徐廣鐸，王立強(qiáng)，童建民

(清華大學(xué) 核能與新能源技術(shù)研究院，北京 102201)

X射線測厚儀在冶金行業(yè)板帶材生產(chǎn)的厚度質(zhì)量控制中得到廣泛使用，其測量控制精度的高低將直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量等級。當(dāng)X射線穿過被測物質(zhì)時，射線與物質(zhì)的相互作用使透射射線強(qiáng)度減弱，當(dāng)其他條件固定時，透射射線強(qiáng)度由被測物質(zhì)厚度唯一決定，若已知射線的衰減規(guī)律，通過測量透射射線強(qiáng)度即可得到被測物質(zhì)厚度，這即是X射線測厚的基本原理。當(dāng)射線為單能窄束時，射線衰減遵循指數(shù)定律，但X射線能量具有一定的范圍分布，在實(shí)際測量系統(tǒng)中也不滿足窄束測量條件，所以射線強(qiáng)度隨被測物質(zhì)厚度的變化并不遵循指數(shù)衰減規(guī)律。因此，在實(shí)用中通常需先測量若干厚度已知的標(biāo)定片進(jìn)行標(biāo)定，再通過擬合或插值等方法得到射線強(qiáng)度與被測板材厚度的關(guān)系，這種方法的精度取決于標(biāo)準(zhǔn)片的厚度間距，當(dāng)采用足夠多的標(biāo)準(zhǔn)片使厚度間距足夠小時，能達(dá)到很高的精度。文獻(xiàn)[1]提出了一種描述寬束單能γ射線衰減的非線性模型，文獻(xiàn)[2]將上述方法應(yīng)用于薄膜X射線測厚儀中。文獻(xiàn)[3-4]在瑞美公司生產(chǎn)的RM312型X射線板形儀中采用了分段多項式擬合的方法進(jìn)行厚度刻度校正。但文獻(xiàn)[1]的方法不能直接應(yīng)用到非薄膜的X射線測厚儀的刻度校正中，線性插值與文獻(xiàn)[3-4]中的多項式擬合法雖可達(dá)到一定的測量精度，但刻度校正過程中需較多的標(biāo)定片，給系統(tǒng)維護(hù)穩(wěn)定運(yùn)行帶來不便。

本文研究一種新的刻度校正數(shù)學(xué)模型，并通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理將該刻度校正模型方法與文獻(xiàn)中提出的3種方法進(jìn)行對比，比較4種方法隨刻度校正數(shù)據(jù)點(diǎn)減少，其測量精度和穩(wěn)定性的變化情況。

1 新的刻度校正非線性模型

文獻(xiàn)[1]對單能γ射線測厚儀提出了一種非線性模型，本文模型在其模型基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到X射線測厚系統(tǒng)。一般測厚儀中使用的X射線能量具有能譜分布、非單能，而測量系統(tǒng)也通常不滿足窄束條件，因此射線在透射中存在硬化和散射現(xiàn)象，使X射線的衰減情況非常復(fù)雜，不能用指數(shù)衰減定律準(zhǔn)確描述，需進(jìn)行修正，為此，設(shè)X射線穿過厚度為x的被測物質(zhì)后的射線強(qiáng)度I滿足：

I=I0e-μ(x)x

(1)

式中，μ(x)替代了指數(shù)衰減公式中的線性吸收系數(shù)。當(dāng)X射線能譜分布一定時，測量同種材料物質(zhì)，射線衰減情況與被測物質(zhì)厚度一一對應(yīng)，因此μ(x)為被測物質(zhì)厚度x的函數(shù)，下面需確定μ(x)的形式。

由于射線的硬化和散射，μ(x)隨物質(zhì)厚度的增加而減小，最后趨近于一極值，即：

μ(x)=μ∞

(2)

滿足式(2)的函數(shù)有很多，其中形式較簡單的函數(shù)為：

(3)

為使式(2)成立，p(x)還需滿足：

∞

p′(x)>0x∈(0,+∞)

(4)

上述模型非線性，難以求得解析解，需數(shù)值求解，對式(3)兩邊取對數(shù)得：

(5)

根據(jù)式(3)、(4)有：

μ(x)=μ∞μ0

(6)

將式(6)代入式(5)得：

(7)

μ0、μ∞的值取決于材料性質(zhì)和射線能量，對于同種材料在相同射線能量下μ0、μ∞為確定的常數(shù)。

設(shè)對厚度為xi(i=1,2,…,n)的標(biāo)定片進(jìn)行校正測量時得到的透射射線強(qiáng)度為Ii，通過式(1)計算出μ(xi)，通過外延法確定μ∞，通過式(7)進(jìn)行多項式擬合可得到p(x)、μ0與β，即確定了模型的所有參數(shù)。

將式(1)兩邊取對數(shù)可得：

(8)

若實(shí)驗(yàn)測得射線穿過某厚度為x的被測物質(zhì)后的強(qiáng)度為I，根據(jù)標(biāo)定點(diǎn)數(shù)據(jù)先選取射線衰減值最接近I的標(biāo)定片的厚度為迭代初值x0，根據(jù)精度需選取迭代收斂判定閾值ε。按式(8)進(jìn)行不動點(diǎn)迭代，式(8)可記為x=G(x)，迭代公式為xn+1=G(xn)，反復(fù)迭代直至xn+1-xn的絕對值小于ε，判定收斂，輸出xn+1，即得到滿足精度要求的x。

2 文獻(xiàn)中3種校正方法模型

2.1 線性插值模型

若被測物厚度x在第i個標(biāo)定片厚度xi附近，即x=xi+Δx，衰減后的射線強(qiáng)度I=Ii+ΔI，由式(1)可得：

Ii=I0e-μ(xi)xi

(9)

Ii+ΔI=I0e-μ(xi+Δx)(xi+Δx)

(10)

當(dāng)Δx不大時，式(10)可近似為：

Ii+ΔI≈I0e-μ(xi)(xi+Δx)=

Iie-μ(xi)Δx=Ii[1-μ(xi)Δx]

(11)

進(jìn)而得到：

(12)

于是被測厚度為：

(13)

這樣測得透射射線強(qiáng)度I即可通過式(13)計算被測物厚度x。該方法計算簡單，但為了達(dá)到要求的精度，要求標(biāo)定片厚度間距足夠小，從而需較多數(shù)量的標(biāo)定片，使刻度校正工作十分繁瑣。

2.2 單能射線非線性模型

對于單能寬束γ射線的衰減規(guī)律，文獻(xiàn)[1]給出了一種非線性模型：

I=I0e-μ(x)x

(14)

其中，α、β為正常數(shù)。新非線性模型采用了與式(14)類似的公式，區(qū)別在于新模型中用多項式p(x)代替了式(14)中的-αx。式(14)在γ射線測厚儀刻度校正中取得了較好的效果。但γ射線為單能，透射中無硬化現(xiàn)象，因此式(14)用于描述X射線透射過程精度相對新模型精度較低。

2.3 多項式模型

以標(biāo)定片厚度xi(i=1,2,…,n)為因變量，對應(yīng)的射線強(qiáng)度對數(shù)值lnIi為自變量進(jìn)行多項式擬合，則：

xi=PnlnIi

(15)

其中，Pn為n次多項式。

為了保證精度，一般采用五次多項式擬合，當(dāng)厚度跨度范圍較大時需分段擬合，理論上不分段時至少需6片標(biāo)定片，分段擬合時所需標(biāo)定片數(shù)量加倍，因?qū)嵱弥卸嗖捎枚囗検綌M合，標(biāo)定工作量較大。

3 不同模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果的對比分析

通過實(shí)驗(yàn)室的X光機(jī)測厚儀對0～4.1 cm厚度區(qū)間內(nèi)已知厚度的25塊標(biāo)定片進(jìn)行了標(biāo)定測量，其射線強(qiáng)度為20位ADC轉(zhuǎn)換后的測量數(shù)值(已扣除本底零點(diǎn)數(shù)值)(表1)。X光機(jī)電壓為80 keV，電流為0.8 mA，濾片為0.2 mm不銹鋼片，經(jīng)過濾片后X射線能譜形狀近似為具有一定能量寬度的正態(tài)分布的曲線，標(biāo)定片為鐵片，所有標(biāo)定片采用同一材料制成。

從上述測量值中選取不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)分別采用前文所述的各刻度校正模型求解被測物質(zhì)的厚度，根據(jù)計算厚度與已知厚度求出各模型厚度測量的均方差和相對偏差，對比各模型的精度。改變所取數(shù)據(jù)點(diǎn)重復(fù)上述計算，考察不同情況下各模型的精度變化，比較各模型在數(shù)據(jù)點(diǎn)變化時的穩(wěn)定性。

3.1 選擇全部數(shù)據(jù)點(diǎn)時各模型計算結(jié)果對比

選取所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，分別采用新非線性模型、單能射線非線性模型和多項式模型進(jìn)行擬合，新非線性模型中p(x)選取三次以上多項式擬合精度較高。為使模型簡單，下面以三次多項式擬合結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果示于圖1?？煽闯觯囗検侥Ｐ团c新非線性模型的擬合精度相近，單能射線非線性模型的誤差明顯大于前兩者。

3.2 選擇部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)時各模型計算結(jié)果對比

實(shí)際應(yīng)用中，由于工作環(huán)境的變化，需定時刻度校正，因此希望能簡化刻度校正過程，使用少量的標(biāo)定片確定射線的衰減曲線，為檢驗(yàn)在減少標(biāo)定片個數(shù)時各模型精度，選取部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)，使用不同模型進(jìn)行擬合并對比計算結(jié)果。選取數(shù)據(jù)點(diǎn)時，考慮不同數(shù)量數(shù)據(jù)點(diǎn)及數(shù)據(jù)點(diǎn)的不同分布等多種情況，并考察當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含整個厚度區(qū)間時的對刻度區(qū)間外部數(shù)據(jù)點(diǎn)計算的誤差，以檢驗(yàn)各模型的穩(wěn)定性。

表1 X射線測厚儀標(biāo)定測量數(shù)據(jù)

圖1 各擬合模型的相對誤差

1) 數(shù)據(jù)點(diǎn)包含全厚度區(qū)間

數(shù)據(jù)點(diǎn)包含最小厚度點(diǎn)和最大厚度點(diǎn)，其中空載數(shù)據(jù)在各模型中作為常數(shù)參與計算。首先按厚度均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)個數(shù)分別取4、5、6、8、10，按各模型進(jìn)行計算，計算結(jié)果列于表2。由表2可看出，新非線性模型在數(shù)據(jù)點(diǎn)減少時計算的相對誤差基本穩(wěn)定，多項式模型的計算誤差隨選取數(shù)據(jù)點(diǎn)不同有小幅波動，但變化幅度較小并在精度上略優(yōu)于新非線性模型。單能非線性模型計算的相對誤差基本穩(wěn)定，線性插值法計算的相對誤差隨數(shù)據(jù)點(diǎn)的減少明顯增大，這兩者相對誤差較前兩模型均較大。

考慮非均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況，分別取5和7數(shù)據(jù)點(diǎn)，考察數(shù)據(jù)點(diǎn)集中在厚度較小、較大區(qū)間時各模型的誤差，結(jié)果列于表3。由表3可看出，對于非均勻數(shù)據(jù)點(diǎn)，新非線性模型的計算誤差與均勻選取時相比變化很小，穩(wěn)定性高，而多項式模型計算誤差變化相對較大，但總體上兩模型精度相當(dāng)。線性插值模型和單能非線性模型的計算誤差仍較大。

2) 數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含全厚度區(qū)間

在射線測厚中，若被測物厚度超出標(biāo)定范圍時通常會有較大的誤差，因此考察當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含整個厚度區(qū)間時的各模型對外延部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)的計算誤差。分別選取4和6數(shù)據(jù)點(diǎn)，考察數(shù)據(jù)點(diǎn)不含最大厚度、不含最小厚度和二者均不含時的情況，計算結(jié)果列于表4。從表4可看出，當(dāng)選取數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含全厚度區(qū)間時，各模型計算結(jié)果的誤差均增大，而新非線性模型的精度變化相對較小，并在多數(shù)情況下優(yōu)于其他模型。誤差的增大主要來自于選取厚度區(qū)間外的數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖2對比了當(dāng)選取不同數(shù)據(jù)點(diǎn)時，新非線性模型和多項式模型擬合結(jié)果在各數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對誤差。從圖2可看出，在標(biāo)定范圍外兩個模型計算結(jié)果的相對誤差均會增大，對于多項式模型，超出標(biāo)定范圍時誤差顯著增加，并呈發(fā)散趨勢，而新非線性模型在標(biāo)定范圍外誤差穩(wěn)定，無發(fā)散現(xiàn)象，在標(biāo)定范圍外各數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對誤差均在1%以內(nèi)。

表2 均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)時各模型均方相對誤差

表3 非均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)時各模型均方相對誤差

表4 數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含全厚度區(qū)間時各模型均方相對誤差

a——[1 4 7 10 13 15]；b——[9 12 15 18 21 25]；c——[1 7 13 19]；d——[8 14 20 25]

4 結(jié)論

本文通過實(shí)驗(yàn)室X光機(jī)測厚儀對已知厚度的25塊標(biāo)定片的測量數(shù)據(jù)，對比了選取不同標(biāo)定數(shù)據(jù)時各模型擬合結(jié)果的精度，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)足夠多時，多項式模型的精度略優(yōu)于本文的新非線性模型，然而當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)減少且分布不均勻時，多項式模型的誤差顯著增加，新非線性模型精度基本穩(wěn)定，并在多數(shù)情況下優(yōu)于多項式模型，通常只取4數(shù)據(jù)點(diǎn)即能以較高精度確定衰減曲線。當(dāng)測量厚度在標(biāo)定范圍外時，新非線性模型的精度顯著優(yōu)于其他模型。

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