李艷輝 張 暢 周秀杰

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control，ILC)在給定時間內(nèi)以簡單的學(xué)習(xí)算法可以實現(xiàn)對期望軌跡的高精度跟蹤，其基本原理是利用先前的控制信息不斷修正控制輸入，使系統(tǒng)跟蹤性能隨迭代次數(shù)逐步得到改善，且不依靠精確的數(shù)學(xué)模型，因而被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航天控制及工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域[1～3]。在工程控制中，系統(tǒng)的復(fù)雜性、元器件的老化和對系統(tǒng)的簡化處理，都會導(dǎo)致其數(shù)學(xué)模型不精確，從而直接影響控制效果，因此，考慮系統(tǒng)的不確定性是十分必要的。文獻(xiàn)[4]利用魯棒控制律處理系統(tǒng)中的不確定性，將魯棒控制與ILC相結(jié)合，實現(xiàn)對被控系統(tǒng)的零誤差跟蹤。文獻(xiàn)[5]分別針對常參數(shù)化、時變參數(shù)化的不確定性，利用類Lyapunov方法設(shè)計控制器，實現(xiàn)對誤差軌跡的完全跟蹤，然而，當(dāng)系統(tǒng)存在擾動時，文獻(xiàn)[4，5]的跟蹤效果將會受到影響，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

在實際生產(chǎn)過程中不可避免地存在各種外界干擾，這些干擾會大大降低系統(tǒng)的控制性能，因此，許多學(xué)者對如何抑制擾動進(jìn)行了深入研究[6～9]。文獻(xiàn)[6，7]分別提出帶有衰減因子或時變遺忘因子的迭代學(xué)習(xí)控制算法，利用因子來減少擾動對控制量的影響。然而，這兩種算法雖具有良好的控制效果，卻沒有考慮系統(tǒng)中不可預(yù)見的參數(shù)變化。文獻(xiàn)[8，9]針對存在干擾的情況，分別設(shè)計了不同的高階ILC控制器，并給出了其收斂條件，但系統(tǒng)的輸出誤差仍較大，跟蹤效果不理想。

筆者針對存在初態(tài)誤差、不確定性和干擾的情況，設(shè)計了非線性時變系統(tǒng)的新的FH ILC控制器。該控制器利用反饋控制克服不確定性和干擾的影響，同時利用ILC提高系統(tǒng)的跟蹤性能，并采用λ-范數(shù)理論對提出的新的FH ILC算法進(jìn)行收斂性證明。仿真實例表明在滿足一定的收斂條件下，當(dāng)系統(tǒng)的初態(tài)誤差和輸出干擾有界時，跟蹤誤差有界收斂，且該算法顯著地提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和收斂速度，對干擾有較強的抑制能力。

1 問題描述①

考慮下列一類具有不確定性或干擾的重復(fù)非線性時變系統(tǒng)：

(1)

為不失一般性，假設(shè)該系統(tǒng)滿足如下特性：

a. 存在R0∈Rm×r，使|I+R0C(t)B(xi(t),t)|≠0；

b. 初始誤差有界，即‖xd(0)-xi(0)‖≤bx0,?i。

筆者的目標(biāo)是，在新的ILC控制器作用下，從任意有界的初始狀態(tài)x0(t)開始，系統(tǒng)輸出yi(t)在有限時間上能滿意地跟蹤上期望軌跡yd(t)。

為了證明新的FH迭代學(xué)習(xí)控制器的有效性，給出以下引理。

需要注意的是，初始狀態(tài)通常設(shè)定成與期望值相同[9]，然而這種嚴(yán)格的初始定位條件在實際中是很難滿足的。

為表達(dá)簡便，以下公式的書寫在沒有歧義時省略時間變量t。

2 主要結(jié)果

考慮形如式(1)的系統(tǒng)，傳統(tǒng)的高階ILC方法跟蹤誤差較大，對干擾的抑制能力不強，而反饋控制在系統(tǒng)受到外部擾動和系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，能夠保證系統(tǒng)的魯棒性，因此，筆者將反饋控制與ILC相結(jié)合，設(shè)計了具有如下形式的新的FH迭代學(xué)習(xí)控制器：

(2)

綜合考慮反饋和前饋部分，則此控制器可表示為：

(3)

筆者針對具有不確定性和輸出干擾的重復(fù)非線性系統(tǒng)(1)，提出一種如式(3)的新的FH ILC算法，下面采用λ范數(shù)論證此算法的收斂性。

證明

為表達(dá)方便，做如下定義：

bC1sup‖C(t)‖,bC2

bx0‖δxl(0)‖，bV1

根據(jù)系統(tǒng)(1)和新的FH ILC算法(3)可得：

Q0Vi+1-R0C(δfi+1+δBi+1ud+δWi+1)+

利用Lipschitz條件，由上式可知：

d0+c0‖δxi+1‖}

(4)

根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式可知：

‖δxl‖=‖xd(t)-xl(t)‖

其中σ=kf+kBbud+kW。對上式兩邊取λ范數(shù)可得：

(5)

(6)

(7)

(8)

ei=δyi=yd-yi=Cxd-Cxi-Vi=Cδxi-Vi，進(jìn)一步取λ范數(shù)可得：

‖ei‖λ≤bC1‖δxi‖λ+bV1

(9)

證畢。

需要注意的是，式(5)、(8)和(9)清楚地表明，對于任意ε>0，總存在正數(shù)δ，當(dāng)干擾界bV1→ε時，‖ei‖λ→δ；當(dāng)ε→0時，有δ→0，即輸出干擾的界越小，控制精度越高，跟蹤效果越理想。

在系統(tǒng)具有不確定性、初態(tài)誤差個輸出干擾的情況下，新的FH迭代學(xué)習(xí)控制器有效地提高了跟蹤誤差的收斂速度和控制精度，增強了對干擾的抑制能力。根據(jù)提出的控制律(3)，筆者歸納出新的FH ILC算法：

a. 置i=0，設(shè)定初始狀態(tài)xi(0)和初始控制ui+1-k(t)，k=1,2,…,N,(t∈[0,T])，并存儲期望軌跡yd(t)(t∈[0,T])；

b. 根據(jù)控制輸入ui(t)(t∈[0,T]求出實際輸出yi(t)(t∈[0,T]，并存儲；

c. 計算跟蹤誤差ei(t)=yd(t)-yi(t)(t∈[0,T])，根據(jù)學(xué)習(xí)律(3)計算并存儲新的控制輸入ui+1(t)(t∈[0,T])；

d. 檢驗迭代停止條件，若滿足條件則停止運行；否則執(zhí)行步驟e；

e. 令i=i+1，返回步驟b。

3 仿真實例

考慮如下單關(guān)節(jié)機(jī)器臂非線性模型：

3.1 傳統(tǒng)PD型高階ILC

圖1 第20次迭代關(guān)節(jié)位置響應(yīng)

圖2 跟蹤誤差響應(yīng)過程

由圖1、2可知，雖然實際軌跡和期望軌跡大致趨勢相同，但由于擾動的影響，經(jīng)過20次迭代后仍存在較大的波動；且跟蹤誤差在前幾次迭代過程中出現(xiàn)階段性增大的情況，經(jīng)過15次迭代以后，跟蹤誤差降為0.1，跟蹤精度不理想。

3.2 新的FH ILC

圖3 第10次迭代關(guān)節(jié)位置響應(yīng)

圖4 跟蹤誤差響應(yīng)過程

由圖3、4可知，經(jīng)過10次迭代后，新的FH ILC控制器實現(xiàn)了對期望軌跡的良好跟蹤，且僅經(jīng)過4次迭代，跟蹤誤差已約為0.05。與采用傳統(tǒng)高階ILC算法相比，采用新的FH ILC算法系統(tǒng)的跟蹤精度和收斂速度得到有效提高，抗干擾能力得到明顯增強。

4 結(jié)束語

給出一類重復(fù)非線性時變系統(tǒng)的新的FH ILC算法，通過引入反饋控制來補償控制量以減小跟蹤誤差，從而消除不確定性和干擾的影響。在滿足一定的收斂條件下，通過仿真實例表明了當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)誤差、系統(tǒng)輸出干擾有界時，跟蹤誤差有界收斂，且該控制器能在較少的迭代次數(shù)內(nèi)實現(xiàn)對期望軌跡的高精度跟蹤，對干擾有較強的抑制能力。