盧丁丁，何琳，徐榮武

（1.海軍工程大學(xué)振動與噪聲研究所，武漢430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

虛擬力計算方法的實驗分析

盧丁丁1,2，何琳1,2，徐榮武1,2

（1.海軍工程大學(xué)振動與噪聲研究所，武漢430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

在船舶振動傳遞路徑分析和結(jié)構(gòu)響應(yīng)監(jiān)測的研究中，往往需要實時了解設(shè)備的激勵力特性。由于已安裝在船體中設(shè)備及安裝結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，實時測量方法的實施變得非常困難。在結(jié)構(gòu)響應(yīng)和設(shè)備激勵力存在固有聯(lián)系的基礎(chǔ)上，可以利用與真實激勵力等效的虛擬力，重構(gòu)出與設(shè)備運行時一致的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。為解決虛擬力求解過程中存在的導(dǎo)納矩陣病態(tài)問題，在前人虛擬力模型的基礎(chǔ)上引入分部優(yōu)化正則化方法。通過船舶水泵驗證實驗結(jié)果可以看出，經(jīng)過正則化處理后的虛擬力能夠有效降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)的重構(gòu)誤差。

振動與波；虛擬力；分部優(yōu)化正則化；病態(tài)問題；實驗

機械設(shè)備噪聲是船舶噪聲的主要噪聲源之一，由此帶來的振動傳遞路徑分析以及結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)報和監(jiān)測的問題一直以來都是該領(lǐng)域的重要關(guān)注點。在以上兩個問題中，很多情況下需要實時了解已安裝設(shè)備振動的源特性，或者設(shè)備激勵力特性。但由于已安裝設(shè)備自身及安裝結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，通過測量的方法實時獲取設(shè)備激勵力特性變得非常困難。

為解決設(shè)備激勵源特性的評估問題，Janssens和Verheij提出了[1―5]間接求解設(shè)備激勵特性的方法，并給出了虛擬力的概念：假設(shè)一組施加于機械設(shè)備結(jié)構(gòu)上的力，若這組力所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與設(shè)備運行時相同，那么這組力就可以等效為設(shè)備真實激勵力，由于這組力并不是真實存在的，所以稱之為虛擬力。虛擬力的求解過程是響應(yīng)求激勵的逆問題，在很多工程應(yīng)用中都有所涉及。在Verheij提出的虛擬力計算模型的基礎(chǔ)上，文中結(jié)合分部優(yōu)化正則化法解決虛擬力求解過程中的病態(tài)矩陣問題，減小由于測量誤差和導(dǎo)納矩陣病態(tài)所導(dǎo)致的虛擬力計算誤差。本文以安裝在船舶上的水泵為模型，對文中的計算模型進行了結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)精度的實驗驗證。

1 虛擬力計算及正則化方法

1.1 虛擬力的計算

目前還不能通過虛擬力的計算結(jié)果解釋設(shè)備真實激勵的機理，它的主要作用在于能夠同真實激勵產(chǎn)生同樣的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而為結(jié)構(gòu)或聲場響應(yīng)計算提供能夠代替真實激勵力的輸入。虛擬力求解是結(jié)合結(jié)構(gòu)響應(yīng)和導(dǎo)納矩陣的逆向求解過程，其中導(dǎo)納矩陣可以通過在虛擬力點處施加力錘激勵，在結(jié)構(gòu)響應(yīng)點處測量加速度并計算獲得的。虛擬力點一般選取在結(jié)構(gòu)表面或連接結(jié)構(gòu)上易于施加力錘激勵且剛性較大的位置。結(jié)構(gòu)響應(yīng)點一般選取在設(shè)備機腳處、管路等傳遞結(jié)構(gòu)上，且要求結(jié)構(gòu)響應(yīng)點數(shù)量大于虛擬力點數(shù)量。

導(dǎo)納矩陣可通過力錘敲擊實驗的方法測量，導(dǎo)納矩陣可表示為

其中{a}為結(jié)構(gòu)響應(yīng)點加速度，{F}為力錘激勵力。

假設(shè)有n個結(jié)構(gòu)響應(yīng)點和m個虛擬力點，且n≥m，則n×m維導(dǎo)納矩陣[ A]可作奇異值分解1虛擬力的計算

其中m個特征值存在順序關(guān)系s1≥s2≥…≥sm.。當(dāng)[A]的秩數(shù)為r時，[ S]矩陣的后m-r個奇異值為0。為了求解虛擬力，需求解導(dǎo)納矩陣[ A]的逆矩陣，即阻抗矩陣

其中，[S]+同樣為正實數(shù)組成的m×m維對角矩陣，對角元素為[S]中為0的對角元素在[S]+中仍保持為0，[ S]中奇異值的倒數(shù)，但[ S]+可表示為

由此[A]+矩陣元素可表示為如下形式

在阻抗矩陣[ A]+計算完畢后，以結(jié)構(gòu)響應(yīng)點的加速度實時測量值{a}運行作為輸入值，計算實時虛擬力

1.2 分部優(yōu)化正則化方法

當(dāng)某頻段處的結(jié)構(gòu)響應(yīng)由一個或幾個主要模態(tài)振型占支配地位時，導(dǎo)納矩陣的列向量存在較大的線性相關(guān)性[7]，此時[ A]為奇異、不滿秩的，在按公式（2）進行奇異值分解后將出現(xiàn)零奇異值。在實際應(yīng)用中，由于測量誤差的存在以及[ A]的列向量沒有絕對線性相關(guān)，奇異值不會等于零，而是非常接近于零的值。這些較小的奇異值將在求逆時通過倒數(shù)運算變?yōu)楹艽蟮臄?shù)值，將此后計算中的測量誤差放大，就會影響計算精度。所以在求解[ A]+時需要進行正則化方法處理矩陣的病態(tài)問題，常用的方法有截斷奇異值法[7]和Tikhonov正則法[8]。有學(xué)者在聲全息技術(shù)中提出了將兩種方法相結(jié)合的分部優(yōu)化正則法[9]，此方法既能夠抑制高空間頻率測量誤差被放大的影響，又不至于完全失去高空間頻率的振動信息，同時不會對低空間頻率準(zhǔn)確信息產(chǎn)生影響。本文將分部優(yōu)化正則法引入同樣存在病態(tài)矩陣問題的虛擬力求解中，以期解決虛擬力計算的精度問題。

在分部優(yōu)化正則化法中，首先利用截斷奇異值法結(jié)合如下經(jīng)驗公式選取奇異值截斷點

SNR為導(dǎo)納矩陣測量中每個頻點對應(yīng)的信噪比。對于截斷奇異值K以后的奇異值采用Tikhonov正則法進行修正，修正參數(shù)λ可直接選取為截斷點之前的奇異值sk。最終分部優(yōu)化正則法的解為

2 實驗驗證

2.1 實驗方法及測點布置

為驗證文中方法的計算精度，本文以在船舶中安裝的水泵為對象，開展激勵力評估和結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)的實驗。試驗中水泵通過隔振器彈性安裝在船體的側(cè)壁上，水泵高約1 m。在水泵機腳和機身處布置7個單向加速度計，測點布置方案如圖1所示。

實驗測試設(shè)備包括加速度傳感器、力錘、力傳感器和B&K采集設(shè)備。實驗過程中，首先在設(shè)備關(guān)閉的狀態(tài)下，在圖1所示的5個箭頭所指點及所指方向上依次施加力錘激勵，同時記錄力錘激勵力和響應(yīng)點加速度。經(jīng)過信號質(zhì)量的篩選后，利用公式（1）計算出7×5維加速度導(dǎo)納矩陣A，利用公式（6）計算阻抗矩陣A+，并利用公式（7）和（8）對阻抗矩陣進行正則化處理。

為了驗證計算的虛擬力能否與真實激勵力等效，可通過公式（9）計算虛擬力所產(chǎn)生的加速度響應(yīng)，并與水泵開啟狀態(tài)下所測量的加速度響應(yīng)作比較。

圖1 水泵的測點布置

本次實驗分析頻率設(shè)定為100～800 Hz，實驗利用1—7#響應(yīng)點加速度求取虛擬力，以重構(gòu)出1—7#響應(yīng)點的加速度并與測量值相比較。不失一般地給出1—4#測點響應(yīng)重構(gòu)對比結(jié)果如圖2—圖5所示。

圖2 1#測點1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對比圖

圖3 2#測點1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對比圖

利用下式可對1/3倍頻程加速度幅值譜重構(gòu)誤差進行量化評估

其中ai和分別為第i個中心頻率處的測量值和重構(gòu)值，K為倍頻程段的個數(shù)，文中1/3倍頻程中心頻率為100～800 Hz， K=10，1/3倍頻程加速度幅值譜重構(gòu)誤差結(jié)果如表1所示。

由圖2—5及表1中可以看出，不進行正則化時的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)重構(gòu)值普遍比真實值大，這是由于測量誤差在導(dǎo)納矩陣病態(tài)的情況下被放大所造成的。除了2#和5#測點在部分頻段出現(xiàn)偏差外，經(jīng)過分部優(yōu)化正則化處理后的虛擬力可以在各測點的全頻段內(nèi)減小重構(gòu)誤差，有效地消除了虛擬力計算中的病態(tài)矩陣求逆的誤差問題。經(jīng)過分部優(yōu)化正則化后，結(jié)構(gòu)響應(yīng)場的倍頻程平均誤差降低了約2 dB。

圖4 3#測點1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對比圖

圖5 4#測點1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對比圖

表1 不同測點1/3倍頻程幅值譜的重構(gòu)誤差

3 結(jié)語

在傳統(tǒng)的設(shè)備虛擬力估算方法基礎(chǔ)上，為解決導(dǎo)納矩陣的病態(tài)問題，引入了聲全息領(lǐng)域應(yīng)用的分部優(yōu)化正則化法。通過船舶水泵驗證試驗可以看出，結(jié)合分部優(yōu)化正則化法計算出的虛擬力，可以更準(zhǔn)確地重構(gòu)出設(shè)備的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，誤差比未進行正則化的結(jié)果平均低約2 dB，從而為結(jié)構(gòu)響應(yīng)及傳遞路徑分析提供更加準(zhǔn)確的輸入?yún)?shù)。

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ExperimentalAnalysis of Virtual-force Computation Method

LU Ding-ding1,2,HE Lin1,2,XU Rong-wu1,2

(1.Institute of Noise&Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China；2.National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise,Wuhan 430033,China)

In the analysis of ship vibration-transfer path and monitoring of structure response,the characteristics of equipment’s excitation-force are always necessary.Due to the inherent complexity of the equipment and its infrastructure, the real-time measurement becomes very difficult.On the basis of the inherent relation between structural response and exciting force,the real exciting forces can be replaced by virtual-forces,which can exactly reproduce the structural response caused by the equipment operation.In this paper a regularization technique based on partial optimization is introduced into the virtual-force model to solve the ill-condition problem of the adm ittance matrix in the process for solution.An experiment is carried out on a pump of the ship.The results show that the errors of the structural response reconstruction with the partial regularization method are effectively reduced.

vibration and wave;virtual-force;partial optim ization regularization;ill-condition problem;experiment

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.004

1006-1355(2014)01-0016-03

2013-01-31

國家自然科學(xué)基金（51209214）；國防科技重點實驗室基金（SYSZC2012006）

盧丁丁（1986-），男，河南濮陽人，工學(xué)博士，研究方向為振動與噪聲控制。

E-mail:lddhgd@163.com