劉學(xué)英

【摘要】雙曲線是圓錐曲線的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題，知識綜合程度較高，且易于發(fā)散，運(yùn)算復(fù)雜．此中不乏雙曲線的第二定義和焦點(diǎn)弦等問題，無疑，這類問題在啟迪學(xué)生思維，拓寬解題思路等諸多方面都有十分重要的作用，因而它在中學(xué)數(shù)學(xué)教材及各種復(fù)習(xí)資料中始終占有一席之地，針對雙曲線的第二定義、焦點(diǎn)弦等問題及其應(yīng)用，有必要作進(jìn)一步的探討和研究。

【關(guān)鍵詞】新課改；雙曲線；焦點(diǎn)弦；第二定義

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在以學(xué)生發(fā)展為本的理念下，要求學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，教師積極探索，轉(zhuǎn)變教與學(xué)觀念，加深對課本內(nèi)容的拓展理解和應(yīng)用。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)善于引領(lǐng)學(xué)生對課本的一些重要問題進(jìn)行進(jìn)一步的探索與研究，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與應(yīng)試能力。雙曲線的定義和焦點(diǎn)弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時也是各類考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，角度常變，?？疾凰?。但在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡單的應(yīng)用，對于雙曲線的焦點(diǎn)弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學(xué)過程中，也往往局限于新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)和要求，沒有對這些知識做出進(jìn)一步的拓展補(bǔ)充。因此，學(xué)生往往不能對該類知識點(diǎn)做到透徹理解，巧妙應(yīng)用。為此，針對雙曲線的兩個定義及焦點(diǎn)弦問題，結(jié)合具體事例，做一些簡單探討。

1 雙曲線的兩個定義

定義1：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。

定義2：平面上與一個定點(diǎn)（焦點(diǎn)F）的距離和一條定直線（準(zhǔn)線l）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)01時是雙曲線;當(dāng)e=1時是拋物線。

例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A．(1，)；B．(，+∞)；

C．(1，)；D．(，+∞)

分析：本題是圓錐曲線中的計(jì)算問題，設(shè)雙曲線的右支上一點(diǎn)為P(x1,y1)，x1≥a，則點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，由雙曲線的第二定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1

2 焦點(diǎn)弦問題

2.1 焦點(diǎn)弦的一個性質(zhì)

設(shè)雙曲線方程為，離心率為e，直線l經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)F且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)， 傾斜角為α，則有

當(dāng)直線l與雙曲線的兩個交點(diǎn)A，B在雙曲線的同支上時，|cosα|<1-e （1）

當(dāng)直線l與雙曲線的兩個交點(diǎn)A，B在雙曲線的異支上時， |cosα|>1-e （2）

當(dāng)直線l與雙曲線只有一個交點(diǎn)時，|cosα|=1-e （3）

證明：由對稱性，不妨設(shè)F為有焦點(diǎn)(c,0)

（1）由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

?1+tan2α>e2?sec2α>e2

?|cosα|>1-e 。

（2）首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

，

，

?1+tan2α

（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個交點(diǎn)，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，

，

。

2.2 弦長公式

設(shè)雙曲線離心率為e，直線l經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)F且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)， 傾斜角為θ，焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，則有

當(dāng)雙曲線方程為，弦AB的長。

當(dāng)雙曲線方程為，弦AB的長。

證明：當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時，設(shè)雙曲線方程為，焦點(diǎn)F(c,0)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，離心率為。

先推導(dǎo)弦AB所在直線的參數(shù)方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ·x按向量(c,0)平移得到的，而對直線y=tanθ·x，設(shè)x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數(shù)方程為

x=tcosθ+c

{y=tsinθ（t為參數(shù)），

事實(shí)上，令

=|t1-t2|。

可發(fā)現(xiàn)參數(shù)t的幾何意義為直線AB上的某段弦長。

將弦AB所在直線的參數(shù)方程與雙曲線方程聯(lián)立，并整理得

(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，

于是，由上述t的幾何意義，

。

如果直線l斜率為k， 。

2.3 應(yīng)用舉例

例2已知雙曲線的左焦點(diǎn)是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個焦點(diǎn)在y軸的不同側(cè)，求橢圓離心率e的取值范圍。

解：由題意及上述性質(zhì)1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（實(shí)驗(yàn)）[M].北京師范大學(xué)出版社，2002

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004

[3]陳炆.圓錐曲線統(tǒng)一定義與統(tǒng)一方程中若干問題釋疑[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(12)

[4]王后雄.中國高考母題題源[數(shù)學(xué)理(B)版][M].人民教育出版社，2004