陳 瓊， 童國(guó)平， 李 盛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

0 引 言

由Su-Schrieffer-Heeger(SSH)[1]，Rice[2]提出的聚乙炔孤子模型已成功地解釋了無(wú)自旋電導(dǎo)率、紅外吸收等許多實(shí)驗(yàn)結(jié)果.雖然,純凈的聚乙炔每個(gè)格點(diǎn)有一個(gè)可移動(dòng)的π電子，但其不導(dǎo)電，這是它的維度性所造成的[3].將其摻雜后，其電導(dǎo)率可達(dá)金屬的電導(dǎo)率[4].由于聚乙炔鏈與鏈之間相互耦合很弱，因而可視為準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu).盡管如此，鏈與鏈之間的耦合對(duì)孤子等非線性元激發(fā)有一定的影響[5]. Fesser[6]考慮了鍵與鍵平行結(jié)構(gòu)、反平行結(jié)構(gòu)等三維情況的鏈間耦合問(wèn)題，利用連續(xù)SSH模型研究了電子能譜.隨著石墨烯實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展[7]，尤其是人們對(duì)石墨烯納米帶拓?fù)湫再|(zhì)的發(fā)現(xiàn)，石墨烯更引起人們的研究興趣.利用緊束縛近似與硬壁邊界條件[8-10]、有限系統(tǒng)的Bloch定理[11]、狄拉克方程低能近似[12]等方法，可以解析地得到扶手椅型和鋸齒型2種石墨烯納米帶的電子色散關(guān)系.那么，除此以外，能否利用SSH模型方法來(lái)解析地給出電子的色散關(guān)系？因?yàn)槭┘{米帶在一個(gè)方向上仍然具有周期結(jié)構(gòu)，尤其是鋸齒型邊的納米帶，可以視為均勻聚乙炔鏈鍵與鍵非平行結(jié)構(gòu)的二維鏈間耦合而成.因此，只要選取合適的單位元胞，就能給出其電子能譜，本文的研究正是基于這一考慮.

1 模型與方法

1.1 計(jì)入鏈間耦合的SSH哈密頓量

共軛高分子的鏈間耦合與其鏈中耦合相比較弱，因此，通常忽略鏈間耦合，把其視為準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)[3].盡管如此，這種弱鏈間耦合還是產(chǎn)生一定的物理效應(yīng)[5].如果計(jì)入鏈間耦合，體系的SSH哈密頓量可表達(dá)為

H=HSSH+Hint.

(1)

(2)

(3)

這里:HSSH描述的是考慮自旋時(shí)每條鏈內(nèi)相互作用的哈密頓量，其中包括電子部分He和晶格部分Ha;式中的t0是晶格未畸變時(shí)的電子最近鄰跳躍積分;un是第n個(gè)格點(diǎn)的二聚化位移;而α是反映鏈二聚化位移的畸變參量;Hint表示鏈與鏈之間的相互作用項(xiàng);an,s為第n個(gè)格點(diǎn)上電子自旋為s的湮滅算符;t⊥代表鏈間耦合跳躍積分，反映的是耦合強(qiáng)度.式(2)中,K和M分別表示晶格的彈性常數(shù)和CH原子團(tuán)的質(zhì)量，這部分是非量子的經(jīng)典唯象表達(dá).

對(duì)于未畸變的一維鏈來(lái)說(shuō)，計(jì)入最近鄰相互作用的電子部分的SSH哈密頓量為

(4)

這時(shí)考慮鏈間耦合的系統(tǒng)哈密頓量可表示為

(5)

下面筆者將這一簡(jiǎn)化模型運(yùn)用于具有鋸齒型邊的石墨烯納米帶的電子能譜研究.

1.2 鍵與鍵不平行結(jié)構(gòu)的鏈間耦合

為了突現(xiàn)鏈間耦合效應(yīng)，筆者在下面的計(jì)算中略去了長(zhǎng)、短鍵之間的差別，即把相鄰格點(diǎn)間的跳躍能都取成t0.于是，考慮最近鄰相互作用時(shí)，由圖1(c)可得系統(tǒng)的哈密頓量為

(6)

圖1 2條鏈之間鍵與鍵非平行結(jié)構(gòu)耦合

將式(6)中的產(chǎn)生和湮滅算符作如下變換：

(7)

(8)

(9)

利用式(7)、式(8)和式(9)，可將式(6)轉(zhuǎn)化成哈密頓矩陣表示式

將此哈密頓量對(duì)角化就可以得到如下電子能譜

(11)

式(11)中,符號(hào)“±”表示導(dǎo)帶和價(jià)帶.

1.3 鍵與鍵平行結(jié)構(gòu)的鏈間耦合

當(dāng)2條鏈之間如圖2(a)和圖2(b)的形式耦合時(shí)，稱(chēng)之為平行耦合.因?yàn)閳D2(a)的長(zhǎng)鍵(或短鍵)之間是平行的，而圖2(b)的上一條鏈的長(zhǎng)鍵(或短鍵)與下一條鏈的短鍵(或長(zhǎng)鍵)是平行的.

圖2 2條鏈之間的鍵與鍵平行耦合

當(dāng)不計(jì)二聚化時(shí)，2種結(jié)構(gòu)形式相同，系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

(12)

聯(lián)立式(7)、式(8)、式(9),可將式(12)轉(zhuǎn)化成哈密頓矩陣

由此可得電子能譜為

(14)

很顯然，不計(jì)二聚化時(shí)，2種形式的鏈間耦合的電子能譜不相同.

1.4 耦合鏈模型應(yīng)用于石墨烯

由SSH哈密頓模型式(5)，可寫(xiě)出圖3在y方向一個(gè)元胞的哈密頓量如下：

(15)

(16)

式(16)形式上與式(12)相同，但產(chǎn)生和湮滅算符的具體內(nèi)容不再完全相同.聯(lián)立式(7)、式(8)和式(9)，可將式(16)表示成矩陣形式：

將此哈密頓量對(duì)角化，就可得到電子能譜

(18)

當(dāng)t⊥=t0時(shí)，式(18)就是基于SSH模型得到的鋸齒型石墨烯納米帶的能量色散關(guān)系，此結(jié)果與有限系統(tǒng)的Bloch定理[11]所得結(jié)果一致.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

圖4 非平行結(jié)構(gòu)不同垂直耦合強(qiáng)度的電子能譜

2條鏈之間鍵與鍵平行方法耦合的能譜展現(xiàn)在圖5中.同樣，隨著耦合強(qiáng)度的增加，2條能帶分離增強(qiáng).與圖4相比可以看出，平行結(jié)構(gòu)的耦合要強(qiáng)于非平行結(jié)構(gòu).同時(shí)，能帶的增寬也變得明顯很多，表明這種耦合方式有助于電子的擴(kuò)展態(tài)行為，而不利于電子的局域態(tài)行為.對(duì)比圖4和圖5還可以看出，在相同耦合強(qiáng)度下，平行結(jié)構(gòu)要比非平行結(jié)構(gòu)更能改變電子的能帶結(jié)構(gòu).

圖6給出了非平行結(jié)構(gòu)的鏈間耦合SSH模型應(yīng)用于鋸齒型邊石墨烯納米帶的電子能譜.從式(18)可知，由于納米帶有一定的寬度，ky可以取一些分立的值，對(duì)每一個(gè)ky值，均可以得到一條相應(yīng)的能帶.為了展示能帶隨著耦合強(qiáng)度變化的規(guī)律，只需給出ky=0的部分能帶圖就足夠了，因?yàn)槠渌軒У淖兓?guī)律是類(lèi)似的.圖6(a)～(e)所示表示耦合強(qiáng)度是漸漸增強(qiáng)的，即t⊥=0.5，1.0，1.5，2.0，2.5eV.由圖6可見(jiàn)，隨著耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)，能帶增寬；耦合強(qiáng)度的增加不會(huì)引起能隙的打開(kāi)；耦合強(qiáng)度的增加，電子的擴(kuò)展態(tài)得到極大的增強(qiáng).這個(gè)結(jié)果告訴我們，想通過(guò)調(diào)節(jié)納米帶寬度方向的鍵長(zhǎng)來(lái)改變其導(dǎo)電性質(zhì)是不可能的.當(dāng)耦合強(qiáng)度為2.5eV時(shí)，碳原子構(gòu)成正六邊形結(jié)構(gòu)，因此，圖6(e)表示的是正常能帶結(jié)構(gòu)(部分能帶).應(yīng)用這一方法所顯示的能帶結(jié)構(gòu)與有限系統(tǒng)的Bloch方法[11]所得結(jié)果是一致的.

圖5 平行結(jié)構(gòu)不同垂直耦合強(qiáng)度的電子能譜

圖6 鋸齒型邊石墨烯納米帶電子能譜與鏈間耦合強(qiáng)度的關(guān)系

3 結(jié) 論

利用SSH模型計(jì)算了2條反式聚乙炔鏈其鍵之間平行和非平行結(jié)構(gòu)的電子能譜.隨著耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)，這兩種構(gòu)形均表現(xiàn)相似的特點(diǎn)，即都能增加能帶的寬度，但是平行結(jié)構(gòu)更勝一籌.將非平行結(jié)構(gòu)的耦合方式應(yīng)用于鋸齒型石墨烯納米帶，能夠較為簡(jiǎn)潔地、且解析地給出能量色散關(guān)系.與其他方法相比，數(shù)學(xué)處理大大簡(jiǎn)化，這是本方法的優(yōu)點(diǎn)所在.另一方面，想通過(guò)改變寬度方向的鍵長(zhǎng)來(lái)打開(kāi)能隙是不可能的.

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