的論證，而是靠直覺思維的導引而產生的一種“假想”。縱觀近現代化學發(fā)展史，許多重要的發(fā)現都是建立在直覺思維的基礎之上的，如1869年俄國化學家門捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麥物理學家玻爾提出的原子模型，還有凱庫勒發(fā)現苯環(huán)結構，等等。因此，愛因斯坦認為，在科學研究和創(chuàng)造發(fā)明中，“真正可貴的是直覺思維”。

當然，我們同時也要認識到，在沒有經過嚴格的推理論證和計算之前，就能夠對問題作出判斷，得出結論或者預見解題途徑，這并不是主觀臆斷，而是以對學科知識的深刻理解為基礎，以對事物的敏銳觀察為前提的。教師應在教學中多關注學生直覺思維的培養(yǎng)，它是創(chuàng)新型人才的必備素質。

（作者單位：江蘇省連云港市朐山中學；江蘇省連云港市海州區(qū)教育局教科室）

每到中考結束，學生都會感覺到數學試題“難”，憑筆者多年的教學經驗，“難”的原因可能有這么幾個：（1）時間不夠用。知識準備不充分，答題不流暢，時間不夠用，就說是試卷難。（2）策略失誤。學生在答題時，沒有做到先易后難，以至于后面有的題目沒來得及做，于是說試卷難。（3）心理調整不到位。中考試卷本來就有難題，學生應該有心理準備，但平時訓練不到位，缺失了自信心，影響了答題的質量，于是就說試卷難。（4）解題方法缺失。

細想下來，做試卷，時間消耗最多的就是在審題上。讀題后，如何迅速找準思維點，是解題的關鍵，也是能否節(jié)省時間的關鍵。其實，有時在解題時，跟著感覺走一走，也能很快地找到問題解決的切入點。

數學中跟著感覺走，就是所謂的“憑直覺”，而實際生活中，直覺是經常用到的。布魯納認為直覺就是一種直接的、非漸進的、以視覺形象為思維媒介的、對問題的飛躍式的直接把握和解決。因而，這種思維方式在操作上是內隱的，表現上是頓悟的，常常能迸發(fā)出新異的思維成果，帶有創(chuàng)新性，是進行創(chuàng)造性活動的重要思維方式。數學最初的概念都是基于直覺，在數學發(fā)展史上的一些重大發(fā)現，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，高斯對代數學基本定理的證明，等等，無一不是直覺思維的杰作。數學問題的解決有時需要跟著感覺走。

從答案看，k1的求法自不必說，但k2的求法在新課標對演繹推理降低“難度”的前提下，出現通過添兩條輔助線構造常見圖形來求解的情況，對學生來講，要求有點高了。下面，筆者從直覺思維的角度，就求解來談一下與命題人不同的思路。

憑感覺：求k2的關鍵是求點D的橫坐標n，這時，我們不妨依圖2作y軸的垂線DN，則可知DN=n，ON=2。

于是，我們從圖中可提取出兩個相似的常見圖形（圖3和圖4），作為教師和學生對于兩個圖形及其所蘊含的知識點應該是很熟悉的。

當然，從直覺思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學生能有這方面的知識儲備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式，這對于求點E的坐標來得就更快了。從中考閱卷反饋的信息看，有學生是這樣做的。

【分析第（2）問】

憑感覺：由提取出的圖3，我們知道，∠OBE=∠ACE（如圖6），理論上，點B和點C應該是對應頂點，但由題目中要說明△BDF∽△ACE，可知點B與點A對應，是不是題目錯了呢？是不是只要給個“不存在”的結論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學生直接寫了個“不存在”。當然，這時是我們的感覺錯了。

經驗豐富的學生也由這個“感覺”發(fā)現解決問題的切入點：是否存在點F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求點F（這樣就不走彎路了）；如果不等，則自然不存在。有了上述思路的學生當然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點，而直接用對應邊成比例求解了。雖然結果也對了，但還是不能得到滿分。

由這一問的分析可知，在看到直覺思維在解題方面的重要性的同時，我們還必須認識到直覺思維的兩面性，即直覺思維的結論不一定都是正確的，還需要經過我們的論證。

直覺思維運用于一些諸如選擇題、填空題等小分值問題時，也常會使分數來得易如反掌。

面對如此標準的圖形，學生“憑直覺”也能猜出答案是多少，而無需懷疑自己。理由是：求角的度數，但題目中沒有給出任一角的度數，這只能說明所求的這個角所在圖形是特殊的，諸如正多邊形、等腰直角三角形、長方形等，而此題中的∠DEC是△DEC的一個內角，那么，這個三角形要么是等邊三角形，要么是等腰直角三角形，因為規(guī)范的試卷的圖形是標準的，所以學生自然想到∠DEC是等邊△DEC的一個內角，即為60°。

通過以上分析，我們知道：通過對所要解決的數學問題的結構特征、數據特征、圖形特征等方面觀察和分析后，啟動直覺思維，進行合情的推理，是可以快速而有效地解決問題的。

直覺思維不僅只存在于數學學科中，同樣也存在于其他學科中。在物理學中，1900年德國物理學家普朗克摒棄了經典物理學的觀點，靠直覺思維的幫助，大膽地提出了“量子論”的假說；1934年日本物理學家湯川秀樹完成了“介子學說”的論文，當時也沒有進行系統(tǒng)的論證，而是靠直覺思維的導引而產生的一種“假想”。縱觀近現代化學發(fā)展史，許多重要的發(fā)現都是建立在直覺思維的基礎之上的，如1869年俄國化學家門捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麥物理學家玻爾提出的原子模型，還有凱庫勒發(fā)現苯環(huán)結構，等等。因此，愛因斯坦認為，在科學研究和創(chuàng)造發(fā)明中，“真正可貴的是直覺思維”。

當然，我們同時也要認識到，在沒有經過嚴格的推理論證和計算之前，就能夠對問題作出判斷，得出結論或者預見解題途徑，這并不是主觀臆斷，而是以對學科知識的深刻理解為基礎，以對事物的敏銳觀察為前提的。教師應在教學中多關注學生直覺思維的培養(yǎng)，它是創(chuàng)新型人才的必備素質。

（作者單位：江蘇省連云港市朐山中學；江蘇省連云港市海州區(qū)教育局教科室）