梁 鵬 花

(山西省建筑設(shè)計研究院，山西 太原 030013)

關(guān)于阻尼模型及其應(yīng)用的幾點探討

梁 鵬 花

(山西省建筑設(shè)計研究院，山西 太原 030013)

指出阻尼作為結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析的最重要的參數(shù)之一，是結(jié)構(gòu)振動中描述能量耗散的指標，介紹了阻尼的分類及幾種常見阻尼模型，并對其在結(jié)構(gòu)動力分析中的應(yīng)用做了簡單闡述，為結(jié)構(gòu)動力特性研究提供了理論依據(jù)。

阻尼理論，Rayleigh阻尼，Caughey阻尼，振型疊加法

結(jié)構(gòu)的動力特性包括阻尼因數(shù)、固有頻率、振型等，阻尼作為一切物體的固有動力特性，用以描述物體在振動過程中的能量耗散，阻尼的存在，使物體的動能不可逆地逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌芰浚虼怂怯绊懳矬w動力反應(yīng)的重要因素之一。目前，雖然人們已經(jīng)認識到阻尼的重要性，但由于阻尼機理的復(fù)雜性，使得阻尼不能像質(zhì)量矩陣及剛度矩陣那樣可以對應(yīng)有明確的物理意義，大多數(shù)學(xué)者及工程師仍然主要從宏觀層面上把握理解結(jié)構(gòu)的阻尼特性。對于動力時程分析中較為通用的Rayleigh阻尼模型只能精確設(shè)定兩階振型的阻尼比，而往往夸大高階模態(tài)的振型阻尼比。另外，結(jié)構(gòu)進入彈塑性后，由于剛度退化，系統(tǒng)的振型和自振頻率都會相應(yīng)改變，目前對于彈塑性動力分析中的阻尼模型，仍沒有統(tǒng)一的認識。

1 阻尼類別

阻尼機理復(fù)雜，結(jié)構(gòu)動力分析中，目前據(jù)人們對阻尼現(xiàn)象的認識包括：

1)材料阻尼或內(nèi)部阻尼，主要由結(jié)構(gòu)內(nèi)部微觀層面的相互作用引起。該類阻尼主要是由材料的性質(zhì)決定的，形成機理為材料在動力狀態(tài)下內(nèi)部宏觀或微觀粒子間的運動摩擦所形成，在建筑結(jié)構(gòu)中，該類典型的代表是混凝土材料，其內(nèi)部各種成分之間的摩擦造成能量消耗即干摩擦耗能，這是結(jié)構(gòu)阻尼產(chǎn)生的根本原因。

2)邊界阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼，主要由于結(jié)構(gòu)內(nèi)各構(gòu)件或各組成部分間的相對運動引起，比如鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點處的轉(zhuǎn)動摩擦、構(gòu)件的相對滑移等。庫侖阻尼就是該類阻尼的典型代表。

3)流體粘滯阻尼，主要由浸于流體中的系統(tǒng)受流體阻力產(chǎn)生，比如粘滯阻尼器。

2 常用阻尼模型

一個好的阻尼模型應(yīng)該能較全面及真實的概括各類阻尼，在物理概念上，學(xué)者們常常將阻尼模型歸類為粘滯阻尼模型和滯后阻尼模型；在數(shù)學(xué)處理上按照計算方法阻尼模型?？煞譃楸壤枘崮Ｐ团c非比例阻尼模型[1]。

粘滯阻尼模型所表達的阻尼力與變形速度成比例，由于與速度成正比，它所建立的運動方程為線性微分方程，可方便的應(yīng)用于時域及頻域的計算，這也就是其得到廣泛應(yīng)用的主要原因。采用該阻尼模型時阻尼具有頻變的特性。

滯后阻尼模型又稱為復(fù)阻尼模型[2]，所表達的阻尼力與彈性力恢復(fù)力成正比，方向與速度同相位。該阻尼理論相當于在剛度矩陣上附加復(fù)剛度矩陣，體系的運動方程為復(fù)數(shù)微分方程，在時域內(nèi)計算困難，可以方便的應(yīng)用于頻域計算。對于線性問題，可轉(zhuǎn)換到頻域求解或采用復(fù)模態(tài)疊加法求解。滯后阻尼理論的特點是阻尼具有非頻變的特性，符合試驗中所發(fā)現(xiàn)的阻尼力在相當頻帶寬內(nèi)變化緩慢的事實，但當推廣到無限頻帶寬時將導(dǎo)致與物理事實相悖的結(jié)果。

比例阻尼以Rayleigh阻尼，以及Rayleigh阻尼的拓展形式如Caughey阻尼、Clouugh阻尼、修正的Rayleigh阻尼為代表，又稱為經(jīng)典阻尼。

非比例阻尼又稱為非經(jīng)典阻尼，實際結(jié)構(gòu)體系中具有比例阻尼的情況極少，一般都具有非比例(非經(jīng)典)阻尼特性，非比例阻尼體系具有復(fù)模態(tài)振型，嚴格來說，非比例阻尼體系并不存在所謂的“振型”，因此傳統(tǒng)求解比例阻尼體系的模態(tài)疊加法已不再適用，常用求解方法有：復(fù)模態(tài)方法、近似解耦方法、擬力實模態(tài)疊加法、Ritz向量疊加法、直接積分法。

比例阻尼模型雖然使結(jié)構(gòu)動力分析簡單，但它常常并不完全符合結(jié)構(gòu)阻尼的真實情況，在實際工程結(jié)構(gòu)中，由于阻尼特性明顯不同的鋼筋—混凝土結(jié)構(gòu)組合形式的采用，各種機械阻尼器在結(jié)構(gòu)工程中的廣泛應(yīng)用，以及土—結(jié)構(gòu)相互作用等問題的出現(xiàn)，非經(jīng)典阻尼或非比例阻尼問題逐漸得到了重視。非比例阻尼模型的特點是阻尼矩陣無法被結(jié)構(gòu)的無阻尼振型解耦，結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析得到的系統(tǒng)模態(tài)為復(fù)模態(tài)。對于具有非比例阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的解，只能用數(shù)值計算的方法進行近似求解。

3 比例阻尼建模

比例阻尼的一般形式為[3]：

(1)

在結(jié)構(gòu)動力分析中，應(yīng)用最為廣泛的一類阻尼模型為Rayleigh阻尼模型，其假定結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合：

[C]=a0[M]+a1[K]

(2)

其中，a0，a1均為比例常數(shù)，可根據(jù)結(jié)構(gòu)低階振型的頻率和阻尼比，利用振型正交性得出a0和a1的取值。

Rayleigh阻尼模型只有兩階振型與實際阻尼比一致，可以通過構(gòu)造更多項的線性組合，達到更多階振型的阻尼比滿足實測阻尼比，這種拓展的Rayleigh阻尼模型又叫做Caughey阻尼模型[4]:

(3)

Wilson與Penzien[5]提出一種解決Caughey阻尼模型存在數(shù)值計算困難的方法：

(4)

稱之為Wilson-Penzien阻尼。

Luco[6]也提出一種解決柯西阻尼模型存在數(shù)值計算困難的方法：

(5)

Clough[3]提出一種可以彌補Wilson-Penzien阻尼模型具有無阻尼模態(tài)缺陷的一種阻尼形式：

(6)

董軍等[7]提出一種算法類似于克拉夫阻尼的修正Rayleigh阻尼模型：

(7)

此外，還有不少學(xué)者對之前學(xué)者提出的阻尼模型進行過研究，并提出了相應(yīng)的阻尼建模方法，但由于形式復(fù)雜，不便于應(yīng)用，此處便不予列出。

4 各類阻尼在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中應(yīng)用

當選用比例阻尼模型進行結(jié)構(gòu)動力計算時，由于只能精確控制有限階振型的阻尼比，因此關(guān)鍵問題是要確定需要精確控制哪幾階振型的阻尼比。這就要明確各階振型對響應(yīng)的貢獻。首先要看振型參與系數(shù)，一般認為振型參與系數(shù)越大其對響應(yīng)貢獻越大。其次要看動力放大系數(shù)，動力放大系數(shù)是阻尼比及頻比的函數(shù)，而一般認為各階振型的阻尼比不變，所以只關(guān)注頻比即可?？蓪Φ卣饡r程進行傅里葉變換分析其頻譜特性，從而得到卓越周期的范圍，自振頻率落在此范圍內(nèi)的那階振型動力放大系數(shù)應(yīng)該較大。最后也不能忽略地震動幅值的影響，可在考慮動力放大系數(shù)時進行兼顧。

目前在動力學(xué)分析中，確定Rayleigh阻尼模型所需要的兩個振型的控制頻率，一個是取第一階振型，另一個一般應(yīng)根據(jù)各振型的振型參與系數(shù)，及模型本身的自振頻率特性和地震波的頻譜特性取[8]。

如果要使更多階振型的阻尼比滿足實測阻尼比時，就要考慮Caughey阻尼。而現(xiàn)有的大型有限元軟件無法實現(xiàn)Caughey阻尼，必須進行編程。

非線性動力分析時，也存在如何形成合適的阻尼模型的問題。此時振型疊加法已不再適用，只能通過實驗對比所選阻尼模型的精確性。

如果考慮土—結(jié)構(gòu)相互作用，土介質(zhì)的阻尼特性常采用滯后阻尼模型，易在頻域內(nèi)進行分析。但在實際的強震過程中，土體一般已進入非線性階段，應(yīng)采用時域的非線性分析方法。此時阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率的確定成為關(guān)鍵問題。

5 結(jié)語

本文對阻尼的成因、阻尼理論及常見阻尼模型做了較為全面的介紹 ，其中挑選目前在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中最為常用的兩種比例阻尼模型：Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型的定義及在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的具體應(yīng)用做了詳細介紹，對于非比例阻尼的建模問題將會是作者今后研究的課題。

[1] 結(jié)構(gòu)動力分析中的阻尼模型研究[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，18(2)：13-16.

[2] 樓夢麟，潘旦光.滯后阻尼在土層時域分析中的應(yīng)用[J].同濟大學(xué)學(xué)報,2004，32(4)：281-285.

[3] Clough R W,Penzien J.Dynamics of structures[M].New York:Mc Graw-Hill,1993.

[4] Chopra A K.Matrix Dynamics of structures:Theory and applications to earthquake engineering,seconded.[M].New Jersey:Prentice-Hall,2001.

[5] E.L.Wilson,J.Penzien.Evaluation of orthogonal damping matrices[J].International Journal For Numerical Methods In Engineering,1972(4):5-10.

[6] J.Enrique Luco.A note on classical damping matrices[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2008(37):615-626.

[7] 董 軍,鄧洪洲.結(jié)構(gòu)動力分析阻尼模型研究[J].世界地震工程,2000,16(4):63-69.

[8] 淡丹輝，孫利民.結(jié)構(gòu)動力有限元分析的阻尼建模及評論[J].振動與沖擊，2007，26(4)：121-123.

Some discussion on damping model and its application

LIANG Peng-hua

(ShanxiArchitecturalDesign&ResearchInstitute,Taiyuan030013,China)

It points out that damping is one of the most important parameters in structural dynamic response analysis, it is the index to describe the energy dissipation in structural vibration. The damping classification and several common damping model are introduced in this paper. And simply elaborated its application in structural dynamic analysis, provided theoretical basis of the research on structural dynamic characteristics.

damping theory, Rayleigh damping model, Caughey damping model, mode superposition method

1009-6825(2014)15-0039-02

2013-12-19

梁鵬花(1978- )，女，工程師

TU311.3

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