劉存霞,呂 文

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺 264005)

在全局Lipschitz條件下, Pardoux 和 Peng[1]證明了非線性的倒向隨機(jī)微分方程(簡記為:BSDE)解的存在唯一性. 自創(chuàng)立至今, 倒向隨機(jī)微分方程在理論和應(yīng)用方面均取得了巨大成果[2-4]. 在文獻(xiàn)[5]及[6]中,作者通過建立與 Lévy 過程相關(guān)的鞅表示定理研究了一類 Lévy過程驅(qū)動的 BSDE, 在全局 Lipschitz條件下證明了適應(yīng)解的存在唯一性定理. 在此基礎(chǔ)上, Bahlali等[7]討論了由布朗運(yùn)動和 Lévy 過程共同驅(qū)動的 BSDE,在全局 Lipschitz 條件下建立了解的存在唯一性定理. Lin[8]研究了一類特殊形式的倒向隨機(jī) Volterra 積分方程(簡記為: BSVIE):

(1)

這一工作源自于Hu和Peng[9]對 Hilbert空間中的半線性倒向隨機(jī)發(fā)展方程的研究. 接著, Yong[10]討論了以下形式的BSVIE:

(2)

作者給出了解的存在唯一性以及在動態(tài)風(fēng)險(xiǎn)測量和最優(yōu)控制中的應(yīng)用. 文獻(xiàn)[11]證明了一類由 Lévy過程驅(qū)動的倒向重隨機(jī)微分方程適應(yīng)解的存在唯一性并給出了在隨機(jī)偏微分方程中的一個應(yīng)用.基于以上工作, 文獻(xiàn)[12]對一類由Lévy過程驅(qū)動的倒向重隨機(jī)Volterra積分方程(簡記為:BDSVIEL), 給出了解的存在唯一性定理.

另外, 在文獻(xiàn)[10],[13]及[14]的研究基礎(chǔ)上, Wang 和 Shi[15]針對方程(2)提出了倒向隨機(jī)Volterra 積分方程對稱解 (簡記為S-解). 區(qū)別于傳統(tǒng)的 M-解, 倒向隨機(jī) Volterra積分方程對稱解的一個主要特征是要求擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)Z(·,·)關(guān)于時(shí)間變量是對稱的, 即Z(t,s)=Z(s,t).

本文將在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上,討論一類更一般的由Lévy過程驅(qū)動的倒向重隨機(jī)Volterra積分方程,在系數(shù)滿足全局Lipschitz條件的假設(shè)下,利用不動點(diǎn)定理證明對稱解的存在唯一性定理. 為此,首先給出一些基本的記號以及假設(shè)等基礎(chǔ)知識,本文第二部分將給出對稱解的存在唯一性定理.

1 預(yù)備知識

給定實(shí)數(shù)T>0, 設(shè)(Ω,F,P)為一概率空間, 假設(shè) {Bt:t∈[0,T]} 和 {Wt:t∈[0,T]}是其上定義的兩個相互獨(dú)立的實(shí)值標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動;Lt=bt+lt為一實(shí)值Lévy過程且滿足以下條件:

(ii)對每個ε>0及任意的λ>0,

對?(t,s)∈[0,T]2, 令

對任意的R,S∈[0,T] 且R

Δc={(t,s)∈[R,S]2;t≤s},

Δ={(t,s)∈[R,S]2;t>s}.

首先給出以下空間:

對任意的 0≤R

‖(y(·),z(·,·),u(·,·))‖H2[R,S]:=

‖(y(·),z(·,·),u(·,·))‖*H2[R,S]:=

對給定的 Lévy 過程 {Lt:t∈[0,T]}, 定義一族與Lt相關(guān)的隨機(jī)過程(H(i))i≥1如下:

本文將討論以下形式的 BDSVIEL:

Z(s,t),U(t,s),U(s,t))ds+

(3)

其中:系數(shù)f,g:Δc××d×d×l2×l2→均為B(Δc×m×m×d×m×d)?FT-可測且滿足:

(A1) 對任意的 (t,y,z,z',ζ,ζ')∈[0,T]××d×d×l2×l2,映射s→f(t,s,y,z,z',ζ,ζ') 以及s→g(t,s,y,z,z',ζ,ζ') 均為F-循序可測且

(4)

其中:f0(t,s)≡f(t,s,0,0,0,0,0),g0(t,s)≡g(t,s,0,0,0,0,0).

(A2) 對?(t,s)∈ [0,T]2,(yi,zi,ηi,ui,γi)∈×d×d×l2×l2,i=1,2, 存在常數(shù)K>0,α,β>0 且α+β<1使得

|f(t,s,y1,z1,η1,u1,γ1)-f(t,s,y2,z2,η2,u2,γ2)|2≤

K(|y1-y2|2+|z1-z2|2+|η1-η2|2+

|u1-u2|2+|γ1-γ2|2),

|g(t,s,y1,z1,η1,u1,γ1)-g(t,s,y2,z2,η2,u2,γ2)|2

≤K|y1-y2|2+α(|z1-z2|2+|u1-u2|2)+

β(|η1-η2|2+|γ1-γ2|2).

2 主要結(jié)果

本節(jié)將給出BDSVIEL(3)S-解的存在唯一性. 為此, 先考慮 BDSVIEL(3)的一個特殊形式.

對任意的t∈[R,T],r∈[S,T],記

(5)

其中:系數(shù)f,g: [R,T]×[S,T]×d×l2→滿足簡化形式的假設(shè) (A1),(A2). 顯然, 方程 BDSVIEL(5) 是一族以t為參數(shù)的 Lévy過程驅(qū)動的倒向重隨機(jī)微分方程, 由文獻(xiàn)[11]中的定理 4,有以下引理:

接下來,考慮 BDSVIEL(5) 的兩個特殊情形.

情形 1 取R=S, 定義

(6)

則 BDSVIEL(5)可記為

(7)

有以下引理:

證明由文獻(xiàn)[12]中定理 1知, BDSVIEL(7) 存在唯一的適應(yīng)解 (Y(·),Z(·,·),U(·,·))∈H2[S,T]. 對任意的 (t,s)∈Δ, 定義Z(t,s)=Z(s,t) 以及U(t,s)=U(s,t), 即得 BDSVIEL(7)存在唯一的S-解. 引理得證.

情形2 在BDSVIEL(5)中,令r=S∈[R,T],對任意的t∈[R,S],s∈[S,T],定義

(8)

從而有

(9)

由引理2,有以下引理:

下面討論一般形式的 BDSVIE(3).

證明首先證明對給定的S∈[0,T],BDSVIEL(3)在[S,T]上存在唯一的S-解.

對任給的S∈[0,T], 記

M2[S,T]:={(y(·),z(·,·),u(·,·)) | (y(·),

z(·,·),u(·,·))∈*H2[S,T]

且z(t,s)=z(s,t),u(t,s)=u(s,t),

?(t,s)∈[S,T]2,a.s.}

易證M2[S,T]是*H2[S,T]的一個非空閉子集.

z(s,t),U(t,s),u(s,t))ds+

(10)

由引理2知,上述BDSVIEL存在唯一的S-解(Y(·),Z(·,·),U(·,·))∈M2[S,T].

定義映射Φ:M2[S,T]→M2[S,T]

Φ(y(·),z(·,·),u(·,·))=

(Y(·),Z(·,·),U(·,·))

(11)

下證對合適的S, 當(dāng)T-S>0 充分小時(shí), 映射Φ是壓縮的.

由基本不等式,有

y(s),Z(t,s),z(s,t),U(t,s),u(s,t))-

f(t,s,y(s),Z(t,s),z(s,t),U(t,s),u(s,t))-

Z(t,s),z(s,t),U(t,s),u(s,t))-

由系數(shù)的Lipschitz 假設(shè), 經(jīng)簡單計(jì)算得

對上述不等式在區(qū)間 [S,T] 上積分可知, 當(dāng)T-S>0充分小時(shí),我們可以選擇足夠小的θ>0使得映射Φ是壓縮的. 從而BDSVIEL(3)在[S,T]上存在唯一的S-解.

進(jìn)一步地,對t∈[R,S], 考慮以下方程:

z(s,t),U(t,s),u(s,t))ds+

(12)

參考文獻(xiàn):

[1]Pardoux E, Peng Shige. Adapted solution of a backward stochastic differential equation[J]. Systems Control Lett, 1990,14: 55-61.

[2]El Karoui N, Peng Shige, Quenez M. Backward stochastic differential equations in finance[J]. Math Finance,1997, 7: 1-71.

[3]Peng Shige.Backward stochastic differential equations and its application in optimal control[J]. Appl Math Optim,1993, 27: 125-144.

[4]Hamadene S, Lepeltier J. Zero-sum stochastic differential games and backward stochastic differential equations[J]. Systems Control Lett, 1995, 24: 259-263.

[5]Nualart D, Schoutens W. Chaotic and predictable representations for Lévy processes[J]. Stochastic Process Appl, 2000, 90: 109-122.

[6]Nualart D, Schoutens W. Backward stochastic differential equations and Feynman-Kac formula for Lévy processes, with applications in finance[J]. Bernoulli, 2001, 7: 761-776.

[7]Bahlali K, Eddahbi M, Essaky E. BSDE associated with Lévy processes and application to PDIE[J]. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2003, 16: 1-17.

[8]Lin Jianzhong. Adapted solution of backward stochastic nonlinear Volterra integral equations[J]. Stochastic Ana Appl, 2002, 20: 65-183.

[9]Hu Ying, Peng Shige. Adapted solution of backward semilinear stochastic evolutin equation[J]. Stochastic Analysis and Applications, 1991, 9: 445-459.

[10]Yong Jiongmin. Backward stochastic Volterra integral equations and some related problems[J]. Stochastic Proc Appl,2006, 116: 779-795.

[11]Ren Yong, Lin Aihui, Hu Lanying. Stochastic PDIE and backward stochastic differential equations driven by Lévy processes[J]. J Comp Appl Math, 2009, 223: 901-907.

[12]劉存霞, 呂文. Lévy過程驅(qū)動的倒向重隨機(jī)Volterra積分方程[J].煙臺大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)與工程版, 2012, 25(3): 157-161.

[13]Yong Jiongmin. Continuous-time dynamic risk measures by backward stochastic Volterra integral equations[J]. Appl Anal, 2007, 86: 1429-1442.

[14]Yong Jiongmin. Well-posedness and regularity of backward stochastic Volterra integral equation[J]. Probab Theory Relat Fields, 2008, 142: 21-77.

[15]Wang Tianxiao, Shi Yufeng. Symmetrical solutions of backward stochastic Volterra integral equations and their applications[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, 2010, 14: 251-274.